基于伊辛模型的Fe0.5 Mn0.1 Al0.4合金磁化强度和磁熵变蒙特卡洛模拟

高清河，杜 安，刘锦超

(1.辽宁中医药大学信息工程学院，沈阳110847;2.东北大学理学院，沈阳110004;3.四川大学原子与分子物理研究所，成都610065)

1 引 言

近几十年来，原子无序对磁性的作用和金属间结晶化合物的临界行为一直是人们争论和研究的焦点. 作为无序体系的典型Fe0.5Mn0.1Al0.4合金具有很多的力学和磁学特性，使之在不锈钢材料和半软的磁性材料中有着广泛的应用［1，2］，是理论模拟和实验研究的热点内容之一.

在Fe0.5Mn0.1Al0.4合金中，由于Mn、Fe 和Al是任意地分布在体心立方(bcc)晶格中，形成了晶格中格点原子分布的无序;而且Fe-Fe 间是铁磁相互作用，Mn-Fe，、Mn-Mn 间存在反铁磁相互作用，导致了磁性粒子间存在相互竞争即阻挫;非磁性的Al 原子对磁性粒子起到稀释作用，增加了粒子间交换积分无序性，对合金的磁性行为有很大的影响. 理论和实验均证实了由于受到温度、参杂元素浓度、晶格类型及元素分布情况的诸多影响，会形成铁磁、反铁磁、顺磁、自旋玻璃和可再入自旋玻璃态［3，4］. 在实验中，材料的制备是通过机械合金化，经高温处于电弧熔化状态，以达到合金中原子的无序性，后经淬火的方法，利用中子衍射、磁化、核磁共振和穆斯堡尔光谱测量等手段来研究合金的磁性随温度及外磁场的变化关系［5］.

为了解释实验结果提出很多理论方法:二项式分布的方法［6，7］、基于Bogoliubov 不等式的自由能变分方法［8-12］、平均场重整化群理论［13］以及蒙特卡洛方法［14-16］. 虽然这些理论方法很好地解释了FeMnAl 合金的热力学性质以及临界行为，但是在模型的建立上这些理论方法仅仅考虑了磁性粒子间的最近邻(nearest neighbour，NN)相互作用，却没有考虑粒子间次近邻(next nearest neighbour，NNN)相互作用对体系的相变及热力学性质的影响. 因此，本文针对典型的Fe0.5Mn0.1Al0.4合金，考虑了磁性粒子间的近邻及次近邻的交换相互作用，基于Ising 模型的单自旋反转蒙特卡洛算法，详细地研究了磁性粒子(Fe、Mn)在不同的温度(尤其是相变温度)处对平均磁化强度的贡献以及平均磁化强度随外加磁场的变化情况，深入分析了体系在相变温度处磁熵变数值随外加磁场的变化情况以及磁熵变在不同的外磁场下随温度的变化情况.

2 计算模型和计算方法

假设构成磁性系统的各个单体具有非常大的单轴磁各向异性，自旋σi在异化轴方向投影取值为±1，并令σi配置在晶格的格点上. 这样，我们只需考虑这些自旋与其周围其他自旋的交换作用，以及自旋与外场的相互作用. 基于上述思想建立的磁学系统相互作用模型即为伊辛模型. 该模型的系统哈密顿量可写为［15］:

其中，第一项是最近邻粒子间磁交换能，第二项是次近邻粒子间磁交换能，第三项是塞曼能，H

上式中，p、x、q 分别表示Fe、Mn、Al 在合金中所占的比例，满足p + x + q = 1. 由概率分布函数可知，Fe – Fe 间铁磁相互作用为J 的概率为p2，随着Al 元素比例的增加会导致晶格常数近似正比例地变大，因此Fe – Fe 间的相互作用能为J(q)=12.846(1 -0.7q)(mev)［15，16］. Mn–Mn间反铁磁相互作用为γJ 的概率为x2，Fe–Mn 间反铁磁相互作用为λJ 的概率2px(其中γ=5%，λ=3%)［14-16］，而Al–Al，Mn – Al，以及Fe –Al 间不存在相互作用，存在的概率为q(2 -q).

经比较，Monte Carlo 步(MCS)为30000 时模拟效果较好，前5000 个Monte Carlo 步以弛豫系统使之达到热平衡，之后再执行25000 个Monte Carlo 步求其热力学平均，而自旋粒子数的多少对热力学性质无影响，相变温度不随合金的大小而发生改变. 因此，本文选择了无序体系的Fe0.5Mn0.1Al0.4合金(bcc)边界L=10，初始的伊辛构型是在2000 个格点中随机选取1000 个格点为磁性粒子Fe(自旋方向朝上)，随机选取200 个格点为磁性粒子Mn(自旋方向朝下)，随机选取800 个格点为非磁性粒子Al(σi=0). 采取淬火的方法来研究体系的磁性及热力学性质随温度(外磁场)的变化情况，本文模拟过程中涉及到的单粒子磁性及热力学计算公式:

(1)平均磁化强度:

(2)平均热容:

(3)平均磁化率:

(4)磁矩关于温度的一阶导数:

(5)磁墒变:

其中，〈…〉表示热力学平均，［…］表示组态平均，N 表示体系包含的粒子数，kB玻尔兹曼常数.

3 计算结果与讨论

3.1 次近邻相互作用系数β 的确定

在无外加磁场的情况下，Mössbauer 实验得到Fe0.5Mn0.1Al0.4体系的居里温度为300K［4，16］. 当仅考虑最近邻粒子间相互作用时，体系的居里温度为283K(如图1、表1)，与实验值相差很多. 因此本文在考虑体系粒子间最近邻的基础上也考虑了次近邻相互作用，即RKKY(Ruderman - Kittel-Kasuya-Yosida)长程相互作用，引入了次近邻相互作用系数β. 选择了Prabodh Shukla 等人［17］在研究Fe1-xAlx合金的自旋玻璃态时给出的磁性粒子间次近邻相互作用与最近邻相关作用之间的关系:= βJij. 比较了次近邻相互作用系数取不同数值时，Fe0.5Mn0.1Al0.4体系中粒子的平均磁化强度和平均比热随温度的变化情况，通过Mössbauer 实验所确定的相变温度与模拟曲线对应的居里温度相比较，确定次近邻相互作用系数β的取值.

表1 次近邻相互作用系数对居里温度和冻结温度的影响Table 1 Effect of next nearest neighbor interaction (NNN)coefficient on the Curie temperature and freezing temperature

3.2 单粒子平均磁化强度

3.2.1 单粒子平均磁化强度随温度及外加磁场的变化

温度的升高增大了粒子的热扰动，粒子的取向趋于无序，而外加磁场又促使磁性粒子的自旋方向趋向于外磁场方向，使粒子的自旋方向又趋于有序. 单粒子平均磁化强度随温度以及外磁场的变化如图2 所示，在无外磁场时，磁化强度对温度的一阶导数随温度的变化曲线存在着两个尖峰(极值)，说明磁化强度在这两个温度处出现了拐点，分别对应于冻结温度和居里温度，与图1中的相变温度相对应. 当存在外磁场时，磁化强度随着温度的增加在逐渐地减小，且随着外加场强的增大，磁化强度随着温度的变化曲线趋于平缓，由温度升高而导致的无序受到塞曼能的抑制.

图1 次近邻相互作用系数的确定(a)不同次近邻相互作用系数对磁化强度的影响;(b)不同次近邻相互作用系数对比热的影响;(c)NNN (β=0.08)与NN 能量比较;(d)NNN(β=0.08)与NN 磁化率比较Fig. 1 Determination of next nearest neighbor interaction coefficient. (a)Temperature dependence of total magnetization per lattice site with next nearest neighbor (NNN )interaction;(b)Temperature dependence of the specific heat per lattice site with NNN interaction;(c)Comparison of energy per lattice site between nearest neighbor (NN)and NNN interaction;(d)Comparison of magnetic susceptibility per lattice site between NN and NNN interaction

3.2.2 磁性粒子对平均磁化强度的贡献

图2 单粒子平均磁化强度随温度以及外磁场的变化(a)磁化强度随温度的变化(H =0(a.u. );(b)随温度的变化(H=0(a.u.);(c)磁化强度随温度的变化(H=0.2，0.5，0.8(a.u.);(d) 随温度的变化(H=0.2，0.5，0.8(a.u.)Fig. 2 Temperature and external magnetic field dependence of total magnetization per lattice site (a)Temperature dependence of total magnetization per lattice site with H=0(a.u. );(b)Temperature dependence of per lattice site with H=0(a.u.);(c)Temperature dependence of total magnetization per lattice site with H=0.2，0.5，0.8(a.u.);(d)Temperature dependence of per lattice site with H =0.2，0.5，0.8(a.u.)

3.3 磁熵变

3.3.1 相变温度处磁熵变

图3 磁性粒子对平均磁化强度的贡献(a)磁性粒子对磁化强度的贡献(H =0(a.u. ));(b)磁性粒子对磁化强度的贡献(H=0.2(a.u.));(c)磁性粒子在冻结温度处对磁化强度的贡献(d)磁性粒子在居里温度处对磁化强度的贡献Fig. 3 Contribution of magnetic particle to total magnetization per lattice site (a)Contribution of magnetic particle to total magnetization per lattice site with H=0(a.u.);(b)Contribution of magnetic particle to total magnetization per lattice site with H=0.2(a.u.);(c)Contribution of magnetic particle to total magnetization per lattice site on freezing temperature;(d)Contribution of magnetic particle to total magnetization per lattice site on Curie temperature

图4 给出了当Hz分别等于0.2(a. u. )、0.5(a. u. )和0.8(a. u. )时，在相变温度处的磁熵变及磁性粒子对磁熵变的贡献. 由图3. c 可知，在冻结温度处磁性粒子Fe 的自旋方向取向始终保持不变，对应的磁墒变趋于零，体系的磁墒变情况实际上是由磁性粒子Mn 决定的. 当Hz= 0.2(a. u. )时，总的磁墒变为正值，说明加入磁场后与未加磁场相比较，磁性粒子的无序性增加了，且当Hz=0.14(a. u. )时，磁墒变ΔS(0.1，0.14)取值是正的最大值，磁性粒子是最无序的状态，Mn 粒子的平均磁化强度为0(a. u. )(图3. c). 外磁场从0(a. u. )增加到0.14(a. u. )过程中，自旋取向向下的Mn 粒子是占多数的. 当外加磁场大于0.14(a. u. )时，自旋取向向上的Mn 粒子数逐渐增加，体系趋于有序，对应的磁墒变出现了负值. 当外加磁场大于0.5(a. u. )时，Mn 粒子的自旋取向完全实现了反转，所有磁性粒子的取向一致，磁墒变不在随外磁场的加大而发生变化如图(4. b，4. c). 图4. d 是在居里温度处磁性粒子∂m

∂T随外加磁场的变化情况. 由图3. d 可知，在居里温度处随着外加磁场由0(a. u. )增加到0.8(a. u. )，磁性粒子Fe 的自旋取向迅速由无序趋于有序，而Mn 的变化较为缓慢. 因此，粒子的平均磁墒变ΔS(2.8，0.8)主要是由磁性粒子Fe贡献的，而粒子Mn 的贡献较小，且随着外加场强的增加，磁性粒子的有序程度在不断的增加.

3.3.2 磁熵变随温度的变化

图5 描绘了平均磁墒变在不同外磁场下随温度的变化情况，与图4 中磁墒变ΔS(0.1，0.2)、ΔS(0.1，0.5)、ΔS(0.1，0.8)以及ΔS(2.8，0.8)在数值上相吻合. 由图5、图2. b 以及图2. d可以看出，如果能得到外磁场在［0，Hz］范围内随温度变化曲线，把在不同磁场时随温度变化曲线进行连续叠加就得到了磁熵变ΔS(Hz)随温度的变化曲线. 因此，磁熵变极值的位置处也就是磁化强度出现突变或拐点的地方，也就是磁化强度随温度变化最快的地方，与体系的相变温度相对应.

图4 相变温度处磁熵变(a)冻结温度处磁熵变(Hz =0.2(a.u. ));(b)冻结温度处磁熵变(Hz =0.5(a.u.));(c)冻结温度处磁熵变(Hz =0.8(a.u.));(d)居里温度处磁熵变(Hz =0.8(a.u.))Fig. 4 Magnetic entropy change on phase -transition temperature (a)magnetic entropy change on freezing temperature with Hz =0.2(a.u.);(b)magnetic entropy change on freezing temperature with Hz =0.5(a.u. );(c)Magnetic entropy change on freezing temperature with Hz =0.8(a.u. );(d)Magnetic entropy change on Curie temperature with Hz =0.8(a.u.)

图5 磁熵变随温度的变化Fig. 5 Temperature dependence of magnetic entropy change

4 结 论

本文在研究Fe0.5Mn0.1Al0.4体系的磁化强度和磁熵变过程中，考虑了粒子间的最近邻以及次近邻相互作用，具体研究了单粒子平均磁化强度随温度及外加磁场的变化、磁性粒子对平均磁化强度的贡献、随外加磁场的变化情况和单粒子的平均磁熵变. 我们发现当考虑了次近邻相互作用后，体系的平均能量要低一些，体系也就会相对稳定;体系磁化强度以及磁熵变随温度的变化曲线证实了Fe0.5Mn0.1Al0.4合金相变的存在，其相变温度与比热曲线中的冻结温度和居里温度相对应，与Mössbauer 实验测得的居里温度符合较好;在无外加磁场和温度时，证实了Fe0.5Mn0.1Al0.4合金Mn 粒子受到周围磁性粒子的阻挫作用，使得一部分Mn 粒子的自旋方向发生了反转;在冻结温度处，当外加磁场H =0.14(a. u. )时，Mn 粒子平均磁化强度为零，体系处于最无序的状态，对应的磁熵变达到了正向最大值，当外加磁场大于0.5(a. u. )时，Mn 粒子的自旋取向完全实现了反转，磁墒变不在随外磁场的加大而发生变化. 此外，我们还发现磁性粒子Fe 和Mn 在不同的温度区间对体系的磁化强度以及磁熵变贡献不同，磁性粒子Mn 在低温区对Fe0.5Mn0.1Al0.4体系磁化强度以及磁熵变起到了主要作用，而高温区体系的磁化强度以及磁熵变是由磁性粒子Fe 贡献的.

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