直齿轮啮合传动加载接触特性分析*

张红涛 周长江 孙银方

(①湖南大学车身先进设计与制造国家重点实验室，湖南 长沙 410082;②湖南大学机械与运载工程学院，湖南长沙 410082)

齿轮传动高速、重载、高可靠性方向的发展，对承载能力、运动精度等提出了更高要求。齿轮接触问题是进行齿轮研究的重要方向，传统的强度计算方法，在处理齿轮复杂的载荷工况和边界条件时存在一定局限。随着计算机技术的发展，以有限元为代表的数值计算方法为齿轮强度计算提供了一种可靠的研究方法。

许多国内外学者对圆柱直齿轮的建模和加载接触分析做了大量的研究工作。yonEiffH［1］建立了单齿与三齿的二维有限元模型，研究了轮齿形状对齿轮的齿根应力的影响。Bibel［2］等采用五齿二维有限元模型，分析了轮缘厚度对轮齿弯曲应力的影响。刘明［3］运用切齿啮合关系和空间啮合原理，推导出理论齿面方程，从而建立正确的齿轮模型。杨汾爱［4］等基于精确模型对斜齿轮接触应力进行了静力学求解。杨生华［5］建立了一对轮齿接触有限元分析模型，定义了轮齿变形和接触应力的有限元计算方法。屈文涛［6］利用ANSYS 对双圆弧齿轮进行了动静态接触分析，获得了接触应力云图。孙建国［7］通过齿轮动力接触有限元分析了轮齿接触力及啮入时的冲击，并指出修形能够较大减小冲击。唐进元［8］建立了齿轮传动啮合接触冲击模型，研究了冲击速度和冲击位置对冲击合力、冲击时间及冲击应力的影响。最近，Seok-Chul Hwang［9］等计算了一对齿轮在不同啮合时刻的接触应力，并和AGMA 标准作对比，指出AGMA 标准在齿轮设计时比较保守。

上述文献在接触分析方面均未探讨整个啮合周期内的接触应力变化。本文以虚拟制造技术为理论基础，在计算机建模软件中通过模拟真实的加工过程创建精度较高的圆柱直齿轮几何模型［10］。基于精确的几何模型建立了五齿准静态加载接触有限元模型，研究啮合周期内齿根应力与接触应力的变化规律。再根据齿轮接触分析的Hertz 面分布力接触模型［11］，理论计算了完整啮合过程的齿面接触应力。将有限元计算结果与理论计算结果进行对比分析，发现在轮齿啮入啮出时刻会产生较大冲击应力，接触应力与接触力具有近似的线性关系。

1 圆柱直齿轮三维几何模型的建立

1.1 虚拟制造原理

虚拟制造是在计算机内构造虚拟的生产系统模型，进行实际生产过程的模拟。在计算机仿真环境下进行而不消耗物理资源，对真实产品制造的动态进行描述。它的主要功能是产品建模、生成仿真环境。随着虚拟制造技术在齿轮建模中的广泛应用，它已成为齿轮建模的一种有效方法。

机床加工齿轮的过程实际就是刀具切削毛坯的过程。进刀过程中刀具将其和毛坯的重叠区域切除，连续多次切削后，便得到齿轮表面，加工出来的齿面是实际上由多个微段曲面构成。用计算机三维建模软件模拟齿轮的真实加工过程，可得到与实际加工的齿轮对应的三维几何模型(图1)。

根据实际机床加工调整参数，在CATIA 软件中构建刀具和毛坯相对位置关系，利用布尔运算除去齿坯几何体中与刀具几何体重叠的区域，得到齿轮毛坯被刀具切割一次的模型。利用软件中的宏命令二次开发技术可实现自动化连续切削过程，最终得到与实际切割单个齿槽所对应的模型。以切割后的几何模型为基准进行齿槽曲面的重构，获得光滑的齿槽曲面，进而可获得完整的齿轮几何模型。图1 为螺旋锥齿轮虚拟制造流程。

1.2 齿轮和刀具的基本参数

本文基于滚齿加工原理和齿轮虚拟制造技术，在CATIA 中模拟滚齿加工圆柱直齿轮的切削过程。滚齿加工相当于齿轮齿条啮合，齿条为刀具。齿轮由滚刀加工而成，滚刀为无凸台、压力角20°的标准滚刀，其法向齿形见图2，基本参数见表1，所要加工的圆柱直齿轮基本参数见表2。

表1 滚刀基本参数

表2 渐开线直齿轮基本参数

1.3 模拟真实的齿轮加工过程

建立如图3 所示的齿轮与齿条啮合坐标系，动坐标系X1O1Y1固定在刀具上，X2O2Y2固定在齿坯上。以齿坯为参考，刀具则按一定规律作平移运动，同时绕齿坯轴转动。刀具轨迹形成的包络线中，直线刃切出渐开线，刀刃圆角切出过渡曲线。

在CATIA 软件中，利用几何体平移与旋转命令实现上述运动变换，并通过布尔运算和二次开发技术实现连续的切削过程仿真，最终得到与实际切割单个齿槽所对应的齿坯切割模型，如图4 所示。通过此方法获得的切割模型，能反映真实的加工过程，并能同时获得齿轮的齿廓曲面、过渡曲面及齿根曲面，但生成的齿廓曲面由微段直线构成。这些曲率不连续的微段曲面构成的齿面会给后续的有限元分析带来困难，有必要对齿廓微段曲面进行重新构建。

以切割后的切割迹线为基准，用NURBS 法对齿廓曲面进行重构，获得光滑的齿廓曲面。拟合齿廓曲面后，进行切除、阵列等操作便可得到完整的齿轮几何模型，如图5 所示。

1.4 几何模型精度的检验

为验证经过虚拟加工创建的圆柱直齿轮几何模型的正确性，将几何模型的一些典型参数值与理论计算参数值进行对比，如表3 所示。从表中可以看出，各项典型参数中的最大误差仅为0.00115 mm。由此可见利用本方法所创建的模型已经达到比较高的精度，此精确的几何模型为进行齿轮的有限元分析打下了一个良好的基础。

表3 齿轮模型典型参数对照表

2 齿轮加载接触有限元求解基本方程

设发生接触的两个齿轮为A 和B，加载接触分析有限元求解的基本方程是有限元求解基本方程加上与接触条件对应的边界条件后得到的。设t 时刻两齿轮的体积为tΩ，位移施加的边界为tΓD，载荷施加的边界为tΓF，有限元求解基本方程为:

式中:tεij为t 时刻齿轮A、B 的应变张量;tui为t 时刻齿轮A、B 的位移张量;tσij，i为t 时刻齿轮A、B 的应力张量;为t 时刻齿轮A、B 的体积力张量;cijkl为弹性常数，是四阶张量。对于各项同性材料，弹性常数为弹性模量E 和泊松比υ。

此外，齿轮接触还必须满足法向接触条件和切向接触条件。法向接触条件主要是满足无穿透约束，即齿轮A 和齿轮B 的位形VA 和VB 在运动过程中不允许相互贯穿、侵入或覆盖，可表述为:

式中:tgN表示接触的两点间距离;txA、txB分别表示齿轮A 和齿轮B 外表面上任一点在t 时刻的坐标;tnB表示齿轮B 外表面法向方向。

切向接触条件即摩擦力条件。摩擦模型包括库仑摩擦模型、界面本构方程与粗糙-润滑模型，工程应用中广泛采用库仑摩擦模型。齿轮切向接触条件库仑摩擦模型为:

3 齿轮啮合准静态接触建模与分析

3.1 齿轮啮合准静态接触建模

当齿轮加载过程进行的每一瞬间，系统都接近于平衡状态，整个过程可以看成是由一系列极接近平衡的状态所构成，这种过程称为准静态啮合过程。准静态啮合过程主要考虑齿轮副加载时的接触状态，以及齿面和齿根的应力变化规律，不计齿轮副惯性的影响。

在ABAQUS 中建立五齿三维准静态分析齿轮模型。采用8 节点六面体单元对模型进行网格划分，对接触区域及齿根部位进行细化处理。根据文献［12］中提出的“有效边界”法，确定五齿模型边界，有限元网格模型如图6 所示。

计算所用齿轮几何参数见表2，齿轮材料参数见表4。从动轮施加扭矩T=100 N·m，齿轮传动比i=1，标准安装，不计轴、轴承及箱体变形。

表4 齿轮材料参数

边界条件施加中，在齿轮侧面、内圈和轴线上的参考点建立运动耦合关系。给主动轮施加0.42rad 位移约束，加载时间1 s;其他方向自由度全约束，即保证主动轮以很小转速运动。从动轮施加轴线方向固定扭矩，释放轴线自由度，其他方向自由度全约束，即可实现主动轮缓慢驱动从动轮运动的准静态过程。

3.2 计算结果与分析

(1)齿面接触力变化

分析结束后，在ABAQUS 历史场输出中提取相邻三个接触对的接触合力，得到啮合轮齿在一个完整的啮合周期内的接触力变化规律，如图7 所示。

由图中3 个接触对上的接触力可看出，每对齿轮的受载荷历程基本一致。齿数较多及齿面承载致使重合度增大，单齿啮合时间较短，其中单啮区最大接触力为1182 N。齿轮在啮入点和啮出点会产生啮合冲击，导致该位置的啮合力突然增大。

(2)实际重合度计算

重合度在齿轮传动的平稳性和承载能力方面起着重要的作用。渐开线圆柱直齿轮的重合度ε 的计算公式为

式中:z1、z2为两齿轮齿数;αa1、αa2为两齿轮齿顶圆压力角;α'为啮合角。齿轮在实际传动过程中，载荷的大小对齿面接触区的形状和大小有较大的影响，从而影响重合度的大小，而式(6)未考虑齿轮的加工参数和载荷对其的影响。因此，式(6)是对重合度的近似解。

通过齿轮在啮合的过程中齿面接触力存在的时间长短，可以计算实际重合度ε'的大小。其公式为

式中:ΔT 为单个轮齿接触时间;ΔT'为相邻两个轮齿在开始接触的时间之差，如图7 中所示。

根据有限元计算结果知，ΔT=0.48s，ΔT'=0.25s，由式(7)计算可得ε'=1.92。而根据式(6)计算的重合度ε=1.78。可知，由于齿轮加载过程中载荷等因素的影响，实际重合度稍大于理论重合度。

(3)齿根最大应力

图8 为齿轮啮合过程中某位置的应力云图。当齿轮啮合到单啮上界点时，齿根危险截面最大拉应力为38.17 MPa。将仿真计算结果与Charbert［13］、Niemann［14］和Fillize［15］等提出的经验公式进行比较，见表5 所示。可以看出本文的计算结果比较合理。

表5 齿根最大拉应力对照表

4 基于Hertz 接触的齿面接触应力计算

齿轮承载传动时，随着啮合点位置的改变，齿廓接触点的曲率半径也跟着改变，并且啮合区域会产生弹性变形，啮合线将扩展成为啮合接触区。由于齿轮啮合共轭接触面的变曲率特点，及有限宽度轮齿两端的应力集中、轮齿变形较小等，实际啮合区域在平面内投影后趋近于椭圆面接触模型，如图9 所示。

齿轮传动的啮合力分解为Hertz 接触面分布力，齿廓上啮合点的受力状况可等效为两个半径分别为接触点曲率半径ρ1和ρ2的当量圆柱体接触，具体情况见图10 所示。

从图10 中容易得出:

式中:d'1、d'2为小齿轮及大齿轮的节圆半径;α't为端面啮合角。

在此采用弹性接触的Hertz 理论确定啮合齿面间的接触区域形状和大小。由于接触椭圆狭长的特点，将椭圆面规则化为长度为齿宽b、宽度为Hertz 接触宽度2a 的矩形。单位齿宽上法向载荷下，根据Hertz 理论，得到受载轮齿半接触宽度a 和接触齿对的最大接触应力σH为

式中:ρ1、ρ2分别为两齿轮接触表面在啮合处的曲率半径;E1、E2为接触齿对的弹性模量;μ1、μ2为接触齿对的泊松比;K 为载荷系数;Fn为齿面法向载荷;b 为齿宽。

齿轮啮合的过程中，随着齿轮接触位置的变化，齿面法向载荷也在变化，将有限元加载接触分析得到接触齿对在整个啮合过程中的实际接触力(图6)作为Hertz 接触应力的计算载荷，根据式(10)可得到一个轮齿完整啮合过程中的Hertz 接触应力变化情况。

图11 是一个轮齿完整啮合过程中有限元数值解与赫兹接触的接触应力变化图。两者相比，变化趋势基本一致。由图知，有限元解因模拟齿轮运动，轮齿变形对接触应力的影响，比赫兹接触要大，应力曲线波动较大。当齿轮进入或退出啮合时，轮齿存在边缘接触，产生啮入啮出冲击。且在啮入点产生较大冲击［16］，冲击应力达400 MPa。轮齿从开始进入啮合向单啮区运动过程中，接触应力逐渐增大，在单啮区达到最大。单啮区有限元数值计算接触应力最大值为545 MPa 左右，比Hertz 解偏大10%，这是由于有限元解求解时存在齿轮变形和动载效应。

5 结语

(1)基于齿轮接触有限元计算原理，建立了五齿三维准静态分析有限元模型。基于该模型计算了渐开线直齿轮完整啮合过程中的接触力与接触应力，得到了齿根最大弯曲应力和最大接触应力。与相关结论对比，验证了模型的正确性。

(2)根据齿轮接触分析的Hertz 面分布力接触模型，理论计算了完整啮合过程的齿面接触应力。结果与仿真解比较表明，在轮齿啮入啮出时刻会产生较大冲击应力，接触应力与接触力具有近似的线性关系。

［1］Eiff Hvon，Hirschmann K H，Lechner G.Influence of gear tooth geometry on tooth stress of external and internal gears［J］.ASME Journal of Mechanical Design，1990，112(4):575-583.

［2］Bibel G D，Reddy S K，Savage M.Effects of rim thickness on spur gear bending stress［J］.ASME Journal of Mechanical Design，1994，116(12):1157-1162.

［3］刘明.延伸外摆线齿准双曲面齿轮建模与传动误差分析［J］.制造技术与机床，2013(1):115-121.

［4］杨汾爱，张志强，龙小乐，等.基于精确模型的斜齿轮接触应力有限元分析［J］.机械科学与技术，2003，22(2):206-208.

［5］杨生华.齿轮接触有限元分析［J］.计算力学学报，2003，20(2):180-194.

［6］屈文涛，沈允文，徐建宁.基于ANSYS 的双圆弧齿轮接触应力有限元分析［J］.农业机械学报，2006，37(10):139-141.

［7］孙建国，林腾蛟，李润方，等.渐开线齿轮动力接触有限元分析及修形影响［J］.机械传动，2008，32(2):57-59.

［8］唐进元，周炜，陈思雨.齿轮传动啮合接触冲击分析［J］.机械工程学报，2011，47(7):22-29.

［9］Hwang H C，Lee J H，Lee D H，et al.Contact stress analysis for a pair of mating gears［J］.Mathematical and Computer Modeling，2013，57(1-2):40-49.

［10］蒲太平，唐进元.基于CATIA V5 的圆柱齿轮虚拟加工研究［J］.系统仿真学报，2008，20(16):4339-4343.

［11］朱孝录，鄂中凯.齿轮承载能力分析［M］.北京:高等教育出版社，1992:143-156.

［12］周长江，唐进元，钟志华，等.齿轮有限元精确建模中边界界定的研究［J］.中国机械工程，2005，16(22):2044-2048.

［13］Chabert G，Dang T T，Mathis R.An evaluation of stresses and deflection of spur gear teeth under strain［J］.ASME Journal of Engineering for Industry，1974，96(1):85-93.

［14］Niemann.Maschinen Elemente Bd.II［M］.Berlin:Springer，1960.

［15］Huseyin Filiz I，Eyercioglu O.Evaluation of gear tooth stresses by finite element method［J］.ASME Journal of Engineering for Industry，1995，117(5):232-239.

［16］周长江，唐进元，钟志华.齿轮传动的线外啮合与冲击摩擦［J］.机械工程学报，2008，44(3):75-81.