具有交易成本的均值-绝对偏差模糊投资组合优化

张 鹏，舒燕菲

(武汉科技大学管理学院， 湖北 武汉，430081)

具有交易成本的均值-绝对偏差模糊投资组合优化

张 鹏，舒燕菲

(武汉科技大学管理学院， 湖北 武汉，430081)

考虑到资产收益率的模糊不确定性，提出具有交易成本和交易量限制的均值-绝对偏差模糊投资组合优化模型。运用可能性理论将该模型转化为显式的线性规划问题，并采用改进的旋转算法进行求解。最后通过实证研究证明该模型和算法的有效性，讨论了资产收益率为梯形模糊数的情况下投资者针对现有投资组合的调整策略。

投资组合；均值-绝对偏差；交易成本；旋转算法；资产收益率；模糊数

投资组合优化要解决的关键问题是收益与风险的平衡。Markowitz[1]最早用数量化方法解决投资组合优化问题，分别采用均值和方差来度量投资组合的收益和风险。但均值-方差模型存在较大的局限性，其要求资产收益率呈多元正态分布，而很多情况下收益率是非正态分布的，因此研究人员又提出了一些其他的风险度量方法。张鹏等[2]用绝对偏差代替方差，提出了具有风险控制和基数约束的均值-绝对偏差投资组合优化模型；张鹏[3]还用半绝对偏差度量投资组合的风险；黄金波等[4]和柴尚蕾等[5]用CVaR作为指标，研究投资组合风险估量与管理问题；Huang[6]用熵来度量投资组合风险，认为熵值越小，投资组合收益包含的不确定性越低，风险越小。

实际情况下，风险资产的收益是模糊不确定的。为了更有效地解决实际问题，模糊集理论被广泛应用于风险管理，因此，许多学者研究了资产收益为模糊数情况下的投资组合优化问题。邓雪等[7]提出了收益率为梯形模糊数的均值-方差投资组合模型；刘勇军等[8]提出了具有现实约束的模糊多准则投资组合优化模型；马勇等[9]研究了模糊随机环境中的欧式障碍期权定价问题；潘东静等[10]将不确定性环境下的VaR和CVaR的投资组合优化模型进行了对比研究；刘宣会等[11]研究了在部分信息下的投资组合优化问题。

上述模型仅仅考虑了在投资初期如何选择最优投资策略，但由于金融市场的变化和投资者风险偏好的改变，现有投资组合在整个投资期内并不总是有效的，因此投资者可能会在投资期内对投资组合进行调整，而调整投资组合会产生交易成本。Zhang等[12-13]考虑了单位买进卖出成本和每种资产单位交易成本对投资组合的影响，分别提出了不同的投资组合优化模型。在上述研究的基础上，本文基于可能性理论，分析了可能性均值和可能性绝对偏差，综合考虑交易成本和交易量限制，提出了均值-绝对偏差模糊投资组合优化模型，并运用旋转算法求解。最后通过实证研究说明在资产收益率为梯形模糊数的情况下，投资者如何对现有投资组合进行调整。

1 模糊均值和绝对偏差

下面介绍本文中的一些定义。模糊数A是满足常态性、模糊凸性和连续成员函数的实线R模糊集。它的水平集[A]γ=[a1(γ),a2(γ)]，γ∈[0,1]，模糊数A的上、下可能性均值[14]为

(1)

(2)

式中：Pos表示可能性。

定义1[14]假设A是模糊数，它的水平集[A]γ=[a1(γ),a2(γ)] (γ∈[0, 1])，则其可能性均值为

(3)

定义2 假设A、B是模糊数，它们的水平集为[A]γ=[a1(γ),a2(γ)] (γ∈[0, 1])和[B]γ=[b1(γ),b2(γ)] (γ∈[0, 1])，A和B的可能性绝对偏差为

(4)

假设A是梯形模糊数，A=(al,bl,αl,βl)，则A的隶属函数为

(5)

其中αl和βl为正数。模糊数A=(al,bl,αl,βl) 的水平集为[Al]γ= [al-(1-γ)αl,bl+(1-γ)βl],γ∈[0,1]。

根据定义1可知Ai的上、下可能性均值以及可能性均值分别为

(6)

(7)

(8)

2 均值-绝对偏差模糊投资组合模型

2.1 问题描述和符号说明

2.2 投资组合的可能性收益和风险

(9)

(10)

根据定义2，可得到投资组合x=(x1,x2,…,xn,xf)的可能性绝对偏差(风险)为

(11)

(12)

(13)

去绝对值后式(13)化为

(14)

(15)

根据文献[16]，式(15)转化为

(16)

根据式(8)，式(16)可以转化为

(17)

证毕。

2.3 投资组合模型

假设投资者的目标是风险最小化，则具有交易成本和交易量限制的均值-绝对偏差模糊投资组合模型为

(18)

模型(18)中，第一个约束条件表示调整后的投资组合净收益率不低于给定的期望值r0；第二个约束条件表示无风险资产的投资比例必须超过给定的下界；第三个约束条件表示第i种资产投资比例的上下界限制。模型(18)的经济意义是指在满足上述三个约束条件的情况下，投资者如何调整投资组合以使其风险最小。

(19)

一般来说，投资组合收益越大，风险越高。但最低期望收益率r0也不能无限大，即在r0超过某个值的前提下要求风险最低时，可能不存在最优解，因此有必要确定r0的取值范围。

假设在投资过程中，投资者只关注收益而不考虑风险，此时，投资组合可以获得最大收益，即可得到r0的最大值。

(20)

3 实证研究

下面分两种情况讨论交易成本对投资组合的影响。用pi表示单位买进成本，qi表示单位卖出成本，其中i=1,2,…,30。

(1)每种资产的买进和卖出成本相同。

当Ci=pi=qi=0，即不存在交易成本时，比较r0取不同值时对应的最优投资策略，如表1所示。

为了考察交易成本对投资组合的影响，令Ci=pi=qi=0.005，比较r0取不同值时对应的最优投资策略，如表2所示。

从表1和表2中可以看出，投资组合的风险和收益是正相关的，即在r0的取值区间内，期望收益率越高，投资风险越大。同时，在期望收益率一定的前提下，单位交易成本越高，投资风险就越大。

(2)每种资产的买进和卖出成本不同。

4 结语

考虑到风险资产收益的模糊不确定性，本文提出了具有交易成本和交易量上下界限制的均值-绝对偏差模糊投资组合模型，并用改进的线性规划旋转算法进行求解。通过实证研究证明了模型和算法的有效性，说明了交易成本对投资组合的影响：单位交易成本不同时对应的投资调整策略也不相同；在期望收益率一定的情况下，单位交易成本越高，投资风险就越大。

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[3] 张鹏.多阶段均值-半绝对偏差模糊投资组合优化研究[J].模糊系统与数学,2013,27(1):168-176.

[4] 黄金波,李仲飞，姚海祥.基于CVaR核估计量的风险管理[J].管理科学学报,2014(3):49-59.

[5] 柴尚蕾,郭崇慧.基于Mean-CVaR约束的股指期货动态套期保值模型研究[J].管理工程学报,2012, 26(2):141-146.

[6]Huang Xiaoxia.Mean-entropy models for fuzzy portfolio selection[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2008,16(4):1096-1101.

[7] 邓雪,王妍超.带有梯形模糊数的均值-方差投资组合模型比较分析[J].经济数学,2011，28(3):49-54.

[8] 刘勇军,张卫国,徐维军.考虑现实约束的模糊多准则投资组合优化模型[J].系统工程理论与实践,2013(10):2462-2470.

[9] 马勇,张卫国,刘勇军,等.模糊随机环境中的欧式障碍期权定价[J].系统工程学报,2012(5):641-647.

[10]潘东静,宁玉富.不确定环境下基于VaR和CVaR的投资组合优化模型[J].计算机科学,2012(6):204-206.

[11]刘宣会,张金燕，张柯妮，等.部分信息下均值-方差准则下的投资组合问题研究[J].数学的实践与认识,2013,43(12):124-130.

[12]Zhang Xili, Zhang Weiguo, Cai Ruichu. Portfolio adjusting optimization under credibility measures [J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2010,234(5)：1458-1465.

[13]Zhang Xili, Zhang Weiguo, Xu Weijun. An optimization model of the portfolio adjusting problem with fuzzy return and a SMO algorithm[J].Expert Systems with Applications,2011,38(4):3069-3074.

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[15]Yoshimoto A. The mean-variance approach to portfolio optimization subject to transaction costs[J]. Journal of the Operations Research Society of Japan, 1996, 39(1): 99-117.

[16]Vercher E, Bermúdez J D, Segura J V. Fuzzy portfolio optimization under downside risk measures [J]. Fuzzy Sets and Systems, 2007, 158: 769-782.

[17]张鹏,张忠桢,岳超源.限制性卖空的均值-半绝对偏差投资组合模型及其旋转算法研究[J].中国管理科学，2006,14(2):7-11.

[责任编辑 尚 晶]

Optimization of mean-absolute deviation fuzzy portfolio selection with transaction cost

ZhangPeng,ShuYanfei

(College of Management, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China)

Considering the fuzzy uncertainty of the return on assets, this paper proposes a mean-absolute deviation fuzzy portfolio selection model with transaction cost and threshold constraints. Based on the possibility theory, the model is transformed into an explicit linear programming problem. An improved pivoting algorithm is adopted to obtain the optimal portfolio strategy. Finally, an example is given to illustrate the effectiveness of the proposed model and algorithm，and show the investors how to adjust the portfolio selection when the return on assets is trapezoidal fuzzy number.

portfolio selection; mean-absolute deviation; transaction cost; pivoting algorithm；return on assets；fuzzy number

2014-12-10

国家自然科学基金资助项目(71271161).

张 鹏(1975-)，男，武汉科技大学教授，博士.E-mail：zhangpeng300478@aliyun.com

F224.9；O221.2

A

1674-3644(2015)03-0235-06