最小二乘配置在形变监测中的应用

郭迎钢，李宗春，李 伟

(信息工程大学，河南 郑州450001)

一、引 言

在变形监测过程中，要获取监测区域变形情况的基本方法是在变形体的变形特征处设置一些监测点，通过重复观测监测点的坐标来获取区域的变形信息。在实际的监测过程中，如果对变形区域的某些没有布设监测点的区域感兴趣，虽然可以通过内插或拟合的方法来概略获取其变形信息，但是无法进行精度评定。最小二乘配置具有可以评定精度的优点［1］，恰好能解决这个问题。

最小二乘配置起源于根据最小二乘推估来内插和外推重力异常的课题。1969年，经克拉鲁普(T Krarup)的发展，提出了最小二乘配置法;莫里兹(H·Moritz)对最小二乘配置进行了系统深入的研究，提出了带系统参数的最小二乘配置;经过以后的发展，最小二乘配置在大地测量、航空摄影测量、坐标系统变换、GPS水准拟合［2］、形变测量等方面得到了广泛的应用［3］。本文将最小二乘配置应用于形变监测中变形网内插点的变形分析，并通过试验对该方法的进行了验证。

二、基于最小二乘配置的内差点形变分析

1．最小二乘配置原理

最小二乘配置的函数模型为

式中，L为维观测向量;Δ为观测误差;X为t维非随机参数;A为n×t阶设计矩阵，rank(A)=t;Y为随机参数，包括n维的已测点信号S和g维的未测点信号S'，所谓未测点信号，是指在观测方程中不出现的信号。

最小二乘配置的随机模型为

最小二乘配置的估值准则为

最小二乘配置的主要目的是估计未测点的完全信号

未测点完全信号的协方差矩阵如下

合理的协方差函数确定一直是最小二乘配置中的关键问题。在确定协方差函数时，一定要关注所研究对象的几何和物理特性，因为这种特性决定了所研究对象内部的相关性，而如何正确反映这种相关性正是协方差函数一直追求的目标［4］，因此要具体情况具体分析，根据其特性选择合适的方法［5］。

信号可以看作是平稳随机过程的一个实现(观测值)，可以用随机过程的协方差函数来描述。常用经验函数为

或

来构造协方差矩阵。

2．最小二乘配置的计算步骤

最小二乘配置的计算步骤如下:

1)选择趋势函数;

2)选择并计算已测点的方差-协方差;

3)计算确定性参数;

4)推估未测点的信号及完全信号估值;

5)精度评定。

3．利用最小二乘配置分析内插点的形变

对于目标的变形监测，一般是通过观测布设的变形监测参考网网点坐标的变化来分析其形变情况的。如果想了解除网点以外其他点的变形情况，可以用内插或拟合的方法来进行分析，本文利用最小二乘配置对变形监测网的内插点形变情况进行分析。

对目标的形变监测可以分为沉降监测和水平位移监测，本文以沉降监测为例。设沉降监测网共有n个网点，对应的高程分别为hi(i=1，…，n)，有m个内插点。相应的最小二乘配置随机模型不变，函数模型为

式中，L为观测值向量;α0、α1、α2为趋势参数;S为n×1维信号向量;Δ为观测值误差向量;未测点信号S'为m维。

通过两期变形监测的观测值可以得到两期观测值的高程差，然后通过稳定性分析可以得出各网点的实际变形量。将每个网点对应的变形量作为观测值向量L，利用最小二乘配置可以计算出系数α0、α1、α2，已测点信号S、未测点信号S'和未测点完全信号，也就是m个内插点的沉降估值，未测点信号的权逆阵Σ^S'反映了估值的精度。相关公式推导如下

将式(7)的函数模型用式(1)的形式表示

用AX来表示α0+α1xi+α2yi，Y为随机参数，包括n维的已测点信号S和g维的未测点信号S'。B=[ I 0]，I为n维单位向量。

对应的误差方程为

求导，令其等于零

得

将式(14)、式(16)代入式(9)得

式(18)左乘ATPL，顾及式(17)得

由式(18)得

将式(20)代入式(14)、式(16)得

顾及

根据误差传播定律，可以推导出精度估计式如下

关于信号的权逆阵赋值，选择经验函数法，取经验公式为σ(d)=σ(0)exp(－K2d2)。

三、试验结果及分析

为了验证上文所提出的利用最小二乘配置分析变形监测网内插点变形情况的合理性及正确性，下面分别利用一组模拟数据和一组工程数据来进行试验验证。

1．模拟试验

本试验所使用的数据是模拟数据(如图1所示)，数据范围是一个100 m×100 m的矩形变形区域。下面给出试验中所采用的变形监测网点和检查点的分布示意图。

图1 模拟试验监测网点和检查点分布

变形监测网点坐标及两期模拟沉降值见表1。

模拟变形区域的整体变形趋势为:任意一点的变形量与它到1号点距离成正比，由此可以得出内插点坐标和理论的沉降值见表2。

取函数模型为

其中，Li为观测值，α0、α1为趋势参数，s为信号。随机模型不变，信号的验前协方差公式及观测值的权矩阵公式取σ(d)=0．126exp(－0．36d2)，P=100×I。

计算所得内插点的变形情况见表3。

表1 监测网点坐标和沉降量 m

表2 内插点坐标和沉降量 m

表3 预测沉降量与实际沉降量 m

通过比较计算所得的沉降量于所设计的理论值比较可以看出，最小二乘配置计算所得结果精度较高，与理论值相差不超过0．008 m，可以反映出内插点的变形趋势，因此可以用来分析内插点的变形情况。还可以通过权逆阵来分析计算结果的精度，经过最小二乘配置计算的未测点完全信号的权逆阵如下

2．工程试验

选择大连市红旗街道岔鞍村滑坡监测的工程数据［6］来进行试验，选择2010年10月29日和11月21日两期观测数据，有点P1—点P10共10个网点，随机选取P3点和P7点作为内插点，用最小二乘配置原理计算预测其变形情况，然后于实际测量结果进行比较。这里只针对网点和内插点X坐标进行分析。岔鞍村滑坡监测网点坐标及两期观测值X方向上形变量见表4。

表4 监测网点坐标和X方向上形变量 m

3号点和7号点的坐标和两期观测值X方向上真实形变量见表5。

该试验中所采用的变形监测网点和检查点的分布示意如图2所示。

函数模型和信号的验前协方差公式及观测值的权矩阵公式与模拟试验一致，计算内插点的变形情况见表6。

表5 内插点坐标和X 方向上真实形变量 m

图2 真实试验监测网点和检查点分布

表6 X方向实际形变量与预测形变量 m

通过比较计算所得的沉降量与点位的实际观测形变量比较可以看出，在工程试验中，计算值与实际形变量相差较大，但可以反映出内插点的变形趋势，因此可以用来分析内插点的变形情况。还可以通过权逆阵来分析计算结果的精度，经过最小二乘配置计算的未测点完全信号的权逆阵如下

由试验结果数据可以看出，采用模拟数据进行试验所得到的结果精度很高，证明本文利用最小二乘配置原理来分析变形监测控制网内插点变形情况是可行的;采用真实数据进行试验所得到的结果与实际测量结果相差较大，其原因是有些网点的变形具有特殊性，但仍然可以反映出内插点的变形趋势，并可以通过未测点完全信号的协方差阵来评价预测形变量的精度，因此该方法可以用来分析内插点的变形情况。两组试验结果表明，本文提出的基于最小二乘配置原理的变形监测网内插点形变分析的方法是可行的。

四、结束语

本文从最小二乘配置理论出发，推导了预测变形监测网内插点形变量的计算公式和精度估计式，并通过模拟数据试验和工程数据试验，验证了该方法的正确性和有效性，得出了最小二乘配置可以用于分析变形监测网内插点变形分析的结论。相比较于直接内插或拟合的方法求内插点的变形量，最小二乘配置的优势在于可以在提供预测值的同时进行精度评定，对于精度较低的预测结果可以舍弃，以保证对预测点形变信息预测分析的可靠性。

［1］ 张希，江在森，用最小二乘配置获得地形变应变场动态图像的几个问题研究［J］．地壳形变与地震，1999(3):32-39．

［2］ 杜红飞，谢劭峰，孙昌瑜．最小二乘配置法在GPS高程异常值推估中的应用［J］．河南科学，2013(2):208-211．

［3］ 黄维彬．近代平差理论及其应用［M］．北京:解放军出版社，1990．

［4］ 柴洪洲．地壳运动背景场及其监测网数据处理理论与方法研究［D］．郑州:解放军信息工程大学，2006．

［5］ 柴洪洲，崔岳，明锋．最小二乘配置方法确定中国大陆主要块体运动模型［J］．测绘学报，2009，38(1):61-65．

［6］ 朱爽．大连市红旗街道岔鞍村滑坡监测研究［D］．长春:吉林大学，2014．