乘法公式的灵活运用

□侯怀有苗伟

乘法公式的灵活运用

□侯怀有苗伟

乘法公式在解题中的应用非常广泛，运用乘法公式解题不仅要熟悉公式的结构特征，而且能灵活使用它们，才能获得简捷合理的解法.

一、对号a、b，正确运用

例1计算（3x－2）（－2－3x）.

分析：两个因式中的－2完全相同，而3x与－3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，－2是公式中的a，3x是公式中的b.

解：原式＝（－2）2－（3x）2

＝4－9x2.

二、适当变形，灵活运用

例2计算（2x＋y－z＋5）（2xy＋z＋5）.

分析：两个因式中含2x和5的项完全相同，而含y和z的项的符号分别相反，故可适当分组，利用平方差公式计算.

解：原式＝[（2x＋5）＋（yz）]·[（2x＋5）－（y－z）]

＝（2x＋5）2－（y－z）2

＝（4x2＋20x＋25）－（y2－2yz＋z2）

＝4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2.

三、创造条件，巧妙应用

例3计算（5a＋3b－2c）（5a－3b＋6c）.

分析：从表面上看本题不能使用乘法公式.但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因－2c＝2c－4c，6c＝2c＋4c，故可先拆项，后仿例2计算.

解：原式＝（5a＋3b＋2c－4c）（5a－3b＋2c＋4c）

＝[（5a＋2c）＋（3b－4c）]· [（5a＋2c）－（3b－4c）]

＝（5a＋2c）2－（3b－4c）2

＝25a2＋20ac＋4c2－9b2＋24bc－16c2

＝25a2－9b2－12c2＋20ac＋24bc.

四、避繁就简，逆向运用

例4计算（x＋y）2－2（x＋y）（x－y）＋（x－y）2.

分析：若先平方展开后再计算，比较复杂，但把（x＋y）看作a，（x－y）看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果.

解：原式＝[（x＋y）－（x－y）]2

＝4y2.

五、明确联系，综合运用

乘法公式的主要变式有：①a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（a－b）2＋2ab；②（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）；③（a＋b）2－（a－b）2＝4ab.熟悉这些变形公式，明确它们之间的联系，综合运用，常可简化解题过程.

例5已知：a＋b＝5，ab＝2，求（a－b）2的值.

解：由完全平方公式得（a＋b）2－（a－b）2＝4ab，

则（a－b）2＝（a＋b）2－4ab.

∵a＋b＝5，ab＝2，

∴（a－b）2＝52－4×2＝17.