关于等价无穷小的代换法求极限探讨

杨美香

摘 要：利用等价无穷小的代换求极限是一种非常重要的方法，如果运用得当，能起到化繁为简，化难为易的作用。但在很多高等数学的教材中只给出了等价无穷小在商极限运算中的应用。虽然教学中强调对于积和商可以用等价去穷小的代换计算极限，但对于和差运算该方法失效。由于对于积运算没有相应的性质定理，因此对学生而言到底什么时候可以用什么时候不能用还是比较含糊的。基于此，对等价无穷小的代换法在和差积商中应用进行探讨，明确给出了等价无穷小代换求极限的方法的适用范围，并给出了证明。

关键词：等价无穷小 代换法 求极限 探讨

中图分类号：O211.4 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）10（c）-0175-02

利用等价无穷小的代换求极限是一种非常重要的方法，如果运用得当，能起到化繁为简，化难为易的作用。但在很多高等数学的教材中只给出了等价无穷小在商极限运算中的运用。虽然教学中强调对于积和商可以用等价去穷小的代换计算极限，对于和差运算该方法失效。由于对于积运算没有相应的性质定理，因此对学生而言到底什么时候可以用什么时候不能用还是比较含糊的。基于此，对等价无穷小的代换法在和差积商中的运算进行探讨，明确等价无穷小代换求极限的方法的适用范围是很有必要的。

1 无穷小的和、差、积、商运算中等价无穷小的代换法

（i）无穷小的商之等价无穷小代换法

定理1 设是自变量在同一变化过程中的无穷小量，，且存在，则极限存在且。

定理表明在求两个无穷小之比的极限时，可以用对应的等价无穷小对分子或分母进行整体代换。如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化。

例1

（ii）无穷小为乘积因子的等价无穷小代换法

定理2 设是自变量在同一变化过程中的无穷小量，，则。

证明：因为。

定理3 设是自变量在同一变化过程中的无穷小量，为自变量在这一变化过程中的另一函数，且存在，则极限存在且。

证明：因为

定理说明对于无穷小与函数的乘积的极限可以用相应的无穷小的等价代换求极限。

例2

定理4 设是自变量在同一变化过程中的无穷小量，，为自变量在这一变化过程中的另一函数，且存在，则极限也存在且

证明：

以上定理表明对于无穷小为乘积因子的极限也可以用等价无穷小代换求极限。

例3

（iii）无穷小之和与差等价代换法

一般的高等数学教材中特别强调：对分子、分母中的和差运算的各部分无穷小不能分别代换。

例如的计算方法是错误的，正确的解法见上述例3。

事实上，对于分子、分母中的和差运算的各部分无穷小，满足一定的条件下也可以用相应的等价无穷小来替换的。

定理5 设，是自变量在同一变化过程中的无穷小量，，为自变量在这一变化过程中的另一函数，且（为有限数），则有（1） 若，则；（2） 若，则

证明：（1） 由于

从而

，所以

（2） 由于

从而

，所以

定理6 设，是自变量在同一变化过程中的无穷小量，，为自变量在这一变化过程中的另一函数，且，

则有（1） 若且，那么

（2） 若且，那么

例5

2 结语

通过以上分析探讨，在用等价无穷小代换法求极限时，如果是无穷小的商的极限，可直接对分子或分母整体进行等价代换；如果无穷小是分子或分母的乘积因式，也可以对分子、分母中的无穷小乘积因式用等价代换；如果是无穷小的和差运算，在满足定理条件的情况下，也可以用等价无穷小的代换计算极限，如果不满足定理的条件，可以通过适当的化简，化成乘积因式，然后再用等价无穷小的代换或其它方法求出极限。从而对等价无穷小的代换法求极限问题得到很好的解决，明确了使用该方法求极限的范围。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学上册[M].6版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析上册[M].3版.北京：高等教育出版社，2001.

[3] 范晓兰.应用等价无穷小量的代换方法求极限[J].菏泽师范专科学校学报，2001，25（4）：17-18.endprint