因式分解的方法

□邹兴平

因式分解的方法

□邹兴平

因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，因式分解的方法多种多样，有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法，根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧，这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，而且有助于培养同学们探索求新的学习习惯，提高同学们的数学思维能力.

一、提公因式法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.

例1分解因式：2m2＋10m＝________.

解析：因2m2和10m有公因式2m，则提取公因式，得2m2＋10m＝2m（m＋5）.

方法指导：在因式分解时，首先应该想到是否有公因式可提.将各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积作为公因式提出来，并且公因式要提净，使留下的式子再没有公因式可提取.应注意各项的符号，而且千万不要漏掉一项.

二、应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式逆用，那么就可以把某些多项式分解因式.

例2分解因式：x3-4x2y+ 4xy2＝证明_______.

解析：先提公因式x得x（x2－4xy＋4y2），再套用完全平方公式得x（x－2y）2.

方法指导：根据多项式特点先提各项系数公因式，再用公式法分解.因式分解一般有以下要求：①（一提）有公因式，先提公因式；②（二套）再利用公式（平方差公式、完全平方公式）分解；③能分解则分解，分解要分解到不能分解为止.

能用平方差公式分解因式的多项式应满足条件是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；能用完全平方公式分解因式的多项式应符合a2±2ab+b2的形式，是三项式，两项都能写成平方的形式且符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍.

三、分组分解法

要把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m＋ n）＋b（m＋n），又可以提出公因式（m＋n），从而得到（a＋b）（m＋n）.

例3分解因式：m2＋4nmn－4m＝________.

解析：原式＝m2－mn－4m＋4n

＝m（m－n）－4（m－n）

＝（m－n）（m－4）.

方法指导：分组后能找到各组之间的公因式或能再用公式法分解因式是解题的关键.

四、十字相乘法

对于mx2＋px＋q形式的多项式，如果a×b＝m，c×d＝q，ac＋bd＝p，则多项式可因式分解为（ax＋d）（bx＋c）.

例4多项式ax2－4ax－12a因式分解正确的是（）.

A.a（x－6）（x＋2）

B.a（x－3）（x＋4）

C.a（x2－4x－12）

D.a（x＋6）（x－2）

解析：首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式.

ax2－4ax－12a＝a（x2－4x－12）＝a（x－6）（x＋2）.故选A.

方法指导：正确理解运用十字相乘法分解因式是解本题的关键.

五、配方法

对于那些不能直接利用公式法的多项式，有的可以先将其中一部分配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解.例5分解因式：x2＋2x－63＝

.

解析：原式＝x2＋2x＋1－64＝（x＋1）2－82

＝（x＋1＋8）（x＋1－8）

＝（x＋9）（x－7）.

方法指导：配成一个完全平方式，然后再用公式法，是解本题的关键.

六、换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来.

耿利飞 男，1984年1月出生，河北赞县人.2012年获军械工程学院武器系统与运用工程专业博士学位，现为中国洛阳电子装备试验中心工程师.主要从事电磁环境效应试验及评估、电磁仿真方面的研究.

例6分解因式（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）－120.

解析：若先去括号再分解显然很麻烦，但注意到原式＝（x2－5x＋ 4）（x2－5x＋6）－120，故以（[x2－ 5x＋4）＋（x2－5x＋6）]＝x2－5x＋5为辅助元进行转化就很简单.

设y＝x2－5x＋5，

原式＝（y－1）（y＋1）－120

＝y2－121

＝（y－11）（y＋11）

＝（x2－5x－6）（x2－5x＋16）

＝（x＋1）（x－6）（x2－5x＋16）.

方法指导：选择恰当的某个代数式当作一个新的变元来实行变量替换是关键.

七、拆项法

在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解.

例7因式分解：a2－b2＋4a＋2b＋3＝.

解析：根据多项式的特点，把3拆成4＋（－1），

则a2－b2＋4a＋2b＋3

＝a2－b2＋4a＋2b＋4－1

＝（a2＋4a＋4）－（b2－2b＋1）

＝（a＋2）2－（b－1）2

＝（a＋b＋1）（a－b＋3）.

方法指导：拆项分组后，能用公式法，是关键.

八、添项法

在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致.

例8因式分解：x 4＋4y4＝___.

解析：根据多项式的特点，在x4＋4y4中添上4x2y2、－4x2y2两项，

则x4＋4y4

＝（x4＋4x2y2＋4y4）－4x2y2

＝（x2＋2y2）2－（2xy）2

＝（x2＋2xy＋2y2）（x2－2xy＋2y2）

方法指导：添项分组后，能用公式法，是解题的关键.