连续统上连续映射f 的动力性质

王雅珺 唐亚林 黄日娣 张更容

（广西大学 数学与信息科学学院，广西 南宁 530004）

1 预备知识

设 f: X →X 为连续映射，其中X 为拓扑空间，映射f 的周期点、回归点、ω 极限点等定义如文献[2,3,4]。它的周期点集，回归点集分别记作 P ( f ) ,R ( f )，点x 的ω 极限点集记作 ω ( x, f)。

引理1[2]设J 为I 的子区间，它不包含f 的周期点，如果 x ,y ∈ J,对某些 m, n ＞ 0，存在 fm( x ) ∈ J ， fn( y )∈J ，则若x ＜ fm(x)，有 y ＜ fn( y)；若 x ＞ fm(x)，有 y ＞ fn( y)。

引理2[2]设f 是线段I 的一个连续自映射，则f 的每一个回归点或者是周期点或者是周期点的聚点。从而，和分别为 P ( f )和 R ( f )的闭包。

由f 一致连续，存在 δ ∈ (0,ε )使得当 d (u ,v )＜ δ时有 d ( f (u ), f (v ))＜ ε。由我们可取点。于是。从而.即有，这与矛盾。因此不存在连续映射 f :S → S使得。

2 定理及其证明

证明：任取 J ⊂ L1且 x, y ∈ J，存在 m, n ＞ 0有 fm( x ) ∈ J , fn( y )∈ J 。

不妨设 x ＞Sfm(x )，令 g = fm，则.若则 gk+1(x ) ＞Sg (x)，如若不然，gk+1(x ) ≤Sg (x)。

(1) gk+1(x ) = g ( x )，则x 为 gk的不动点，与矛盾；

(2) gk+1(x ) ＜Sg (x)，

① gk+1(x ) ＜Sx ＜Sgk(x ) ＜Sg (x)，则，所以在 ( x, gk(x ))S中存在g 的不动点，与矛盾。

② x ＜Sgk+1(x ) ＜Sgk(x ) ＜Sg (x ),则，所以在中存在 gk的不动点，与矛盾。

因此（1）与（2）可知对任意 k ≥ 1 ， gk( x )＞Sx ，取k = n，则 fmn(x )＞Sx。

若 y ＜Sfn( y )，同理可得 fmn( y )＜Sy，则，所以[ x, y ]S中存在 fmn的不动点，与假设矛盾，因此，J 为单向区间。

定理2 设 f :S → S是一个连续映射，则f 的周期点集的闭包与回归点集的闭包相等，即

证明：由引理3，我们分三种情况讨论

由于 P1( F ) ⊂ R1( f)，欲证 R1( f )⊂ P1( f)，需证。假设若存在 x ∈ V ∩ R1( f )，则 x ∈ R1( f)，则对任意 ε ＞ 0，存在 n1＞ 0使得，所以 x ＜Sfn1(x)令因为 x ∈ R1( f)，所以存在 n2＞ 0使得d ( fn2(x ), x )＜ δ，从而 n2＞ n1且 fn2( x ) ＜Sfn1(x).令，则对y ∈ J, fm( y )＜ y,与V 为正型区间矛盾，所以，所以，所以。

②设 g :[0 ,1)→ L2既是单射且是满射的连续映射，取 f':[ 0,1) → [0, 1)连续自映射，使得 g ◦ f =f'◦ g ，因此 x'∈ [0,1)是的一个周期为n 的点当且仅当 x = g ( x')是f 的一个周期为n 的周期点， R ( f ) = g ( R ( f'))。由引理2 得，，所以。

[1]Nadler S B Jr.continuum Theory[M].New York:Marcel Dekker,Inc,1992.

[2]Block L,Coppel W A.Dynamics in one dimension.Lecture Notes in Mathematics No.1513,Berlling Springer,1992.

[3]张景中,熊金城.函数迭代与一维动力系统[M].成都:四川教育出版社,1992.

[4]廖公夫,王立冬,范钦杰.映射迭代与混沌动力系统[M].北京:科学出版社,2013.