（2＋1）维Kaup－Kupershmidt方程的精确行波解①

贾 荣，冯大河，程源泉，余晶晶

（桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林 541004）

求解非线性偏微分方程（组）的精确解一直是数学物理领域的重要研究课题之一，非线性方程的波解描述了众多重要现象和动力学过程，因此被广泛应用于物理、工程技术和数学等领域，如非线性光学、量子论、流体力学、弹性理论和凝聚态物理等。到目前为止，众多有效的求解非线性偏微分方程（组）的方法已被提出，包括反散射方法［1］、Backlund变换法［2］、Darboux变换法［2］、Hirota双曲线性法［2］、齐次平衡法［3－5］、动力系统分支理论方法［6－8］、Tanh函数法［1］、Jacobi椭圆函数展开法［9］。其中，Tanh函数法是求解非线性偏微分方程精确解的一种有效方法。2003年，Fan Engui［10］提出了一种新的代数方法，即Fan子方程法，2007年，Feng Dahe等［11］改进了这种方法。与Tanh函数法相比，利用Fan子方程法求解方程易得更多一般的行波解。目前，不少学者利用该方法研究非线性偏微分方程的问题。Feng Dahe等［12］利用该方法求解ageneralized Hirota－Satsuma coupled KdV equation的精确行波解。元艳香等［13］获得Zhiber－Shabat方程更多丰富的精确解，Lu Hailing等［14］利用对称函数方法研究了（2＋1）维Kaup－Kupershmidt（KK）方程的精确解，Hrawy等［15］利用指数函数法得到了（2＋1）维KK方程新的精确解。为此，利用Fan子方程法研究（2＋1）维Kaup－Kupershmidt方程，并给出该方程的精确解和相应的波形图。

1 利用Fan子方程法求解（2＋1）维Kaup－Kupershmidt方程

利用Fan子方程法研究（2＋1）维Kaup－Kupershmidt方程：

作行波变换u（x，y，t）＝U（ξ），ξ＝x＋ky＋et，其中，k、e为常数，方程组（3）转化为：

根据Fan子方程法，设方程组（4）的解为：

其中ai、bi为待定系数。新变量φ＝φ（ξ）满足子方程：

其中ε＝±1，cj（j＝0，1，…，4）为待定常数。因此，对于变量ξ的微分则转化为新变量φ（ξ）的微分：

把式（5）～（8）代入方程组（4），然后平衡最高阶导数项和最高阶非线性项，可得n1＝n2＝2。方程组（4）的解可表示为：

令ε＝1，φi和φi的系数为0，由此得到一系列关于ai、bi（i＝0，1，2）的代数方程，应用符号计算软件Maple求解此方程，得到该方程组15种情况的解，从而得到方程组（3）的30组精确解。

2 （2＋1）维Kaup－Kupershmidt方程的30组精确解

2.1 c0＝0，c1＝0，c2＝0，c4＝0的有理函数解

设a2＝0，a1＝－c3／4，a0＝－kσ／3，b2＝0，b1＝－kc3／4，b0＝k2／3－3e／5σ，其中σ2＝1，c3≠0，k、e为任意常数，由c0＝0，c1＝0，c2＝0，c4＝0，可得方程（6）的1组有理函数解：

把方程（10）代入方程（9），方程组（3）的精确解为：

2.2 c2＝0，c4＝0，c3＞0的Weierstrass椭圆函数解

设a2＝0，a1＝－c3／4，a0＝－σk／3，b2＝0，b1＝－kc3／4，b0＝（80σk2＋3c1c3－144e）／240σ，其中σ2＝1，c1≠0，c0、k、e为任意常数，由c2＝0，c4＝0，c3＞0，可得方程（6）的1组Weierstrass椭圆函数解：

其中g2＝－4c1／c3、g3＝－4c0／c3为双周期Weierstrass椭圆函数的变量。把方程（12）代入方程（9），方程组（3）的精确解为：

2.3 c0＝0，c1＝0，c4＝0的三角函数解和双曲函数解

设a2＝0，a1＝－c3／4，a0＝－σk／3－c2／12，b2＝0，b1＝－kc3／4，b0＝（80σk2－20σkc2－c22－144e）／240σ，其中σ2＝1，c3≠0，k、e为任意常数，由c0＝0，c1＝0，c4＝0，可得方程（6）的1组三角函数解、1组双曲函数解：

把方程（14）代入方程（9），方程组（3）的精确解为：

2.4 c0＝0，c1＝0，c2＝0，c4＝0的有理函数解

设a2＝0，a1＝－2c3，a0＝－σk／3，b2＝0，b1＝－2kc3，b0＝k2／3－3e／5σ，其中σ2＝1，c3≠0，k、e为任意常数，由c0＝0，c1＝0，c2＝0，c4＝0，可得方程（6）的1组有理函数解：

把方程（16）代入方程（9），方程组（3）的精确解为：

2.5 c2＝0，c4＝0，c3＞0的Weierstrass椭圆函数解

设a2＝0，a1＝－2c3，a0＝－σk／3，b2＝0，b1＝－2kc3，b0＝（5σk2＋33c1c3－9e）／15σ，其中σ2＝1，c1≠0，c0、k、e为任意常数，由c2＝0，c4＝0，c3＞0，可得方程（6）的1组Weierstrass椭圆函数解：

把方程（18）代入方程（9），方程组（3）的精确解为：

2.6 c0＝0，c1＝0，c4＝0的三角函数解和双曲函数解

设a2＝0，a1＝－2c3，a0＝－σk／3－2c2／3，b2＝0，b1＝－2kc3，b0＝（5σk2－10σkc2－11－9e）／15σ，其中σ2＝1，c3≠0，k、e为任意常数，由c0＝0，c1＝0，c4＝0，可得方程（6）的1组三角函数解、1组双曲函数解：

把方程（20）代入方程（9），方程组（3）的精确解为：

2.7 c0＝0，c1＝0，c2＝0，c3＝0，c4＞0的有理函数解

设a2＝－c4，a1＝0，a0＝－σk／3，b2＝－kc4，b1＝0，b0＝k2／3－3e／5σ，其中σ2＝1，k、e为任意常数，由c0＝0，c1＝0，c2＝0，c3＝0，c4＞0，得到方程（6）的1组有理函数解：

把方程（22）代入方程（9），方程组（3）的精确解为：

2.8 c0＝0，c1＝0，c3＝0的三角函数解和双曲函数解

设a2＝－c4，a1＝0，a0＝－σk／3－c2／3，b2＝－kc4，b1＝0，b0＝（5σk2－5σkc2－－9e）／15σ，其中σ2＝1，k、e为任意常数，由c0＝0，c1＝0，c3＝0，可得方程（6）的1组三角函数解、1组双曲函数解：

把方程（24）代入方程（9），方程组（3）的精确解为：

2.9 c1＝0，c3＝0的三角函数解、双曲函数解和3组双周期Jacobi椭圆函数解

设a2＝－c4，a1＝0，a0＝σk／3－c2／3，b2＝－kc4，b1＝0，b0＝（5σk2－c0c4－5σkc2－－9e）／15σ，其中σ2＝1，k、e为任意常数，由c1＝0，c3＝0，可得方程（6）的1组三角函数解、1组双曲函数解、3组双周期Jacobi椭圆函数解：

其中m（0＜m＜1）为Jacobi椭圆函数的模。把方程（26）～（30）代入方程（9），方程组（3）的精确解为：

2.10 c0＝0，c1＝0，c2＝0的指数函数解和有理函数解

设a2＝－c4，a1＝－c3／2，a0＝（3－16σkc4）／48c4，b2＝－kc4，b1＝－kc3／2，b0＝（240＋1280σk2，其中σ2＝1，c3≠0，k、e为任意常数，由c0＝0，c1＝0，c2＝0，可得方程（6）的1组指数函数解、1组有理函数解：

把方程（32）代入方程（9），方程组（3）的精确解为：

2.11 c0＝0，c1＝0的三角函数解和双曲函数解

设a2＝－c4，a1＝－c3／2，a0＝，其中σ2＝1，c3≠0，c4≠0，k、e为任意常数，由c0＝0，c1＝0，可得方程（6）的1组三角函数解、1组双曲函数解：

其中当c2＝／4c4时。将方程（34）代入方程（9），方程组（3）的精确解为：

2.12 c0＝0，c1＝0，c2＝c32／4c4的三角函数解和双曲函数解

设a2＝－，其中σ2＝1，c3≠0，k、e为任意常数，由c0＝0，c1＝0，c2＝c32／4c4，可得方程（6）的1组三角函数解、1组双曲函数解：

把方程（36）代入方程（9），方程组（3）的精确解为：

2.13 c0＝0，c1＝0，c2＝0，c3＝0，c4＞0的有理函数解

设a2＝－8c4，a1＝0，a0＝－σk／3，b2＝－8kc4，b1＝0，b0＝k2／3－3e／5σ，其中σ2＝1，k、e为任意常数，由c0＝0，c1＝0，c2＝0，c3＝0，c4＞0，可得方程（6）的1组有理函数解

把方程（38）代入方程（9），方程组（3）的精确解为：

2.14 c0＝0，c1＝0，c3＝0三角函数解和双曲函数解

设a2＝－8c4，a1＝0，a0＝－σk／3－8c2／3，b2＝－8kc4，b1＝0，b0＝（5σk2－40σkc2－176－9e）／15σ，其中σ2＝1，k、e为任意常数，由c0＝0，c1＝0，c3＝0，可得方程（6）的1组三角函数解、1组双曲函数解：

把方程（40）代入方程（9），方程组（3）的精确解为：

2.15 c1＝0，c3＝0的三角函数解、双曲函数解和3组双周期Jacobi椭圆函数解

设a2＝－8c4，a1＝0，a0＝－σk／3－8c2／3，b2＝－8kc4，b1＝0，b0＝9e）／15σ，其中σ2＝1，k、e为任意常数，由c1＝0，c3＝0，可得方程（6）的1组三角函数解、1组双曲函数解、3组双周期Jacobi椭圆函数解：

把方程（42）代入方程（9），方程组（3）的精确解为：

3 （2＋1）维KK方程相应的波形图

（2＋1）维Kaup－Kupershmidt方程30组解的图形大致分为5类：

1）KK方程的第3、7、10、11、24、26组解有相似的图形，其中第3组解的波形如图1所示。

图1 当σ＝1，c2＝－0.04，k＝e＝1，t＝0时U3、V3的波形Fig.1 The waveforms ofU3，V3 whenσ＝1，c2＝－0.04，k＝e＝1，t＝0

2）KK方程的第4、8、12、13、25、27组解有相似的图形，其中第8组解的波形如图2所示。

图2 当σ＝1，c2＝0.04，k＝e＝1，t＝0时U8、V8的波形Fig.2 The waveforms ofU8，V8 whenσ＝1，c2＝0.04，k＝e＝1，t＝0

3）KK方程的第14、15、16、28、29、30组解有相似的图形，其中第14组解的波形如图3所示。

4）KK方程的第18组解的波形如图4所示。

图3 当σ＝1，c2＝0.28，k＝e＝1，m＝0.8，t＝0时U14、V14的波形Fig.3 The waveforms ofU14，V14 whenσ＝1，c2＝0.28，k＝e＝1，m＝0.8，t＝0

图4 当σ＝1，c3＝0.2，c4＝0.02，k＝e＝1，t＝0时U18、V18的波形Fig.4 The waveforms ofU18，V18 whenσ＝1，c3＝0.2，c4＝0.02，k＝e＝1，t＝0

5）KK方程的第20、22组解的波形如图5所示。

图5 当σ＝1，c2＝－0.01，c3＝0.2，c4＝1，k＝e＝1，t＝0时U22、V22的波形Fig.5 The waveforms ofU22，V22 whenσ＝1，c2＝－0.01，c3＝0.2，c4＝1，k＝e＝1，t＝0

4 结束语

利用Fan子方程法，借助符号计算软件Maple求解（2＋1）维KK方程，获得了该方程的30组精确解。与其他求解（2＋1）维KK方程方法相比，利用Fan子方程法得到的解更丰富、更具一般性。由此可见，Fan子方程法是求解非线性偏微分方程精确解的一种有效方法。后续研究可借助Fan子方程法或推广的Fan子方程法，解决非线性问题。

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