解析法证明平面几何问题探索

李萍

摘 要：在数学中，经常遇到不同类型的几何证明题，我们可以利用初等几何的有关定义、定理来处理，但技巧性比较强.如果采用解析法，可以使问题的思路清晰简单，它的优点是解决问题具有一般性和程序性.

关键词：解析法；几何问题；证明

一、平面几何解析法的基本证明

平面几何中，有一些基本结论，许多人知道，但不知道结论是如何来的。我们可以用解析法来证明。

例1.证明：三角形的三条高交于一点。

已知：AD，BE，CF分别是△ABC的三边上的高。

即证明：（x3y2-x2y3）·（y4-y1）=-（x1y4-x4y1）·（y2-y3）

将上式整理得：y3y4（x1+x2）+y1y2（x3+x4）=x1y2y4+x2y1y3+x3y2y4+x4y1y3

注意到：y1=mx1，y2=mx2；y3=nx3；y3=nx4，代入整式得：

左边=m2x1x2（x3+x4）+n2x3x4（x1+x2），右边mnx1x2（x3+x4）+x3x4（x1+x2）

把上述韦达定理的结论代入得：

可见：左边=右边，故xQ=-xP，即AP=AQ。

三、平面几何解析法的参数证明

例4.已知如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F.求证：∠DEN=∠F。

分析：如图4，建立坐标。

总体思路：设点A、B、C、D坐标后，求出直线AD、MN、BC的斜率，从而求出两个角度的正切值，证明这两个角度的正切值相等即可。

问题的关键是：如何设点C、D的坐标更方便？由已知条件AD=BC，而C、D两点是相互独立运动的，故把点C、D看作是圆周上的动点.设AD=BC=r，则C点可以看作是以B为圆心，r为半径的圆周上的动点，类似看待D点，故，设C（a+rcosθ，rsinθ）、D（-a+rcosθ，rsinθ），

四、平面几何解析法的延伸证明

证三点共线，常用的方法有：（1）先建立过两点的直线方程，再验证第三点也适合这个方程；（2）若能证得kAB=kBC，则A，B，C三点共线；（3）点Ai（Xi，Yi）（i=1，2，3）共线的充要条件为x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1=0。

证明三线共点，常用的方法有：（1）利用定比分点公式，分别求出三条线上某分点坐标，若求得相同，因直角坐标平面上的点和坐标一一对应，故三线共点，（2）三条互不平行直线li：Aix+Biy+Ci=0（i=1，2，3）若A1 B1 C1A2 B2 C2A3 B3 C3=0，则l1，l2，l3相交于一点。

证明诸点共圆，可先求出有关各点坐标，再利用两点间距离公式证这点到某一定点的距离相等；也可先建立过三点的圆的方程，再证其余点适合圆的方程。

分析：以AD，AB为坐标轴，引进直角坐标系，因A、B、C、D各点坐标为已知，故可求出E，F两点的坐标然后求出直线AE，BF的方程，它们的交点M坐标由此可求出，最后把点M的坐标代入正方形ABCD的外接圆方程，即可得证。

从以上可以看出，解析法证明平面几何问题的优点在于解决几何问题时有一个比较固定的思考步骤，思路较明显.由一系列的运算与推理即可得到证明的结果。实现几何问题与代数问题的相互转化，而这不正是数形结合的重要体现吗？

参考文献：

茹双林.解析法证明平面几何问题[J].中等数学，1997（03）.

编辑 郑 淼