三维坐标转换模型的原理

于思研

(黑龙江省水利水电勘测设计研究院，哈尔滨150080)

假设有两个空间直角坐标系QA-XAYAZA与OBXBYBZB，这两个坐标系具有不同的原点以及不相互平行的坐标轴，因此这两套坐标系统间存在3 个旋转角与2 个不同的坐标系尺度，即角度∂X、∂Y、∂Z、尺度因子1与1+δu，δu即为两个坐标系的尺度变化常数。通常称空间中任意一点Pt 在两种坐标系中的坐标，即(Xt1、Yt1、Zt1)与(Xt2、Xt2、Xt2)两者之间的关系为三维转换模型。

1 布尔莎模型

布尔莎模型即七参数模型，如图1 所示。

图1 两个空间直角坐标系间的关系

图中显示有两个定向的直角坐标系，即O－XYZ与Q1-X1Y1Z1，两坐标系的原点不相同，即存在3个平移的参数△X、△Y、△Z;两个坐标系的坐标轴不相互平行，从而产生3 个旋转参数;两个坐标系尺度的不同，使得必须引入一个尺度变化因子，得到如下:

而当mx、my、mz很小时，其旋转矩阵R 可以写成:

上式也称之为布尔莎七参数公式。式中的7 个未知参数一般由一个点在两套空间系统中的坐标(X、Y、Z)与(X1、Y1、Z1)采用最小二乘法求得。上式改写成矩阵形式如下:

以此写成如下误差方程式的形式:

根据最小二乘原理要求VTTPV 最小，从而求得参数向量的解X=(ATPA)-1(ATPω)-1A 为系数矩阵。此模型比较适用于高斯平面坐标换算、小区域地方坐标系以及国家坐标系之间的换算。

WGS84 坐标系和地方独立坐标系以及国家坐标系是不同假定参数下的坐标系，其共同的特点是都强调整体性，前两者强调与地表的符合度，而后者则是以整个地球椭球为基准。对于四参数模型来说，类似的“差分”原理的应用减少了相关变量的相互影响，而且通过限制一定的区域使得点坐标值的平移相关性在互减中得到了一定的克服［1］。因此在某些条件下，四参数模型比七参数模型具有更高的精度。

2 莫洛金斯基模型

为了消除布尔莎模型中平移以及旋转参数之间的强相关性，进而引入了一个新的旋转中点，即旋转中心由以前的地心坐标原点变换为一个特定的位置，其转换公式如下:

式中:dX、dY、dZ 表示两个坐标系中原点的平移矢量，原坐标系中点的矢量加上原点，也就是该点在新坐标系中的矢量位置。平移参数也就是原坐标系的原点在新坐标系中的坐标值。RX、RY、RZ表示坐标参考框架的旋转角，其符号定义为:以直角坐标系的原点为起点，沿轴正向看，其坐标参考框架绕轴顺时针旋转为正。从原坐标变换到新坐标，如果绕Z 轴的旋转其角度为正，那么变换后的坐标经度将会变小。XP、YP、ZP表示坐标参考框架的旋转中心，在原直角坐标系中定义。M 表示位置矢量的比例因子，是位置矢量从原坐标系变换到新坐标系的尺度伸缩量。M=(1+Ds×10-6)，式中的dS 代表着尺度校正量，以百万分之一计。

应用此模型的特点在于受到旋转以及尺度影响的仅仅是P 点与S 点之间的坐标差，P 点并不受到转换参数的影响。

3 武测模型

对于布尔莎模型，从理论方面来讲，两坐标系原点轴向定义后，其坐标系的变换参数就能够唯一确定，呈现出一种相似变换的关系，但是当网中存在一定的系统误差时，这种相似变换的关系就会被破坏，此时采用分区变换模型能够有效的提高坐标变换精度。根据全国多普勒网与GPS 网对参心坐标系求解的变换参数的实际结果表明，大约能够提高精度的30%左右。

七参数法的特点体现在时间性以及区域性，如果地形是从平原到山区这些变化剧烈的地方，那么其高层异常值的变化就会非常大，这就要求在GPS多种处理软件中输入相对的大地水准面差距值，所以很难做到兼顾到整个的测区，这就是所说的额区域性;当然随着测绘技术的发展以及测量数据的不断积累，在未来对大地水准面的研究与认识会更加的深入与透彻，高程异常值的确定一定会在更大范围内以更加精确、完善的数学模型来表示。

综上所述，三维坐标系的转换在测量工程占有着重要的作用，就目前来看其转换模型各具特点，同时在精度上还有着一定的提升空间，相信在未来我们将研究、建立出更加科学、精确的转换模型。

［1］蔡昌盛，高井祥，张华海，等.大范围GPS 三维坐标转换方法探讨［J］.矿山测量，2005(12):4－5