旋转舵面非线性自由振动研究

2015-04-03黄瑞泉

教练机 2015年2期

黄瑞泉，胡豪

（中航工业洪都，江西南昌330024）

0 引言

现代飞机通常采取电传飞控系统通过多组机构、环节操纵伺服作动器，进而驱动操纵面实现不可逆的动力操纵。分析飞机操纵系统动态模型时，主要问题是阻尼特性、其次是间隙问题[1]。周志文[2]提到由机械液压组成的操纵系统存在间隙、摩擦、阻尼等非线性因素，但其研究侧重于简化操纵系统动刚度计算方法，将非线性因素等效线性处理。管德、宗捷[3]研究了水平尾翼结构非线性对颤振特征的影响，指出带间隙状态飞机颤振速度变化情况。张伟伟、王忠波等[4]进一步研究了在迎角改变的情况下带间隙操纵面极限环振动，指出间隙为影响气动弹性稳定性的要素之一。姚起航、屈见忠[5]给出了模态试验中几种典型的非线性例子，但只提到受间隙影响的刚度变化定性描述，未开展详细论述。沃德·海伦、斯蒂芬·拉门兹、波尔·萨斯[6]展示了不同激振力下非线性系统频响函数变化趋势，指出正弦激励为研究非线性系统的最佳工具。

从上述文献看，飞机操纵系统造成的非线性问题会改变飞机颤振速度，进而影响飞行安全。故此颤振分析者往往需要知道不同振动量值下的操纵系统固有频率，给出更加合理的飞行包线。舵面操纵系统是由多个连杆机构串联而成的复杂空间机构，从力学的角度其可作为一个带间隙、摩擦、阻尼的非线性系统，因此，研究此种系统的自由振动衰减周期，可以为操纵面动力学分析及模态试验提供理论参考。

1 模型简化

典型的不可逆助力飞行操纵系统原理图及其操纵杆杆力特性见图1所示[7]。

某型飞机操纵面刚度试验曲线见图2所示。

从上述杆力特征曲线和操纵刚度试验结果数据看，真实飞机操纵系统存在间隙、摩擦等因素，间隙值表现为操纵杆的空行程段，也是颤振飞行中出现极限环振动的主要原因，摩擦力与操纵刚度在不同转角下变化量较小，可视为常数。因此可将此种操纵系统模型简化为图3所示的力学模型。

图1 典型操纵系统原理图及杆力特性图

图2 某型飞机操纵面刚度试验曲线

图3 简化力学模型

模型为一质量为m的弹簧振子在两个间隙为δ的弹簧中运动，其中，两弹簧刚度为k，粘性阻尼系数为c，在振动过程中摩擦力f不变。取处x坐标为0，向上为正，建立运动坐标系。

模型中的m对于操纵面绕转轴的转动惯量，弹簧刚度k对应操纵刚度即单位转角下的力矩，间隙δ为舵面空行程的最大值，c为操纵系统阻尼（当做粘性阻尼考虑）。

此模型整个阶段的刚度曲线见图4所示。从图上看，此模型能够反映带间隙、摩擦的操纵系统基本特征。

图4 模型刚度曲线

2 分段求解运动方程

弹簧振子振动过程可分为两个部分。一是弹簧振子处于δ的间隙区内，弹簧振子m为匀减速直线运动，二是超出间隙区的有阻尼、摩擦的弹性振动。振子在两种运动状态之间交替，即间隙区的终值为弹簧阻尼区的初值，弹簧阻尼区的终值又为下一个间隙区的初值。

设其初始条件为x0，，其运动方程为：

设其初始条件为 x0，，，设则，其运动方程为：

则上式表示为：

仅考虑欠阻尼状态即ξ<1的情况，解得：

回代上式，得：

对t求导得：

将初始条件代入，求得c1，c2：

可以看出，带摩擦力的粘性阻尼弹性振动，就是将粘性阻尼弹性振动曲线在速度小于零阶段曲线上移r，速度大于零阶段曲线下移r，对于一个周期的运动，其自振频率仍为ωd。

3 模型自由衰减周期求解

假定振动起始于弹簧阻尼区，其初始位移为x0=a (a>0)，初始速度定义自由衰减振动周期T为第一个位移峰峰值之间的时间间隔，其分为六个时间组成，即

其中：t1为从x0=a，到的弹簧阻尼区衰减时间；

t2为以 t1状态结束时的 xt1、为初始状态到的匀减速运动时间；

t3为以t2状态结束时的xt2、为初始状态到xt3最大负位移、的弹簧阻尼区衰减时间；

t4为以 t3状态结束时的 xt3、为初始状态到的弹簧阻尼区衰减时间；

t5为以t4状态结束时的xt4为初始状态到xt5=的匀减速运动时间；

t6为以t5状态结束的xt5、为初始状态到xt5最大负位移、的弹簧阻尼区衰减时间。

3.1 第一阶段

由于第一阶段为存在摩擦的有阻尼衰减振动，摩擦力影响位移曲线，导致超越方程的求解困难，故此采取泰勒展开方式求解。限于篇幅，本文在第一阶段详述求解过程，其他阶段仅给出结果，不做详述。

将初始条件x0=a代入(6)式中，求得：

(4)式变为：

(5)式变为：

此方程为超越方程无法求解出t1的表达式。

由(7)式可以看出，在此阶段摩擦力f使粘性阻尼位移曲线上移r，其中立位置为此时振子振动时间可代入(7)式得：

求解方程，得：

此时刻进行受力分析：

我们将公式(7)在tz-1时刻点用二阶泰勒(Taylor)中值定理展开为

忽略高阶无穷小量，可以看出，这明显为匀加速直线运动的公式，其物理意义表现为：在tz_1时刻点到第一阶段末时刻点）这个时间段中Δt，我们将弹簧振子的运动看为以tz_1时刻点的速度为初速度，以tz_1时刻点的加速度为恒定加速，运动位移为r的匀加速直线运动。当时，代入上式，求得：

可以看出Δt→0，即r→0。这种等效的误差是比Δt3高阶的无穷小，在实际工程中可近似为精确解。

第一阶段的末速度为：

3.2 第二阶段：

此阶段为匀减速直线运动。初始条件为第一阶段结束状态。

3.3 第三阶段：

第三阶段的初始状态即第二阶段末时刻的状态。弹簧振子的运动为有阻尼、摩擦的自由衰减振动。此过程求解得：

3.4 第四阶段：

第四阶段的初始状态即第三阶段末时刻的状态，弹簧振子的运动为有阻尼、摩擦的自由衰减振动。此过程求解得：，此阶段与第一阶段相同，出现求解超越方程的问题。因此需用泰勒公式在tz_4时刻展开。tz_4时刻状态为

3.5 第五阶段

此阶段为匀减速直线运动。初始条件为第四阶段结束状态。

3.6 第六阶段

第六阶段的初始状态即第五阶段末时刻的状态，弹簧振子的运动为有阻尼、摩擦的自由衰减振动，将初始条件代入(4)、(5)、(6)式中，得：

弹簧振子位移为：

至此，六个时间段求解全部完成。其中，第1、3、4、6阶段合成即为一个完整的有摩擦、阻尼的自由振动，存在：

弹簧振子完成一个周期振动的时间：

可以看出，带间隙、摩擦的有阻尼自由振动周期不光与弹簧、阻尼有关还与间隙大小、摩擦力大小有关，同时与进入振动的初始能量大小有关，即T=f(m, k,ξ,a,f,δ)。进入振动能量大，t2、t5就小，整个周期就小，振动频率就大，反之亦然。这里的进入振动的能量即初始状态的位移a的大小。可以想象当a→+∞时，t2+t5→0，即为有阻尼自由振动周期。

4 算例

为研究各个参数对系统自由衰减振动周期的影响，我们假设一个基准模型如下：

图5 位移、速度及加速度归一化后的时间历程

其位移、速度及加速度归一化后的时间历程图见图5所示。看以看出，位移曲线与有阻尼自由衰减曲线很相似，而速度曲线在峰值出出现平台，而加速度在零值附近出现跳变。

由上一节推导公式可计算得，其有阻尼自振频率为fd=9.8141Hz，带摩擦、间隙的有阻尼系统自振频率为：f=9.2487Hz。为方便研究，将所有参数进行无量纲化，定义整个带摩擦、间隙的有阻尼自由振动频率与有阻尼振动频率的误差设为Δ，即对于基准模型，其Δ=-5.76%。假设初始位移a与间隙值δ的比例为λ，即摩擦力f对系统弹簧所产生的静变形量与间隙值的比值设为γ，即计算结果见图6所示。