由2010年山东高考理科数学压轴题所想到的

张晓

辨析：在2013年的备考复习过程中，高三学生做这道题，很多学生都转化为f（x）min≥g（x）max，事实上，“若这样，对任意x1∈[0，2]，都有任意的x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2）”，就将该问题范围缩小了。用图像通俗地解释就是函数f（x）的图像上任意一点都在函数g（x）图像的上方。

而正确的解法是：要想满足题意，只需使f（x）min≥g（x）min。用图像来解释就是函数f（x）的图像上任意一点都可以在函数g（x）图像找到一点在它的下方。

变式题目：已知函数f（x）=（x-1）2，g（x）=x3-3x2-6x+m，

（1）若对任意的x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数m的取值范围。

（2）若对于任意的x1∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数m的取值范围。

（3）若对于任意的x1∈[-2，2]，总存在x2∈[-2，2]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围。

对于（1）有学生这样解：

即h（x）=g（x）-f（x）

=x3-4x2-4x+m-1，

转化为该函数的最小值大于等于0。

该题中，“若x1∈I，x2∈I都有f（x1）≤g（x2）”与“若x1∈I，都有 f（x1）≤g（x2）”意义是不同的。前者表明函数f（x）在[-2，2]上一点 x1的函数值不超过g（x），在[-2，2]上一点x2（x1与x2不一定相等）的函数值，用图像通俗地解释就是在两条平行x=±2之间，函数f（x）图像上不但没有一点在函数g（x）的上方，而且f（x）图像上的最高点不高于图像g（x）上的最低点，由于x1，x2的任意性，即函数f（x）在[-2，2]的最大值不超过函数g（x）的最小值。而后者则表示f（x）在[-2，2]上任一点x1的函数值不超过g（x）在[-2，2]上同一点x1的函数值，用图像通俗的解释就是在两条平行x=±2之间，函数f（x）图像上没有一点在函数g（x）的上方。两者很容易混淆。上述解法是错误的，实际上是（2）的正确解答。（1）的解法应该转化为f（x）max≤g（x）min，得m≥25。

关于（3），要正确理解“若对于任意的x1∈[-2，2]，总存在x2∈[-2，2]，使得f（x1）=g（x2）成立”的含义，它说明f（x）的值域∈g（x）的值域，转化为集合之间的关系即可。

编辑 薛直艳