数学运算规则的样例学习：实验研究与理论探索

张 奇 张笑笑（.辽宁师范大学 心理学院，辽宁 大连 6029；2.北京师范大学 心理学院，北京 00875）

●实证研究：数学认知与学习专题研究

数学运算规则的样例学习：实验研究与理论探索

张 奇1张笑笑2*
（1.辽宁师范大学 心理学院，辽宁 大连 116029；2.北京师范大学 心理学院，北京 100875）

特约主持人：陈英和

主持人简介：陈英和，北京师范大学心理学院教授、博士生导师，中国心理学会教育心理学专业委员会主任。

主持人话语：数学认知能力是一个人智力的重要体现，反映了一个人的抽象逻辑思维能力，个体的数学认知能力及数学学习过程一直是心理学界及其研究者关注的重点。2014年10月，在全国心理学学术大会上，教育心理学专业委员会组织了“数学认知与学习”的专题论坛，介绍了数学认知领域的最新研究进展。基于此，特选三篇相关研究报告组成“数学认知与学习专题”推荐给《苏州大学学报（教育科学版）》发表，以展示我国数学学习领域的最新研究成果，反映我国数学认知与学习领域的最新研究进展。《数学运算规则的样例学习：实验研究与理论探索》以样例学习理论为基础，提出了数学运算样例中新算符及新规则设计的“解释法”“转换标记法”和“解释—标记法”，并在数学运算规则的样例学习实验中证实了这些样例设计方法的优越性，为数学教育实践提供了实证依据。《情境对大学生解决文字应用题的影响：来自眼动的证据》采用眼动指标，更全面地考察了情境对应用题解决的影响，弥补了行为数据的不足，结果发现熟练解题者在解决问题时，仍需要构建情境模型，这为数学应用题教学提供了理论指导。《策略意识对初中生数学学习策略的影响：策略情感的中介效应》考察了策略意识和策略情感对初中生数学学习策略的影响，揭示了情感态度在数学学习中的作用，结果提示在数学教育中不应忽视学生的态度和情感。

在样例学习研究领域，作者着眼于规则的样例学习研究，尤其是对数学运算规则的样例学习做了一系列的实验研究和理论探索。最初的实验研究在小学生四则混合运算规则和“去括号”运算规则的实验中取得了预期结果。但在小学生代数运算规则的样例学习实验研究中却遇到了问题。经过对问题原因的深入分析，提出了数学运算样例中新算符及新规则设计的“解释法”“转换标记法”和“解释—标记法”，并在指数与对数转换规则和对数运算规则以及分数和比例运算规则的样例学习实验中证实了这些样例设计方法的优越性。根据上述实验研究，作者对样例学习的性质、样例学习理论的建构等理论问题以及样例学习如何兼顾学生个体差异等教学实践问题作出了明确的回答。

运算规则；样例学习；新算符；解释法；转换标记法；解释—标记法

一、引言：样例学习研究的简要回顾

（一）样例学习研究的源起

问题解决技能的培训，尤其是科学与数学领域问题解决技能的培训，早在20世纪初就引起教育家和心理学家们的关注。［1］有关专家与新手的能力差异研究表明，单纯让学生进行问题解决的练习，不一定符合问题解决技能形成的一般规律。有些研究发现，专家与新手在棋局复盘成绩上的差异、采用策略解决问题上的差异，以及在问题分类上的差异主要是因为专家拥有相关领域的知识结构，而新手没有形成相应的知识结构或图式。［2-4］因此，Anderson提出了“程序性知识的习得应该从陈述性知识的学习开始”［5］的观点。

由于单纯的问题解决训练不利于问题解决图式的获得，学者们开始关注如何通过问题解决的样例学习，来提高学生的问题解决技能。一些研究发现，学生可以通过样例的学习，发现并运用规则来解决类似的问题。［6-8］而且，与单纯的问题解决练习相比，样例学习能够减轻学生的认知负荷，有助于规则的学习和问题解决图式的获得。［9］Sweller等人还对选择、呈现和排列样例的顺序等进行了实验研究，并提出了认知负荷理论。这些研究使“样例学习”成为一个备受心理和教育学者们关注的研究领域。

（二）样例学习早期实验研究所关注的问题

样例学习的早期实验研究关注的研究课题是样例内特征、样例间特征和“自我解释”对样例学习效果的影响。

样例内特征是单个样例的信息结构特征。整合样例中的各种信息，能够促进并提高样例学习的效果。［10］需要整合的信息包括：文本与图示信息的整合、视觉与听觉信息的整合以及对解题步骤加上子目标编码。

样例中既有图形又有文字，例如，在几何证明例题中，既有几何图形（即图示信息）又有文字证明（即文本信息）。如果两者过于分散，就会耗费学生的注意力、降低样例学习的效率。有人称这种现象为“分散注意效应”。［11］避免分散注意效应的方法就是将文本信息整合到图示信息中。［12-16］

有人认为，工作记忆的视、听通道是相对独立的。［17］许多研究发现，同时采用视、听两个通道加工信息其效果好于单通道加工信息的效果。［18-20］这种现象称为“通道效应”。［21-22］有学者以中学生为被试，以几何证明题为样例材料进行了实验研究。实验设计了三种样例：一种是视觉呈现几何图形和证明过程（即“视—视”）；另一种是视觉呈现几何图形、听觉呈现证明过程（即“视—听”）；第三种是视觉呈现几何图形，并以视、听两种形式呈现证明过程（即“视—视—听”）。实验结果表明，第一种样例的学习效果最差。［23］后来，有人又创设了“视—视—视觉提示”呈现的样例，即利用一个“视觉提示”（即一个闪烁的光标）将被试的注意力集中在几何图形与证明过程上。结果表明，该种样例的学习效果显著好于前者。［24］

Catrambone等人提出“子目标编码”的样例设计方法来克服学生在样例学习过程中出现的分散注意效应。［25-26］子目标编码是使用一种“标记”，提醒学生着重注意样例中解决问题的子目标。［27］有研究发现，有标记的样例比无标记的样例明显地提高了学习成绩。［28］国内学者对子目标编码在解决新问题中的作用进行了研究，结果显示，采用子目标编码的解题步骤有利于学生消除由于表面概貌及对应变化所带来的消极影响，并能够促进原理的理解和概化图式的获得。［29］

样例间特征研究所考虑的主要问题是多重样例的数量、多重样例之间的变异及样例与练习的结合方式。

样例既有表面特征又有结构特征。样例的表面特征是由样例中的具体事物或内容所决定的特征；而样例的结构特征则是直接关系到问题解决规则的选择和运用，并直接影响问题能否获得解决的内部结构特征。［30-31］多重样例之间的变异性是指样例之间的各种不同。其中，既有表面特征的不同也有结构特征的不同。国内学者在研究中发现，多重样例的变异和自我解释虽然对近迁移成绩影响不大，却能明显提高远迁移成绩。［32］还有研究发现，二重样例表面特征的变异对初学者近迁移成绩的提高有明显的促进作用，但对提高远迁移成绩的促进作用不明显。而结构特征的变异却能明显提高被试的远迁移成绩。［33］

Chi及同事较早对样例学习的个体差异进行了研究。他们发现，被试在样例学习过程中，如果能够发现自己的知识中存在“缺口”，就会尝试提出解释“缺口”的一个暂时性假设，并结合样例的后续学习来检验自己所提出的假设。Chi将这种现象称为“自我解释”效应。［34］很多学者进行了自我解释效应的实验研究，并关注对学生进行自我解释的训练。一些研究取得了明显的实验结果和训练效果。［35-37］

（三）样例学习的理论

在样例学习实验研究的过程中，有学者借鉴概念样例学习的理论，提出了样例学习的相似性理论和解释性理论。相似性理论用对多个相似样例进行分析、综合、抽象和概括得出规则来解释样例学习。［38］解释性理论则用对一个或几个样例的自我解释而领悟规则来说明样例学习过程。

后来，Anderson等人根据ACT-R理论，提出了四阶段模型来描述认知技能的习得过程。该理论模型将问题解决技能的习得过程划分为紧密联系且相互重叠的四个阶段，即问题类比解决阶段、规则提取阶段、程序性规则形成阶段和样例储存阶段。［38］

上世纪后期，Sweller又提出了与样例学习和样例设计密切相关的认知负荷理论。该理论以工作记忆认知资源总量的有限性为基本前提，并明确指出学习任何知识或进行任何信息加工都要占用工作记忆的有限认知资源，即产生认知负荷。所以，认知负荷就是学习知识或加工信息所需要的认知资源总量。［40］如果某种知识的学习所需要的认知资源超过了学生的认知资源总量，就会出现“认知的超负荷”，从而降低学习效果或使学习中断。

Paas等人还将认知负荷划分为内在认知负荷、外在认知负荷和相关认知负荷三种。［41］内在认知负荷是由知识内容本身的复杂程度所引起的认知负荷。内在认知负荷的高低取决于所学知识内容的复杂程度和学生已有的知识水平。［42-43］外在认知负荷则是由学习材料的组织形式和呈现方式不当所引起的干扰信息加工的效率和效果，影响知识获得的认知负荷。［44-47］一般来说，教学信息越是模糊不清、传递不畅，学习材料越分散，学习活动方式越复杂，所引起的外在认知负荷就越大。因此，样例设计就是要尽量减少外在认知负荷，使学生把认知资源尽可能多地用到学习知识内容上，从而提高学习效果。

相关认知负荷是为了帮助学生更有效地加工知识信息所人为增加的外在认知负荷。它虽然增加了学生的外在认知负荷，但由于它能降低学习难度并减少内在认知负荷，所以，它对学习有利。样例设计的主要任务就是通过增加有效的相关认知负荷，降低学生学习的内在认知负荷，进而达到削减学习难度、提高学习效果的目的。

（四）样例学习研究的新进展

近年来，样例学习的研究有新的进展，主要表现为三点。一是样例学习所应用的学科领域和学习功能不断扩大，应用的范围已经由原来的数学、物理学等少数学科扩展到化学、医疗、写作、艺术等诸多学科领域。样例学习的功能也由原来的问题解决能力训练扩展到学习策略、教学策略、人际交往策略等策略学习和各种操作、运动技能训练等诸多实践领域。二是样例类型的划分维度越来越多，由原来比较单一维度的划分发展为多维度的样例划分，相继出现了正确样例与错误样例的划分和组合、单内容样例与双内容样例以及多内容样例的划分与运用、动态样例与静态样例的划分与利用等等。三是样例学习的理论有所增加，班杜拉的社会学习理论也被纳入到样例学习理论的范畴。

二、小学生数学运算规则样例学习的实验研究

在诸多样例学习研究中，我们所关注的是如何设计样例，使学生经过样例的学习，领悟和学会运用隐含在其中的原理或规则（以下统称为“规则”）。由此，我们首先开展了小学生数学运算规则样例学习的实验研究。

（一）二年级小学生四则混合运算规则样例学习的实验研究

1.研究问题

小学生能否经过数学运算样例的学习，领悟并学会运用隐含在样例中的新的运算规则呢？这是我们的实验要考察的首要问题。其次要考察的是“子目标编码”在运算样例设计上的运用是否会提高样例学习的效果。

2.研究方法

以二年级小学生为被试选择群体。因为他们学习了整数的加减法运算和乘法口诀内的乘除法运算，但是还没有学习四则混合运算。以整数的四则混合运算样例为实验材料（即让被试学习的样例学习材料）。因为，四则混合运算规则对于这些被试来说是还没有学习的新运算规则。为了防止个别二年级小学生已经了解了四则混合运算规则，用“前测”筛选那些不会作四则混合运算测题的学生为正式实验的被试。为了进一步考察“子目标编码”在运算样例上的运用是否会提高样例学习的效果，设计了“有运算标记”和“没有运算标记”的两种四则混合运算的样例。两种运算样例除了有、无运算标记之外，其他都相同。将筛选出的被试随机分为两组。实验时，一个组被试学习有运算标记的样例，即“有标记”组；另一组被试学习无运算标记的样例，即“无标记”组。四则混合运算规则有3个子规则：（1）有小括号算式的运算规则；（2）有大、中、小括号算式的运算规则；（3）没有任何括号算式的运算规则。为了考察二年级小学生学习三个子规则的难易程度和所需样例的数量，实验采用运算样例和练习题“交替呈现”的方式。

3.实验结果

主要的统计分析结果如下：

（1）有、无标记组的被试学习“无括号”运算规则的通过率分别是62.5％和20.8％；学习“中括号”运算规则的通过率分别是91.7％和75％；学习“小括号”运算规则的通过率分别是91.7％和95.8％。

统计分析结果表明，大多数被试可以经过样例学习掌握“小括号”和“中括号”运算规则，但多数被试较难掌握“无括号”运算规则。

（2）从学习“无括号”规则的通过率来看，“有标记”组被试分别经过1至3个样例学习的通过率显著高于“无标记”组（Z=3.719，p＜0.001；Z=2.015，p＜0.05；Z=5.233，p＜0.001）。

从学习“小括号”规则的通过率来看，“有标记”组与无标记组的通过率之间无显著差异（Z=0.799，p＞0.05；Z=1.202，p＞0.05）。

用1个样例学会“中括号”规则的，“有标记”组被试的通过率显著高于“无标记”组（Z=4.375，p＜0.001）；而分别用2、3个样例学会的，有、无标记组之间无显著差异（Z=1.083，p＞0.05；Z=0.858，p＞0.01）。也就是说，运算标记对学习“无括号”和“中括号”运算规则有明显促进作用，但对学习“小括号”规则促进作用不显著。原因是“小括号”运算规则显而易学，没有运算标记也可以学会。

（3）分析结果还表明，学习不同子规则所需要的样例数量不同。在有标记情况下，用1个样例就可以学会“小括号”和“中括号”运算规则。而要学会“无括号”运算规则，至少需要3个样例。在无标记情况下，用1个样例可以学会“小括号”运算规则；用1到2个样例可以学会“中括号”规则；用3到4个样例才能学会“无括号”规则。［48］

4.研究结论

实验研究表明二年级小学生可以通过运算样例的学习，不同程度地掌握并运用四则混合运算规则。运算标记对样例学习起到了明显的促进作用。样例学习所需要的样例数量与子规则学习的难易程度有关。

（二）三至五年级小学生“去括号”运算规则样例学习的实验研究

1.研究问题

虽然二年级小学生可以经过运算样例的学习，掌握四则混合运算规则。可是，小学生是否可以经过其他运算样例的学习，掌握其他运算规则呢？为了回答这个问题，我们以有理数加、减法运算的样例为实验材料，考察三至五年级小学生可否经过样例学习，掌握有理数加、减法运算规则（即“去括号”规则）。

2.实验方法

实验之所以选择学习“去括号”运算规则，是因为我们在深入小学进行实验研究的过程中发现，多数三年级小学生已经有了负数的概念。选择三至五年级的小学生为被试，是想考察小学生样例学习能力的发展情况。“去括号”规则有4个子规则，每个子规则设计两个运算样例。所以，让被试学习的共有8个去括号运算样例。它们随机排成两列，要求被试在学习样例时，将自己认为是同类子规则的两个运算样例用直线连接在一起。这样做的目的是考察分类作业成绩与样例学习成绩的相关程度。

3.实验结果

统计结果显示：（1）四个子规则测验成绩的年级差异均显著［F（2，267）=36.074，p＜0.001；F（2，267）=56.282，p＜0.001；F（2，267）=23.153，p＜0.001；F（2，267）=17.732，p＜0.001］。事后分析结果显示，各年级之间的差异均显著（p＜0.05）。（2）被试分类作业成绩与后测成绩有显著的正相关（r=0.535，p＜0.01）。［49］

4.研究结论

三年级以上的小学生可以经过运算样例的学习，学会运用“去括号”运算规则。这种样例学习的能力随年级的增长而提高。样例分类作业与样例学习成绩有显著的正相关。

（三）六年级小学生因式分解运算规则样例学习的实验研究

1.研究问题

小学生是否可以经过两种因式分解代数运算样例的学习，掌握因式分解运算规则呢？这是本实验要考察的主要问题。其次要考察完整样例与不完整样例的学习效果。还要考察在各种不完整样例的学习过程中，有、无反馈对学习效果的影响。

2.实验方法

以六年级小学生为被试。样例学习材料是运算步骤完整和不完整的“完全平方和”和“平方差”因式分解代数运算样例。实验程序是先用“前测”筛选被试并将其随机分配到完整样例学习组和各个不完整样例学习组，不完整样例的各个组又分为“有反馈”的学习组和“无反馈”的学习组。然后分组进行样例学习。最后进行远、近迁移测验。

3.实验结果

实验数据统计分析的主要结果如下：

（1）近迁移测验的通过率表明，学会“平方差”因式分解的人数极少（χ2=67.222，p＜0.001）；学会与没学会“完全平方和”的人数之间差异不显著（χ2=1.422，p＞0.05）。远迁移测验的通过率显示，学会“平方差”和“完全平方和”因式分解运算的人数都极少（χ2=160.556，p＜0.001；χ2=160.556，p＜0.001）。近迁移测验通过率之间的差异分析表明，学习“平方差”的通过率分别低于或显著低于学习“完全平方和”的通过率。远迁移测验通过率之间的差异分析表明，各组学习“平方差”与学习“完全平方和”的通过率之间均无显著差异。

（2）有、无反馈的各种不完整样例学习组迁移测验通过率之间的差异检验结果表明，在近迁移测验的通过率上，反馈对步骤删除少的样例学习效果有显著促进，但对步骤删除较多的样例无显著促进；而在远迁移测验上，反馈对学习的促进作用均不显著。

（3）在有反馈的条件下，用4种不完整样例学习“平方差”和“完全平方和”的通过率差异都显著（ps＜0.01或p＜0.05）。在无反馈的条件下，用删除首步和首尾步样例学习“平方差”与学习“完全平方和”的通过率之间差异不显著（ps＞0.05），用删除中间步和首中步样例学习“平方差”与学习“完全平方和”的通过率差异显著（ps＜0.05）。分析结果表明，用不完整样例学习“平方差”因式分解运算规则效果较差，用不完整样例学习“完全平方和”运算规则的效果较好。

（4）通过完整样例（完整样例的学习无反馈）与有反馈的各种不完整样例学习两种因式分解运算规则的非参数检验结果显示：完整和4种不完整样例学会“平方差”因式分解规则的人数之间差异显著（χ2=11.756，p＜0.05）；学会“完全平方和”因式分解规则的人数之间差异显著（χ2=10.873，p＜0.05）。［50］

4.研究结论

六年级小学生不论学习完整的或不完整的“平方差”和“完全平方和”因式分解运算样例，多数被试很难学会因式分解运算规则，其原因值得深入探究。

三、小学生代数运算规则样例学习中遇到的问题与理论思考

上述三个实验结果表明，小学生可以通过运算样例的学习掌握算术运算规则，却很难学会代数运算规则。难道小学生只能用运算样例学习算术运算规则，而不能学习代数运算规则吗？回答当然是否定的。究竟是什么原因导致小学生不能用运算样例学习代数运算规则呢？

（一）促进“关键步骤”学习的样例设计方法的提出

经过对比分析和思考，我们发现，对于代数运算样例，被试并不是每个运算步骤都看不懂，只有个别步骤看不懂，从而导致整个样例学习的失败。因此，我们把被试看不懂的运算步骤称为样例学习的“关键步骤”并提出一种检测“关键步骤”的方法——“补写法”，即给被试呈现删除一个运算步骤的代数运算样例，并要求被试在学习时，根据上下运算步骤的联系将缺失的步骤补写出来。如果被试能够正确补写出来，则该步骤就不是关键步骤；如果被试不能补写或补写错误，则可判定该步骤为“关键步骤”。

为了解决运算样例中关键步骤的学习问题，我们还提出了“解释”“分解”和“整合”三种化解关键步骤学习难度的样例设计方法。我们分别用解释法设计了绝对值不等式运算样例、用分解法设计了同底数幂数字运算样例、用整合法设计了求解一元二次方程的数字运算样例，并分别与对应的普通样例（即“原样例”）进行了对比实验研究。实验结果表明3种方法设计的运算样例的学习迁移成绩均明显优于各自对应的普通样例的学习迁移成绩。［51］

（二）促进“新算符”学习的样例设计新方法的提出

“关键步骤”概念的提出以及化解关键步骤学习难度的三种样例设计方法的运用虽然收到了显著的效果。可是这三种方法设计的运算样例都是算术运算样例，而不是代数运算样例。究竟是什么原因导致小学生不能用运算样例学习代数运算规则的问题仍然没有得到回答和解决。经过一段时间的分析和思考之后，我们有了新的发现。我们注意到代数运算符号与算术运算符号有一些明显的不同之处。算术的乘法算式在被乘数和乘数之间有个乘法运算符号“×”，例如“2乘以5”，写作“2×5”。可是代数乘法运算却没有任何算符，例如“a乘以b”，写作“ab”。六年级小学生之所以难以用代数运算样例学习“平方差”和“完全平方和”的代数运算规则，主要因为他们不理解代数运算符号的运算含义。这些代数运算符号对于没有代数知识的小学生来说，属于新的运算符号（以下简称为“新算符”）。在代数运算中有很多运算符号，例如log，ln，sin，cos，∑，等等。如果想让学生经过代数运算样例的学习来掌握新的代数运算规则，那么，他们在代数运算样例中就难免会遇到这样的新算符。学生不理解这些新算符的运算含义，就很难通过运算样例的学习，掌握新的运算规则。

如何在运算样例中帮助学生理解新算符的运算含义呢？方法当然很多。例如，可以用前面提出的“文字解释法”，即在新算符旁边加上文字解释或说明。还可以像van Gog等人设计“以过程为导向的样例”（process-oriented worked examples）那样，将新算符的运算含义、原理和运用策略等知识用语言文字解释得清清楚楚。［52］其实，这两种方法和其他带有指导性解释的样例设计方法如出一辙，都是在运算样例中附加文字解释。可是，这样的运算样例虽然容易学，却如同听教师的讲解一样，降低了样例学习的难度和作用。

经过对数学运算规则的逻辑分析，我们清楚地认识到，所有的数学运算规则之间都有逻辑联系。我们完全可以根据这种逻辑联系，用被试已经熟知的运算规则解释新算符的运算含义。如果小学生学习了算术的加减乘除运算，但还没有学习代数运算，也不理解“ab”和“a2”的运算含义，我们就可以设计诸如“ab=a×b”，“a2=a×a”的运算样例，让他们学习。他们学习了这样的运算样例后，就可以理解“ab”和“a2”的运算含义了。我们将这种新算符的样例设计方法仍然称为“解释法”。为了区别于前面提出过的解释法，将前一种解释法称为“文字解释法”；后一种可称为“算式解释法”（以下简称为“解释法”）。这种解释法与前面提出的文字解释法相比，既实现了简捷明快的数学运算样例设计，突出了数学语言的运用，又减少了样例学习的相关认知负荷并对新算符的运算含义作出了准确的数学解释。

除了用解释法设计运算样例中的新算符外，我们还开发出“转换标记法”和“解释—标记法”两种新算符的样例设计方法。所谓“转换标记法”，就是用连线标记转换运算前后变量的对应关系，以此帮助学生理解转换运算的数学含义。例如，指数与对数的转换运算就可以运用转换标记法来设计运算样例。我们在下面介绍的实验研究中验证了这种设计方法的优越性。“解释—标记法”是解释法与标记法的结合，即对运算样例中起解释作用的算式加上不同的颜色（如红色），目的是引起学生的关注和思考，提高解释的效率和效果。这些方法的有效性和优越性也在下面介绍的实验研究中得到证实。

四、“转换标记法”“解释法”和“解释—标记法”的运用及实验结果

（一）指数与对数转换运算规则样例学习的实验研究

1.实验目的

主要考察学习用“转换标记法”设计的样例，其学习的效果是否优于学习无标记样例的效果。其次考察样例学习的数量对学习迁移效果的影响。

2.实验方法

（1）被试的选取。经过“前测”从初三学生中选出男女生各60名，共120名被试。随机分为4组，每组男女生各半共30人。第一和第二组学习有“转换标记标记”的样例（第一组学习其中的3个样例，第二组学习6个样例）。第三、四组学习无“转换标记标记”的样例（第三组学习其中的3个样例，第四组学习6个样例）。

（2）实验是2（样例类型）×2（样例数量）被试间随机分组实验设计。样例类型分为有、无转换标记的两种。有转换标记的用红色虚线箭头标示出指数与对数转换前后的对应关系。样例的数量分两种：一种是3个样例；另一种是6个样例。以样例学习后的迁移测验成绩作为因变量。

（3）实验材料中的“前测”材料由指数计算和对数运算各6道题组成。样例学习材料分为有、无转换标记的两种。每种样例学习分为3个样例和6个样例各两组。迁移测验材料由6道“指—对数”转换运算题组成。近迁移测题是3道指数向对数转换的题目；远迁移测题是3道对数转换为指数的题目。每作对一道迁移测题计1分，远、近迁移测验成绩满分各是3分。

3.实验结果

统计分析结果表明，学习两种样例的近迁移成绩差异显著［F（1，116）=400.00，p＜0.05］，但学习两种数量样例的近迁移成绩差异不显著（F（1，116）=1.00，p＞0.05）；样例数量与类型的交互作用差异不显著［F（1，116）=0.03，p＞0.05］。学习两种样例的远迁移成绩差异显著［F（1，116）=1.85，p＜0.01］，但学习两种样例数量的远迁移成绩差异不显著［F（1，116）=25.00，p＞0.05］；样例数量与类型的交互作用差异不显著［F（1，116）=0.01，p＞0.05］。［53］

4.研究结论

初中三年级学生在指数与对数转换运算规则的样例学习中，采用“转换标记法”设计对数符号，与普通样例相比明显地提高了样例学习的迁移成绩，说明这种新算符的样例设计方法对含有新算符的代数运算样例学习有促进作用，比普通样例更优越。学习样例的数量对迁移测验成绩无显著影响，可能是因为指数与对数转换运算只有三种变式规则，学习3个样例就涵盖了这三种变式。所以，与学习6个样例的效果没有显著差别。

（二）对数运算规则样例学习的实验研究

1.实验目的

采用“解释法”设计对数运算的样例。主要考察学习“解释法”样例的迁移成绩是否优于学习普通样例。其次考察学习过“指—对数转换运算”的被试是否会提高对数运算样例学习的迁移成绩。

2.实验方法

（1）被试的选取。从参加过前面“指数与对数转换运算规则样例学习实验”的被试中选取60名成绩优秀的学生，随机分为两组：一组学习“解释法”样例；另一组学习普通样例；再用“前测”从未参加过“指数与对数转换运算规则样例学习实验”的初三年级学生中选取60名学生并随机分为两组（每组30人）：一组学习“解释法”样例；另一组学习普通样例。

（2）实验是2（被试类型）×2（样例类型）被试间随机分组实验设计。被试类型是学过和未学习过转换规则的两种学生；两种样例类型是“解释法”样例和普通样例，因变量是迁移测验成绩。

（3）实验材料中的样例学习材料分为两种：一种是6个普通的对数运算样例，另一种是采用“解释法”设计的。两种样例的题目和题目数量都相同，只有运算步骤的设计不同。迁移测验由6道与样例题目相似但不同的题目组成。

3.实验结果

统计分析结果是：（1）学习“解释法”样例的迁移成绩明显优于学习普通样例［F（1，116）=4.90，p＜0.05］；（2）学习了转换规则被试的迁移成绩明显优于未学过的被试［F（1，116）=50.04，p＜0.001］；（3）样例与被试类型交互作用有显著差异［F（1，116）=7.01，p＜0.01］。

经过简单效应分析，在学过转换规则的被试中，学习“解释法”样例的迁移成绩显著优于学习普通样例的［F（1，117）=8.32，p＜0.01］；在未学转换规则的被试中，学习普通与“解释法”样例的迁移成绩之间没有显著差异［F（1，117）=0.07，p＞0.05］。不论学习哪种样例，两种被试的迁移成绩差异都显著［F（1，117）=45.73，p＜0.001；F（1，117）=9.48，p＜0.01］。也就是说，学过“指—对数转换”规则被试的迁移成绩显著高于未学过的被试。［53］

4.研究结论

“解释法”样例的学习明显提高了学习迁移测验成绩，即促进了对数运算规则的学习。指数与对数转换规则的学习对学习对数运算规则也有显著促进作用。

（三）分数和比例运算规则样例学习的实验研究

1.实验目的

实验的主要目的是考察“解释—标记法”样例是否会对学习起促进作用，而且是否优于“解释法”样例。其次考察学生的分数运算知识对学习比例运算规则的影响。

2.实验方法

实验研究分为3个子实验，分别依次进行。

第一个子实验的被试来自一所城市普通小学的四年级学生。先经过“前测”选出男女各30名，共60名被试，再将他们随机分到每组30人的两个实验组。实验材料有前测、样例学习和迁移测验三种材料。（1）前测材料有8个算术题，前4道题是两位整数加、减运算题，后4道题是分数加、减运算题。只有能够在“前测”中做对前4题而不能正确计算后4题的学生才能成为正式的实验被试。（2）样例学习材料的设计分为两种：一种是普通的8个分数加、减法运算样例；另一种是用“解释法”设计的8个样例。两种样例的题目和题目数量都相同，只有新规则的运算步骤设计不同。（3）迁移测验材料：迁移测题共8道，远、近迁移测验题各4道。被试答对一个题计1分，答错计0分。迁移测验成绩满分共8分，远、近迁移测验满分各4分。实验采用单因素被试间随机分组实验设计。实验在教室内分3个阶段进行。首先进行前测。其次进入样例学习阶段，被试分组在不同的教室里同时学习各自不同的样例材料。一组学习“解释法”样例；二组学习普通样例材料。最后进行迁移测验，让被试完成8个测验题。

第二个子实验与第一个子实验相似，不同的是筛选出90名被试，随机分为三组，样例学习材料也设计为3种：采用“解释—标记法”设计的；用“解释法”设计的；8个分数乘除法运算的普通样例。三种样例题目和题目数量都相同，只有新运算规则的运算步骤设计不同。实验设计和实验程序与第一个子实验基本相同。

第三个子实验的被试选取比前两个实验复杂些。先用前两个子实验的“前测”，从四年级学生中选择待选被试，再通过本子实验的“前测”从中筛选出60名被试，男女生各半，随机分到第一和第四组。又从第一个子实验的被试中选取迁移成绩得满分的被试为待选被试，再通过本实验的“前测”从中筛选60名被试，男女生各半，随机分到第二和第五组。最后，从第二个子实验的被试中选取迁移成绩得满分的被试作为待选被试，再通过本实验的“前测”从中筛选60名被试，男女生各半，随机分到第三和第六组。这样选择被试的目的是想考察被试学习过分数加减运算或乘除运算后，哪种运算对学习比例运算的影响较大。实验中的样例学习材料设计为两种：一种是比例运算的普通样例；另一种是采用“解释法”设计的比例运算样例。实验程序与前两个子实验基本相同。

3.实验结果

第一个子实验的结果如下：

“解释”样例组的远、近迁移实验成绩（平均分和标准差）分别是1.23±0.63、3.03±0.57。普通样例组被试远、近迁移测验成绩的平均分和标准差分别为1.07±0.25、2.20±0.49。

方差分析结果表明：两组被试的近迁移成绩之间差异显著［F（1，59）=38.319，p＜0.001］；但远迁移成绩之间差异不显著［F（1，59）=1.826，p＞0.05］。

第二个子实验的结果如下：

“解释—标记”样例组被试远、近迁移测验成绩的平均分和标准差分别为2.63±1.21、3.60±0.50。“解释”样例组被试远、近迁移测验成绩的平均分和标准差分别为1.77±0.82、3.53±0.57。普通样例组被试远、近迁移测验成绩的平均分和标准差分别为1.20±0.41、3.27±0.58。

方差分析结果如下：近迁移成绩的组别差异不显著［F（2，89）=3.565，p＞0.05］。远迁移成绩的组别差异显著［F（2，89）=20.260，p＜0.001］。事后分析（Tamhane）结果是，“解释—标记”组分别与“解释”组和普通组的远迁移成绩之间差异显著（p＜0.01；p＜0.001）；“解释”组与普通组的远迁移成绩之间差异也显著（p＜0.05）。

第三个子实验的实验结果如下：

三组学习“解释”样例被试的远、近迁移成绩（均值和标准差）分别是：第一组1.10±0.31，1.60±0.72；第二组1.53±0.51，2.47±0.78；第三组1.97±0.18，3.03±0.45。学习普通样例的三组被试远、近迁移测验成绩的平均分和标准差分别是：第四组0.10±0.31，0.24±0.50；第五组0.17±0.38，0.43±0.90；第六组0.40±0.67，0.67±1.12。

方差分析结果是，两种迁移成绩的样例类型主效应都存在显著差异［F（1，179）=431.41，p＜0.001；F（1，179）=270.30，p＜0.001］；被试类型的主效应也都差异显著［F（2，179）=28.66，p＜0.001；F（2，179）=21.37，p＜0.001］；样例和被试类型的交互作用都有显著差异［F（2，179）=6.91，p＜0.01；F（2，179）=6.32，p＜0.01］。

对二因素交互作用作简单效应分析的结果是，两种学习“解释”样例的被试，其两种迁移测验成绩都存在显著差异［F（2，179）=9.08，p＜0.001；F（2，179）=10.01，p＜0.001］，普通样例的近迁移成绩差异均不显著［F（2，179）=1.20，p＞0.05；F（2，179）=0.90，p＞0.05］。［54］

4.研究结论

“解释法”样例设计对四年级小学生通过运算样例学习分数运算规则和比例运算规则均有明显的促进作用。“解释—标记法”样例设计对四年级小学生通过运算样例学习分数乘除法运算规则所起的促进作用明显优于“解释法”。四年级小学生学习了分数乘、除法运算后，对他们学习比例运算规则起明显的促进作用。

五、样例学习的理论建构与教学实践：回答几个普遍关注的问题

（一）样例学习的性质如何？

样例学习的性质如何？当然包括记忆和模仿。因为任何学习都包括记忆，任何样例学习都不能摆脱模仿的影子。但是，样例学习绝不是机械的记忆和简单的模仿。因为从样例学习的内容来看，它学习的是某种规则和实际运用规则的方法及程序。规则是人们对事物之间内在关系的认识。如果用概念来表征事物，那么规则就是人们对概念之间内在关系的认识。人们认识世界，不仅要认识同类事物的共同属性和不同事物之间的差别，更重要的是认识事物之间的内在关系。因为掌握了事物之间的内在关系，才能实现对事物运动和变化的预测、控制和调整。也就是说，只有掌握了规则，才能用规则解决问题。规则既是人类认识的结晶，又是解决实际问题的有利工具。概念学习只是规则学习的前提和基础，掌握和运用规则才是学习的真正目的。所以，规则学习比概念学习更为重要。可是，以往的学习理论和实验研究较多地关注于简单行为反应和概念的学习。而涉及规则学习的理论和实验研究一直以来都十分贫乏。样例学习的研究终于使规则学习的研究经过迂回的途径呈现在样例学习的研究平台之上。从前面对样例学习研究的简要历史回顾来看，学者们最初所关注的是样例学习如何促进学生应用规则，即关注的是样例学习对学生解决问题能力的培训功能。这显然是本末倒置了。因为，他们没有首先关注规则的学习和获得，倒是直接关注了规则的应用。我们则一直关注于学生经过怎样的样例学习来学习规则，从而将规则学习的研究引上了顺行道。我们的研究与Anderson等人提出的四阶段模型也有根本不同。Anderson主张，要想掌握解决问题的技能，得先学习规则的陈述性知识，再经过4个阶段的学习和练习，熟练掌握问题解决的程序化规则。我们所从事的规则样例学习研究，是直接从样例学习入手，在样例学习过程中领悟隐含在样例中的规则，并学会规则的运用。规则既可以用文字和符号来表述，也可以表现为操作和运用的程序。所以，它既是程序性知识，也是陈述性知识。可是，学习和掌握规则未必都要像Anderson主张的那样，从陈述性知识的学习开始。

规则是人们在科学研究和各种社会实践活动中发现并概括出来的。学生却可以经过以下几种途径或方法学习规则：一是通过重复前人做过的实验来领悟规则，例如，做物理和化学实验等。二是经过逻辑推理或公式推导领悟规则，例如，数学定理的推导和证明等。三是观察前人的实际操作来学习操作规则，例如，观察工程师如何操作仪器等。四是经过类比联想来领悟规则，例如，用水流与水压的关系来理解电流与电压的关系。五是通过样例学习，领悟隐含在样例中的解题规则，例如，阅读教材中的例题等。由此看来，样例学习只是规则学习的有效途径之一。

以往样例学习的研究，有的既关注学生在样例学习时对规则的领悟，也关注规则的应用，更关注规则应用技能的训练、提高和熟练运用；有的却只关注规则的应用和解决问题能力的提高。我们的研究却着重关注学生在样例学习过程中对规则的领悟和掌握。因为，样例都是应用规则解决问题或完成作业的样例，所以，样例学习不可能与学习规则的应用分开。

从学习规则的活动特征来看，样例学习属于学生自主的发现学习，而不是聆听教师讲解的接受学习。从样例学习的功能来看，它不仅是学生领悟规则、学习应用规则的必由之路，而且已经成为策略学习、技能训练，乃至学习行为模式、情感特征、意志品质等人格特征的主要途径之一。如果样例设计和呈现得当，经过样例学习不仅可以使学生学会掌握和运用规则，还能激发学生的智慧潜能和学习兴趣，培养学生主动探究、深入思考的优秀品质和治学精神。

（二）怎样建构样例学习的理论？

如前所述，已有的样例学习理论只涉及到样例学习的简单心理过程、自身和外部的必要条件以及与规则应用技能形成过程的描述。相似性理论和解释性理论只涉及样例学习的一些显而易见的心理过程，不足以解释或说明样例学习复杂的认知加工过程。四阶段模型描述了问题解决心智技能的形成过程。它虽然强调了陈述性知识的学习对技能形成的重要作用，但是，由于它没有说明规则的陈述性知识是怎样习得的，所以，不能从根本上解释规则样例学习的过程和条件。认知负荷理论较好地回答了样例学习者必备的自身条件——认知资源总量和先备知识水平，以及样例学习的外部条件——知识内容的复杂程度或学生学习的难易程度、学习材料的性质、外在认知负荷的减少、相关认知负荷的增加对降低内在认知负荷的作用等。但是，它没有解释样例学习的认知活动过程，只能属于样例学习的条件性理论之一。纳入到样例学习理论范畴的社会学习理论，既较详细地阐释了观察学习的过程（四个阶段），又论述了观察学习的条件或影响因素（如：榜样的行为特征、学生的自身特征、学生与榜样的关系和三种强化作用等）。所以，该理论对于解释行为动作、操作和运动技能的样例学习是恰当的。但是，对于解释非行为动作的样例学习，尤其是解释许多静态样例（如数学例题和范文等）的学习就显得鞭长莫及了。我们在数学运算规则样例学习的研究中也揭示出一条数学运算规则样例学习的基本规律：只要利用“解释法”“转换标记法”和“解释—标记法”等有效的样例设计方法设计并解释运算样例中新算符和新规则的运算含义，且学生具备学习新规则的基础知识，就能够经过样例学习，自主领悟并学会运用隐含在运算样例中的新运算规则。如果将其称为理论的话，也属于数学运算规则样例学习的条件性理论。因为，这条规律只说明了数学运算规则样例学习所必备的内外条件，并没有说明数学运算规则样例学习的认知过程。

关于样例学习的动力机制可以作出如下解释：学生之所以能够进行样例学习，一定是具备了相应的基础知识。所以，样例中一定要有学生已经掌握的部分知识内容和能够看懂的成分或步骤。当然，样例中也一定要有学生不熟悉的知识内容、成分或步骤。对于学生来说，样例就是把学生熟悉的（学习过的）和不熟悉的（没学过的）知识有机地整合在一起。面对这样的知识体，学生一定会产生认知兴趣和求知欲望，并力图借助自己熟悉的知识来学习不熟悉的知识，这就是样例学习的动机来源之一。

样例学习的认知过程是复杂的，加上不同学生的思维方式、学习策略以及知识经验的不同，个体样例学习的思维活动或认知加工过程会有很大差异。所以，描述样例学习的一般认知过程很困难。但是，任何样例学习过程中一定包括对旧知识的回忆和联想，对新知识的分析、判断、比较、综合、抽象和概括，以及新旧知识之间的逻辑推理和意义联系等。总之，样例学习不论认知过程多么复杂、个体差异多么大，但基本的认知倾向和认知过程都是利用已有的旧知识经验来理解或同化新规则，也就是利用已有的旧知识经验学习新规则。其中，学生注意到的新旧知识之间的相似性是样例和练习题设计所提供的有利条件。这种有利条件促进了学生对新旧知识之间的分析、对比、抽象和概括。样例学习过程中的自我解释是学生将新旧知识进行逻辑联系或意义联系后的自我表述。如果样例的设计适应学生的学习能力和知识水平，学生就能够经过自己的努力和有效的认知加工实现新旧知识之间的正确逻辑联系，学懂并掌握样例中隐含的新规则。这样的样例学习所占用的认知资源一定不会超负荷。如果样例的设计和呈现不当，超出了学生的学习能力和知识基础（即超出了学生认知资源的总量），这时的样例学习一定是超负荷的，必将导致样例学习的失败。总之，样例学习是学生利用自己已有的知识经验，借助样例所给予的有利学习条件，经过自己努力的思考或认知加工，建立新旧知识之间的内在逻辑联系、领悟并学会运用新规则的过程。

（三）样例学习能使学生对新规则的理解达到何种程度？

有人担心，这样的样例学习可能会导致学生对新规则的肤浅理解，甚至根本就没有理解规则，只是对新规则“依样画葫芦”似的模仿式应用。有这种担心是正常的。在一些甚至多数初学者中，这种情况也不可避免。样例学习当然达不到那种听懂了老师的精彩讲解，学生对新学规则的理解水平甚至达到了老师的理解水平，而且在应用规则解决问题时准确无误的学习效果。可是，单纯进行这样的接受学习，学生的自主学习能力怎么培养，学生的认知欲望和挑战心理怎么满足，学生的探究精神怎么发挥。况且，人们对规则的理解是一个由浅入深的过程，学生对新规则的应用也是一个逐步熟练并在应用过程中不断加深理解的过程。老师讲解得再细致、再深入，也不一定能够涵盖规则的全部内涵和达到对规则认识的极至；学生听了老师的讲解后也不可能把规则理解和应用到极至。人们对事物的认识是不断深入的，学习是一个过程。任何学生都不可能从老师那里学到将来再不需要做进一步的思考和修正的知识。因此，样例学习的特有功能不可偏废。尽管学生最初的样例学习仅仅是“依样画葫芦”，可是学会了“依样画葫芦”总比不会画进步了。况且，儿童早期的学习乃至成人对新规则的最初学习，哪些人没有经历过这种过程和阶段呢？担心学生经过样例学习后对新规则的理解肤浅甚至根本就没理解。没关系，理解肤浅的以后可以加深，不理解的还可以再学习嘛。那种一蹴而就式的学习只能满足一时的功利需求，而满足不了学生一生的求知需要。

（四）样例学习怎样兼顾学生的个体差异？

还有一种担心是，样例学习可能只适用于优秀的学生或领悟能力较强的学生，而不适用于一般的学生或学习能力较差的学生。这种担心没有必要。因为只要我们了解每个学生学习能力和知识基础的实际情况，加上对样例精心而有效的设计和呈现，只要给学生呈现适合他学习的样例，就不愁学生不能进行样例学习，也不愁学生不能从样例学习中获益。完全可以针对不同的学生，分别设计出适应各种学生甚至每个学生学习需要和实际情况的样例，从而兼顾学生样例学习的个体差异。只是教师要懂得样例学习的原理和样例设计的方法，加上对学生的深入了解、细致而有效的样例设计和呈现，就可以满足各种学生的样例学习需要，并适用于各种学习能力和知识水平的学生。

研究样例学习并不追求一体化的样例学习和教学，而是提供满足各种学生学习需要的有效样例学习材料。样例学习是学生自主发现式学习的一种，也有发现学习的缺点和局限，例如耗时较多、学习效率较低、受个体差异的影响较大等。可是，哪一种学习没有局限和缺点呢？不过，如果样例设计得适当，学习中的一些缺点是可以弥补的，其应用的范围也可以扩大。因此，样例学习的深入研究正在为教材设计、学生的自主学习和教师的课堂教学源源不断地提供原理的指导和方法的借鉴。

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［责任编辑：江 波］

The Worked-Examples Learning of Mathematic Operation Rules：Experimental Studies and Theoretical Exploration

Zhang Qi Zhang Xiao-xiao
（1.College of Psychology，Liaoning Normal University，Dalian Liaoning 116029，China；2.College of Psychology，Beijing Normal University，Beijing 100875，China）

The authors conducted a series of experimental studies and theoretical exploration of mathematic operation rules.The initial experimental studies about elementary school student’s worked-examples learning the rules of“four fundamental operations arithmetic”and“removal of parenthesis”had acquired expected results.But the authorsd encountered problems in the experimental studies of the elementary school student’s workedexamples learning of algebraic operation rules.The authors proposed new methods that designed the new operators and new operation rules of the mathematic operation worked-examples，they were named the method of explanation，the method of converting label and the method of explanation-labels whose superiority had been verified in the experiments of the worked-examples learning of the rules of conversion form index to logarithmic，the rules of logarithmic operation，the rules of fractional arithmetic and the rules of proportion operation.On the basis of these experimental studies，the authors answered some questions in this paper，such as characters of worked-examples learning，the construction of the theory of worked-examples learning and the consideration of individual differences in student’s learning the rules with worked-examples learning.

operation rules；worked-examples learning；new operators；method of explanation；method of converting label

张奇（1955— ），男，辽宁辽阳人，博士，辽宁师范大学心理学院教授、博士生导师，主要从事学习与教学心理研究；张笑笑（1984— ），女，辽宁大连人，北京师范大学心理学院博士研究生，主要从事学习与社会心理研究。

国家自然科学基金面上资助项目“数学运算样例中关键步骤的学习研究”（项目编号：30970888）的阶段性研究成果。

B845.1

A

2095-7068（2015）01-0083-13

2014-12-19

*通讯作者：张笑笑，E-mail：xiaoxiao19841028@126.com。