新课标下大学数学与中学数学脱节内容的衔接研究

汤 琼，刘罗华，邓胜岳，陈正元

汤琼/湖南工业大学理学院教授 （湖南株洲412008）；刘罗华，邓胜岳/湖南工业大学理学院讲师 （湖南株洲412008）；陈正元/湖南湘钢一中 一级教师(湖南湘潭411101）。

一、引言

近年来，我国基础教育改革不断深入，2003年教育部颁发了普通高级中学数学课程标准，新课标下的高中数学教材在知识内容的安排，教材的组织形式等方面都做了很大的改革，课程体系有了大的调整，加强学科整合并设置综合课程。反观大学教育，虽然各高校也在积极进行改革[1-2]，包括建设精品课程等，但大学数学教学内容与教学体系相比新课标变化较少，我国近年来出版的大学数学教材未能根据目前高中数学教学内容的变化做出相应的调整。随着高中数学课程改革的推进，现有的大学数学和新课标下的高中数学脱节问题变得日益突出，这给大学数学教育造成了一定的负面影响，引起了较多的关注。[3-7]一些大学数学教学内容下移,微积分、概率论与数理统计等部分大学数学内容进入高中学习阶段，如导数的计算、微积分基本定理等内容安排在高中数学选修2-2；古典概型、离散型随机变量等安排在高中数学必修3、选修2-3。这样的安排使得一方面，高中数学与大学数学之间交叉重复的内容增多，另一方面又出现了部分脱节现象，原部分高中内容删去或涉及较浅，如反函数、反三角函数没有涉及，极坐标、参数方程、复数等在选修课中介绍，三角函数的和差化积等内容相对较浅等。很多文献都一致认为应考虑大学数学与中学数学交叉重复与脱节部分的教学，包括教学内容和教学方法等，但脱节部分在教学中具体应如何衔接研究较少。本文主要针对新课标下大学数学与中学数学内容的衔接问题进行研究，避免大学和高中两头不管，出现脱节问题，影响大学数学教学质量。

二、脱节内容的衔接研究

本文主要就人民教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书》A版[8]和同济大学数学系编的《高等数学》（第六版）的内容，研究在新课标下大学数学与中学数学在高等数学教学中应如何衔接。

1.反函数部分的衔接。高中数学没有涉及反函数概念，基本初等函数只涉及幂函数、指数函数、对数函数、三角函数4类。《高等数学》涉及反函数的内容较多，如上册§2.2节函数的求导法则中推导反函数的求导法则、§2.4节由参数方程所确定的函数的导数、§4.2节关于第二类换元公式推导、§9.5节隐函数的求导公式、第十章重积分、第十一章曲线积分与曲面积分的计算等都利用了反函数相关知识。《高等数学》§1.1节介绍了反函数概念，反函数与原函数图像之间的关系，但比较抽象。且由于第一节内容较多，大多数授课老师以为学生在高中已学过，所以不会花较多时间讲解反函数，造成学生不能很好理解反函数与原函数关系。建议这部分内容可先举例讲解如何求初等函数如幂函数的反函数，反函数 x=f-1（y）或 y=f-1（x）与原函数y=f（x）图像之间的关系，加深学生对函数概念的理解，再讲解反函数概念，更有利于学生接受和理解，可参考第四版反函数部分内容。

2.反三角函数部分的衔接。高中数学没有涉及反三角函数概念，《高等数学》中有关函数的极限、连续性与间断点、导数、微分、积分等都涉及反三角函数相关知识。建议这部分内容在《高等数学》§1.1节讲解初等函数时结合三角函数和反函数知识补上反正弦、反余弦、反正切、反余切函数定义、性质及其图像，可参考第四版反三角函数部分内容。

3.三角函数部分的衔接。高中数学对三角函数部分比较重视，在必修4第一章、第三章及必修5第一章讲解了任意角的正弦、余弦、正切函数定义、性质及图像，三角函数的诱导公式等知识，但余切、正割、余割函数定义、性质及图像，积化和差公式，万能公式都没涉及。《高等数学》有关函数的极限、连续性、导数、微分、空间解析几何与向量代数、无穷级数、微分方程都涉及以上内容，建议在《高等数学》§1.1节讲解5类基本初等函数中的三角函数这一块时补上余切、正割、余割函数定义、性质及图像，三角函数积化和差公式，万能公式。可结合多媒体列出高中已学过的三角函数的诱导公式，两角和与差公式，二倍角公式，正弦和余弦定理，加深其理解和对公式的记忆，可参考第四版三角函数部分内容。

4.极坐标、极坐标与直角坐标的转换、参数方程的衔接。坐标系与参数方程属高考选考内容，高中数学选修课4-4“坐标系与参数方程”中涉及极坐标、参数方程，部分中学生没有选修该部分内容，即使部分选修了也由于高中时间紧内容多，这一部分内容也学得不好。《高等数学》在第六章计算平面图形面积、平面曲线的弧长，第十章利用极坐标计算二重积分、利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分等知识点涉及极坐标和坐标系的转换；在曲率的计算公式、推导多元函数在点P沿方向l的方向导数计算公式、对弧长的曲线积分的计算法、对坐标的曲线积分的计算法等知识点涉及参数方程。这部分内容的补充建议在《高等数学》§1.1节最后部分给以补充，以平面坐标系为主，包括平面直角坐标系、极坐标系、曲线的参数方程，以例题形式讲解极坐标与直角坐标、参数方程和普通方程的互化。为下册的重积分、曲线曲面积分涉及极坐标和参数方程部分打基础。

5.复数部分的衔接。高中数学选修2-2的第三章数系的扩充与复数的引入仅涉及复数概念、几何意义及代数形式的四则运算，没有涉及复数的三角表示。由于课时不多，大多学生对复数的掌握不是很好。《高等数学》§12.5函数的幂级数展开式的应用中关于欧拉公式的第二种表达式推导利用了复数的三角形式，§7.7节常系数齐次线性微分方程推导二阶常系数齐次线性微分方程的通解、§12.8节一般周期函数的傅里叶级数中傅里叶级数的复数形式推导利用欧拉公式等。故建议在《高等数学》§1.1节集合部分补讲复数的三角表示、欧拉公式及复数域内求代数方程的根，更有利于学生掌握求解常系数线性微分方程的解、傅里叶级数的复数形式等方法。

[1]教育部非数学类专业数学基础课程教学指导分委员会.工科类本科数学基础课程教学基本要求 (修订稿)[J].大学数学,2004,20(1):l-6.

[2]教育部高等教育司全国高等学校教学研究中心.工科数学系列课程教学改革研究报告[M].北京:高等教育出版社,2002.

[3]潘建辉.大学数学和新课标下高中数学的脱节问题与衔接研究[J].数学教育学报,2008,17(2):67-69.

[4]王明春,潘惟秀,郭阁阳.大学数学与中学数学教学内容衔接研究[J].高等数学研究，2010，13（5）：11-13.

[5]牛海军.初等数学与高等数学教学衔接问题的研究[D].辽宁：辽宁师范大学硕士学位论文,2008.

[6]刘红梅.对大学数学与高中数学课程内容的衔接问题的思考[J].南昌教育学院学报，2011（26）（6）：46-47.

[7]牟录贵.中学数学新课程教学理念与实践[M].吉林:吉林大学出版社,2007.

[8]中学数学教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学[M].人民教育出版社，2007.