基于Lukasiewicz计算模型的六值命题逻辑公理体系构建*

林加华，姜 华

(楚雄师范学院信息学院，云南 楚雄 675000)

基于Lukasiewicz计算模型的六值命题逻辑公理体系构建*

虽然经典命题逻辑在理论上已经趋于成熟，它既是可靠的又是完备的，但在现实世界中并不是每个命题均可直接用真与假来判断。很显然，对未来事件进行判断的命题既不真也不假。为了改进经典命题逻辑的这种不足，本文在深入研究经典命题逻辑的基础上，以Lukasiewicz计算模型为基础，通过扩展经典命题逻辑的逻辑真值集，并采用扩展后的逻辑真值构成的赋值格对命题进行赋值。由此本文提出六值命题逻辑系统，记为￡s。系统中否定了经典命题逻辑中的排中律，增加了对命题判断的多样性，增强了它对现实世界的表达能力。

经典命题逻辑；Lukasiewicz计算模型；六值命题逻辑

1.引言

由于人们对一个命题“非真即假，非假即真”判定的怀疑，这种怀疑是多值逻辑出现的内因。有着多值逻辑学之父称号的著名逻辑学家Lukasiewicz提出除了逻辑真与逻辑假之外，还应该存在第三个逻辑真值I，I表示不确定的中间状态。[1]事实上，这里中间状态所表达的内涵是对未来事件发生与否的概率判断。时间稍晚一些又有前苏联数学家Bochvar为了处理语义悖论提出了他自己的三值逻辑系统B3、由逻辑学家Kleene提出的三值逻辑系统K3、Godel提出的三值逻辑系统G3、由另外一个多值逻辑创始人Post提出的三值逻辑P3等等。他们大多数都在自己的三值逻辑的基础上完成了更多值乃至n值逻辑系统的理论研究，取得了数理逻辑学领域的辉煌成就。

目前，对多值逻辑体系构建的研究主要存在两条路径。其一，以二值逻辑为基础，扩展其逻辑真值集，借用某多值逻辑系统的计算推理模型，并提出自己的语义赋值及语义解释，最后完成可靠性和完备性证明；其二，把研究重点放在计算模型的设计上，特别是对蕴涵算子的设计，等计算模型设计完成后，再寻找其语义赋值和语义解释。[2]前者所构建的系统一般都能对可靠性和完备性进行证明并存在合理的语义赋值与语义解释，但形式推理过程对原系统有依赖。后者，可谓全新开发，其突出的问题是难以进行语义赋值和语义解释且完备性证明困难，甚至不存在完备性。本文的研究思路采用前者。

2.六值命题逻辑￡s的语法构成

2.1命题符号与联结词

2.1.1 ￡s的组成符号

第一类包括可数无穷多个命题符号：A，B，C，…Z；a，b，c，…z以及由字母组合而成的有意义的字符串。第二类包括四个联结词：┐，∧，∨，→ 。第三类包括两个技术性标点符号：( ， )。它们依次被称为左括号和右括号。由第一类符号、第二类符号和第三类符号组成的有穷序列称之为逻辑符号，简称符号。由全体符号形成的集合称为表达式，记为：Exp(￡s)。

2.1.2 ￡s的联结词

逻辑联结词是构建任何逻辑系统的基石，同时也是不同逻辑系统之间的区别之一。本系统￡s的逻辑联结词定义如下：

定义2.1(联结词)：

(1) 否定联结词┐：┐A=1-A；

(2) 蕴涵联结词→：A→B=(1-A+B)∧1。

由(┐，→)可引出以下逻辑联结词的定义：

(3) 析取联结词∨：A∨B=(A→B)→B；

(4) 合取联结词∧：A∧B=┐(┐A∨┐B)。

很容易看出，￡s的联结词的定义与经典命题逻辑的联结词定义已经有了很大的不同。正如上文所描述，它与卢氏多值逻辑系统中对联结词的定义相同[3]。本系统只是引用了它的定义形式，即卢氏多值逻辑的计算模型。但在真正的语义计算时，￡s要遵循六值命题逻辑系统中关于语义的约束，所以不是简单地去借用其计算模型，而是一种对它改进了的，在赋值格序图偏序集上的应用。

2.2 六值命题逻辑￡s的公式

2.2.1 ￡s公式的生成规则

六值命题逻辑￡s的原子公式集和公式集分别记作Atom(￡s)和Form(￡s)。*表示三个联结符号∧，∨和→中的任意一个。

定义2.2(Atom(￡s))六值命题逻辑￡s的一个表达式是Atom(￡s)一个元，当且仅当它是一个单独命题符号，即第一类符号。

定义2.3Form(￡s) 设pForm(￡s)，当且仅当它能有限次使用以下的(1)～(3)规则生成：

(1)Atom(￡s)Form(￡s)；

(2) 若pForm(￡s)，则┐pForm(￡s)；

(3) 若p，qForm(￡s)，则(p*q)Form(￡s)。

定义2.3中的(1)、(2)和(3)是六值命题逻辑￡s公式的形成规则。在公式的形成过程中特别强调是有限次地使用这三个规则，如果不能在有限次使用规则内形成则不是六值命题逻辑￡s的公式。

2.2.2公式集相关说明

假设p，q是六值命题逻辑系统中的公式，则

(1)p中的联结词┐，∧，∨，→出现的总次数称为公式p的复杂度。

(2)如果p作为q的一个部分出现，则称p是q的子公式；如果p是q的子公式且p不等于q，则称p是q的真子公式。

(3) 称只出现在p中而不出现在p的任何真子公式中的那个联结词为p的主联结词；称主联结词是否定联结词┐的公式为否定式；主联结词是合取联结词∧的公式为合取式；主联结词是析取联结词∨的公式为析取式；主联结词是蕴涵联结词→的公式为蕴涵式。

3.六值命题逻辑￡s形式推演

3.1￡s形式可推演性

定义3.1 (∑├A) ∑├A(A是由可形式推演或形式可证明的)，当且仅当存在序列

A1，A2，…An，使得An=A，并且每一个Ak(1≤k≤n) 满足以下条件之一:

(1)Ak是六值逻辑的公理，

(2)Ak∑，

(3)有i，j

如果存在一个由∑到A的推演，则称A在￡s系统中是由∑形式可推演的[4]，记为∑├￡sA，简记为∑├A。否则，称A在￡s系统中不是由∑形式可推演的，记为∑├/ ￡sA，简记为∑├/A。

3.2 六值命题逻辑￡s形式推演规则

￡s的形式推演规则与经典命题逻辑的形式推演规则在结构上相似，但却也存在很多不同之处。主要区别在于：第一，经典命题逻辑系统支持排中律。第二，本系统扩展了逻辑真值集且采用了卢氏计算模型，所以，实际的形式推演过程与经典逻辑截然不同[5]。具体的推演规则如下：

设∑={A1,A2…Am}，m为正整数，Am为￡s的公式，有时为了推理方便也可以把∑写成A1，A2，A3…的形式。另外，元素之间的次序关系是不重要的，且规定∑，A=∑A。

①自反规则(Ref) ②增加前提(+)

A├A如果∑├A，则∑，∑＇├A。

③蕴涵消去规则(→-)(该规则也称之为三段论，HS规则)

如果∑├A→B，∑├A，则∑├B。

④蕴涵引入规则(→+)(也称为演绎规则)

如果∑，A├B，则∑├A→B。

⑤包含律(∈)

(i)如果A∑，那么∑├A。 (ii) 如果A∑并且∑Δ，那么Δ├A。

⑥分配律

(i)如果∑├A∧B，则(∑├A)∧(∑├B)。

(ii)如果∑├A∨B，则(∑├A)∨(∑├B)。

⑦结合律

(i)如果(∑├A)∧(∑├B)，则∑├A∧B。

(ii)如果(∑├A)∨(∑├B)，则∑├A∨B。

⑧双重否定规则

A=┐┐A。

⑨德摩尔根定律

(i)(A∧B)=(A∨B)。 (ii)┐(A∨B)=(┐A∧┐B)。

3.3 六值命题逻辑￡s的定理

若∑={A1，A2…Am}并∑├A可记为A1，A2…Am├A；若{∑∪A}├B可记为∑，A├B；若∑为空集，∑├A可记为├A。满足以上三种情形之一时，称A是可由六值逻辑系统推出的一个定理，简称A是￡s定理。

上面的定理定义可描述为，凡是可从已知的前提公式或推理规则本身出发，通过有限次地应用推理规则而得到的结论都是￡s定理, 一个形式可证明的公式是￡s系统中的一个定理。

定理3.1(代入定理) 在永真式中，用一个或几个命题形式代入到它的相应命题变元，并遵循：

(1)同名的命题形式只能代入同名的命题变元；

(2)这种代入必须处处进行，即一个代入命题形式必须取代所有同名的命题变元[6]。

那么代入结果仍然是命题形式，称为永真式的代入示例，简称代入示例。如：A→(B→A)，是六值命题逻辑的一条公理，它是永真式。现在用“C→A”代入到所有变元“A”处，得(C→A)→(B→(C→A))也是永真式。代入定理可以成为形式推演的辅助性工具，但有一点必须强调：代入定理一定是从永真式开始进行代入的，否则不能保证代入结果的可靠性。￡s形式推演出的方法可表述为：从作为起始状态的已知前提公式集出发，根据推理规则在公理代入定理的辅助下向目标状态的转化过程。

4.六值命题逻辑￡s的真值体系

4.1 ￡s系统的赋值格

本文提出的￡s有6个逻辑真值，即是“真”，“可能真”，“不可能假”，“不可能真”，“可能假”，“假”。分别对应的字母表示形式是“t”，“tp”，“┐fp”，“┐tp”，“fp”，“f”。规定“tp”和“fp”的逻辑值大于0.5，而“tp”和“fp”的逻辑值小于0.5。为了使表达更为严谨且使后文表述更为方便，现在集合的形式来规范它们。设集合D={“t”，“tp”，“┐fp”，“┐tp”，“fp”，“f”}，Dt={“t”，“tp”，“┐fp”}，Df={“┐tp”，“fp”，“f”}，显然集合Dt和Df都是集合D的子集，即Dt⊆D，Df⊆D。称集合D为六值命题逻辑的逻辑真值集，称子集Dt为六值命题逻辑的逻辑真值集的“近真子集”，称子集Df为六值命题逻辑的逻辑真值的“近假子集”。为了直观地描述其在逻辑上的大小关系，现为￡s定义其赋值格序图，见图4.1。图4.1 赋值格序图

不难发现，在格序图中有两对不可比较的值。它们分别是tp和┐fp，fp和┐tp。因为不可比较，所以就不能直接参与运算。需要进行特殊的处理，规定如下：

(1)tp∧┐fp∈Dt，fp∧┐tp∈Df

(2)tp∨┐fp∈Dt，fp∨┐tp∈Df

(3)tp→┐fp∈Dt，fp→┐tp∈Df

需要要说明的是，tp，┐fp，fp和┐tp都不是公式，只是用来表示对公式的赋值。事实上，这所谓的特殊规定也完全符合人们的思维方式的。比如：

A:明天会下雨，可能是真的，即Aυ=tp。

B:明天会下雨，不可能是假的,即Bυ=┐fp。

A∧B表达的含义是相信A命题与B命题中可能性更小的那个。虽然A与B不可比较，但不管相信哪个，“明天会下雨”这件事基本上就是真的了。所以说A与B合取后就“近真”了。A∨B所表达的含义是相信A命题与B命题中可能性更大的那个。虽然A与B不可比较，但不管相信哪个，“明天要下雨”这件事基本上就是真的了，所以说也就“近真”了。fp和┐tp在∧与∨情形下同理。

4.2六值命题逻辑￡s的语义约束

本系统是从经典命题逻辑扩展过来的，扩展的逻辑真值有：tp，┐fp， ┐tp，fp共4个，要想使已经扩展了的逻辑真值也有合理的语义解释，就必须对它们做出合理的语义约束。在其它多值逻辑系统中也称之为语义约束公理。然后证明它们在逻辑系统中语义解释是无矛盾的，即任何一个表达式不会因为采用了不同的加减变换及等量替换而到不同的结果。下面就对本系统中所作的语义约束进行详细的讨论。

(1)互补约束

t-tp=┐tpt-┐tp=tptp+┐tp=t

t-┐fp=fpt-fp=┐fp┐fp+fp=t

t-f=tt-t=ft+f=t

这是一组最基本性质，是由否定联结词和逻辑真值格序图共同决定的，其中“t”也可以解释为语义中的“1”，即本系统中的“真”。如果有一个命题的语义赋值是“t”的话，那么对它的语义解释就是真，是不容置疑的。例如：命题p:明天会下雨，当pυ=t时，那么就是说：明天是绝对会下雨的，虽然这个命题可能并不能与客观实际相符(可能在客观实际中没有一种技术可以预报明天会绝对下雨)，但是，一旦如果对它进行了赋值“真”，也就是“t”的话，那么在本系统推理中它就被认为是真的，是不容置疑的。换句说，如果怀疑已经被语义赋值为“真”的命题的真假，这本身就犯了逻辑错误。从另一个方面说，实际上，逻辑推理是考察命题与命题之间是否有逻辑关系，即前提命题与结论命题之间的关系，而不涉及命题本身所代表的含义。如：

p：牛会飞。

q：如果牛会飞，那么马就不会吃草。

如果现在对p，q的语义赋值是pυ=t，qυ=t的话，那么就经过简单的推理得出“马不会吃草”。这个推理看似不合理，但实际上确有它的逻辑上的道理所在。这也正是数理逻辑推理中所谓的只考察命题与命题之间的逻辑关系，而不考察命题本身所代表的内容。

(2)同值加约束

tp+tp=tp

┐tp+┐tp=┐tp

fp+fp=fp

┐fp+┐fp=┐fp

这一组语义约束公理可能会有些费解，问题就在于在前文中所描述的语义推理是采用卢氏的计算模型，而卢氏的计算模型是在[0,1]上的精确的小数计算。例如：A→B=(1-A+B)∧1，如果对Aυ=0.7，Bυ=0.6，那么(A→B)υ=0.9。很显然，它是数值的精确计算。本文提出的六值命题系统，从经典命题逻辑扩展而来，因此具有经典命题逻辑系统中的部分推理性质。这一组语义约束公理所要表达的内涵是：“可能真”加上“可能真”还是“可能真”，而“可能假”加上“可能假”还是“可能假”。举例：张三说明天可能会下雨，李四也说明天可能会下雨，在旁边听了这两个人的断言的人，只能得到明天可能会下雨的信息，而不会是因为两个人所说的“可能真”就累加起来变成明天一定会下雨。在一次推理中，一个可能真与两个可能真，甚至成百上千个可能真累加，其结果在逻辑上是一样的。

(3)*'+*'' =*'∨*'' ，其中 *'，*'' {“tp”,“┐fp”,“┐tp”,“fp” }

注：∨表示在二者之中取大值。

这是一条很强的语义约束公理。实际上，它包含语义约束公理(2)。不仅如此，它包含的具体语义约束是比较多的，这里不一一列出了。但应特别注意的是*'和*''都不能是逻辑真值t。正如前文已经给出的，本系统的逻辑真值格序图中存在两对不可比较的逻辑真值。所以现在把它分成两类情况来讨论：

第一类：可比较加约束 第二类： 不可比较加约束

tp+┐tp=tp∨┐tp=tptp+┐fp=tp∨┐fp

tp+fp=tp∨fp=tp┐tp+fp=┐tp∨fp

┐fp+fp=┐fp∨fp=┐fp

┐fp+┐tp=┐fp∨┐tp=┐fp

第一类可比较的情形没有完全列举，如若需要知道其它没有列举出来的情况，只需按与第一类相同规则计算一下便知。在引入6个逻辑真值的时候已经规定了tp>0.5, ┐tp<0.5，所以tp与┐tp就是可比较的了，这一点在格序图中也有所反应。所以可知，对tp与┐tp取大运算时得tp。正如：“tp+┐tp=tp∨┐tp=tp”。

第二类情形是对不可比较的两对逻辑真值进行加运算的语义约束，是本系统中语义约束的精华之一。成功地解决了不可比较的逻辑真值之间运算的表达问题。关于它们之间相减的情况在下一个语义约束公理中给出。

(4) 不可比较减约束

*'- *''=*'∧*'' ，其中 *'，* '' {“┐tp”，“fp” }

注：∧表示在二者之中取小值，* '与*''不取相同值。

由(4)直接展开的语义约束有：

┐tp-fp=┐tp∧fp

fp-┐tp=┐tp∧fp

关于另外一对不可比较的逻辑真值tp与┐fp之间的相减可以进行如下转换：

tp-┐fp=tp-┐fp+1- 1=(1-┐fp)-(1-tp)=fp-┐tp=┐tp∧fp

┐fp-tp=┐fp-tp+1- 1=(1-tp) -(1-┐fp)=┐tp-fp=┐tp∧fp

(5)可比较减约束

tp-┐tp=tp

tp-fp=tp∧┐fp

┐fp-fp=┐fp

┐fp-┐tp=tp∧┐fp

语义约束公理(4)，(5)似乎已经失去逻辑直观主义者所说的“逻辑直观”了，特别是语义约束公理(5)，实际上它是可以通过上面的具有“逻辑直观”的语义约束公理推导所得的。

例如：tp-┐tp=tp(演算过程如下)

tp→┐tp=(1-tp+┐tp)∧1

=(┐tp+┐tp)∧1

=┐tp∧1 (由于┐tp+┐tp=┐tp)

=┐tp

(6)取最短表达式约束

在涉及到不可比较的逻辑真值的蕴涵推理时，如果采用不同的运算方式得到多种长短不一的结果表达式取其最短的作为最终运算结果，例如：采用不同的运算方式得到了┐tp与┐tp∨fp，最终结果取┐tp。

4.3六值命题逻辑￡s系统的语义解释

上面已经给出了￡s语法的形式表述，然而作为一种形式语言，就必须要给予它在特定逻辑真值集下的全方位解释。包括其中的各类符号涵义，以及由这些符号所构成的各种公式所表示的事物的涵义。下面先作直观的说明：

否定符号“┐”表示某事物发生的可能性的反面。析取符号“∨”表示取极大。即两者运算取其大者。合取符号“∧”表示取极小，即两者运算取其小者。这里“取其大者”与“取其小者”均是指在本系统提出的语义约束公理范畴下的“取其大值”与“取其小值”。在￡s中已经没有传统意义上的“与”，“或”运算，取而代之的是“取大”，“取小”运算[7]。这也是多值逻辑与经典命题逻辑的区别之一。蕴涵符号“→”表示的是一种与卢氏三角模运算相伴随的正则蕴涵算子，具体的运算法则是：A→B=(1-A+B)∧1。

对公式的语义解释则根据￡s系统对联结词定义和形式推规则进行的，另外关于6个逻辑真值的取值只要满足格序图即可，其本质是数值计算，这就为形式推演在计算机中通过编程的方式现实奠定了基础。也是众多数理逻辑研究人员选择依据卢氏计算模型进行构建多值逻辑系统或以改造卢氏计算模型作为研究切入点的普遍原因。最后需要对一个普遍性原则进行说明：一般来说，在众多不同的多值逻辑系统中，它们的“否定”，“合取”，“析取”，“等值”的含义是相同的，而唯一不同的是“蕴涵算子”。本文提出￡s系统的构建也采用了该原则。

5.小结

本文是在经典命题逻辑的基础上对其逻辑真值集进行了扩展，从原来只有真、假二值扩展到了拥有6个逻辑真值的多值逻辑，丰富了系统的表达能力。与其它多值逻辑系统有明显不同的在于蕴涵式，其形式表达为A→B=(1-A+B)∧1。该式引用自卢氏正则蕴涵算子，本文重点研究对该蕴涵式进行的语义约束。原卢氏系统是在[0，1]区间上的无穷值逻辑系统，而本系统把无限逻辑值转变成6个小区间，是对原卢氏系统的一种改进。诚然，本系统尚存在许多不足之处需要在后续工作将它不断地完善，未来进一步的工作主要是要把多值逻辑与模糊逻辑相结合，在六值命题逻辑中加入模糊推理规则并在计算机中编程实现机器推理。

[1]罗玉忠.多值逻辑的形成探析[J].中山大学研究生学刊,1999,20(1):19—23.

[2]梁彪.罗萨和图尔克特对卢卡西维茨多值逻辑系统的改进[J].中山大学学报论丛(社会科学版),2000,20(2):128—132.

[3]陆钟万.面向计算机科学的数理逻辑(第二版)[M].北京:科学出版社,2002.25—26.

[4]A.AVRON.ClassicalGentzen-typeMethodsinPropositionalMany-valuedLogics[A].BeyongTwo:TheoryandApplicationsofMulti-ValuedLogic[C].Physica-Verlag,2003.

[5]梁彪.罗萨和图尔克特对卢卡西维茨多值逻辑系统的改进[J].中山大学学报论丛(社会科学版),2000,20(2):128—132.

[6]王礼萍,张树功等.命题逻辑推理的代数化证明[J].计算机工程与科学,2008,30(10):78—84.

[7]陆钟万.面向计算机科学的数理逻辑(第二版)[M].北京:科学出版社,2002:134—136.

(责任编辑 刘洪基)

On the System Construction of the Multi-Value Logic Axiom in Lukasiewicz-based Computation Model

LIN Jiahua & JIANG Hua

(MathematicsDepartment,ChuxiongNormalUniversity,Chuxiong, 675000,YunnanProvince)

Although the classical propositional logic in theory has become mature, it is not only reliable and complete, but in the real world, not every proposition can be directly used to judge true and false. Obviously, the judgment of future events is neither true nor false proposition. In order to improve the shortcomings of classical propositional logic, based on the in-depth study of classical propositional logic, based on the Lukasiewicz model, through the extension of classical propositional logic logic truth value set, and uses the extended logic truth value assignment of proposition in lattice structure assignment. This paper puts forward six valued propositional logic system ￡s,systemofnegationinclassicalpropositionallogiclawofexcludedmiddle,increasethediversityofthepropositionofjudgment,itenhancestheabilityofexpressingtherealworld.

multi valued logic; formal proof; semantic constraints

楚雄师范学院校级科研项目：基于Lukasiewicz计算模型的六值命题逻辑公理体系研究。

2015 - 02 - 27

林加华(1983—)，男，讲师，主要研究方向：数理逻辑和信息安全。

林加华，姜 华

(楚雄师范学院信息学院，云南 楚雄 675000)

O

A

1671 - 7406(2015)06 - 0032 - 06