微积分发展的历程探究

□王伟珠

一、古代时期

(一)巴比伦、埃及的数学。在公元前三千年左右，巴比伦人和埃及人几乎是同时和独自地发展着数学(正整数、分数、二次方程的根和简单几何图形的面积和直角三角形关系等)。在这两个古代文明社会中，巴比伦人是首先对数学主流作出贡献的。如，巴比伦人能求得一元一次方程和部分一元二次、三次方程的根，甚至能解出含五个未知量的五个方程这类个别问题，几何方面能计算一些简单平面图形面积和简单立体体积。埃及文化在公元前2500年左右达到最高点，当时的统治者建立了金字塔。埃及人能应用正确的公式来计算三角形、长方形、梯形的面积，立方体、棱柱、圆柱、棱锥体体积等。

(二)古希腊的数学。希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上，其文明一直延结到公元600年左右。这一时期在历史上被称为古典数学时期，其数学成就的精华是Euclid的《原本》和Apollonius的圆锥曲线。古希腊形成了多个数学学派，各个学派积累了很多数学知识，但都没有形成比较完整的体系，到了亚历山大时期(公元前400年到公元641)，希腊数学家们在柏拉图几何思想的启示下，开始将数学知识进行系统整理，使之脱离哲学而成为独立学科。完成此项具有划时代意义工作的是大数学家欧几里德(Euclid)，他撰写的名著《几何原本》开创了数学发展的新时期，使得初等数学形成了体系。阿波罗尼奥斯(Apollonius)的《圆锥曲线论》对几何学的发展产生了深远的影响，在数学界统治了近2000年，直到十七世纪笛卡尔时代才开始有本质上的改变。

(三)中国的数学。就数学而言，中国或许是世界上数学科学的发源地之一，在中国古代，代数和几何知识的产生可以追溯到公元前3000年前，其中如勾股定理的出现早于西方。在西汉末年(公元前180年左右)出现了数学专著《九章算术》，它标志中国初等数学理论体系的形成，它包含了方程、勾股、方田等算术、代数和几何问题解法，在东汉初期至五代末，是初等数学理论体系稳定发展时期，其代表性人物是赵爽、刘徽和祖冲之等，到宋元时期，中国初等数学的发展达到了顶峰。但由于各方面的原因，中国古代的数学研究总是卷入到非常实际的问题上去，不知道抽象，不知道系统，明朝中叶以后，就科技落后了。

(四)印度和阿拉伯的数学。印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度人在算术和代数作出了杰出的贡献，《绳法经》是印度最早的数学文献，其中最重要的内容是祭坛的建造问题，即利用绳子和竹杆给出固定的测量法则。印度人在算术运算的贡献如:0的运算，负数的运算;正视无理数的存在，不定方程的研究及其应用等，并推导出运算公式:代数被应用在普通商业问题上，如计算利息、财产划分等，但是在几何方面一直没有出色的进展。公元200～1200年时期是阿拉伯人的数学成就期，阿拉伯人在用圆锥曲线相交来解三次方程上推进了一大步。还有值得一提的是以10为底的进位制记数法，对1到9的量的数字记号，以及把0作为一个数引入，也都是阿拉伯人所为。

二、中世纪前后

(一)欧洲中世纪前的数学。从公元400年起到1100年左右为止，欧洲的数学基本处于停滞状态，当代数学史家M．克莱茵这样曾经评说:罗马文明是不可能产生数学的，都是太注重实际的结果，欧洲的中世纪文明也不可能产生数学成果，正是因为相反的原因，它不关心物理世界，俗世的事务和问题根本不重要，基督教重视死后的生活并重视为此而进行的准备。此外，十四世纪下半叶的黑死病夺去了约占欧洲三分之一的人口，使整个欧洲文明倒退回去。

(二)文艺复兴时期的数学。文艺复兴时期(1400～1600年)，欧洲被几件事情深深地震憾了，一是革命的影响十分广泛;二是希腊著作大量进入欧洲，活板印刷的发明，加速了知识的传播。数学兴趣的复活几乎是随着希腊知识和生活准则的复活一起而来的结果，十五世纪，希腊的著作大量进入欧洲，Plato著作众所周知，数学就是唯一能被公认为真理的体系。文艺复兴时期数学的主要贡献:几何透视法(广泛应用于建筑、绘画等方面)，这时期最好的数学家是德国人Albrecht Durer(1471～1528)，他几何方面的著作有《圆规直尺测量法》等。此外在代数和三角方面也有重要的发展。

三、微积分时期

(一)微积分的创立。数学的一个基本概念是从对运动(天文、航海)等问题的研究引出的，之后的200年里，这个概念占据了几乎所有工作的中心位置，这个概念就是函数或变量间关系。随着函数概念的采用，微积分也产生了，可以说是继Euclid几何之后，数学中最大的一个创造。围绕着解决速度、切线、面积和体积以及最值这四个核心的科学问题，十七世纪被大大小小的十几个乃至几十个数学家探索过。在所作工作中，贡献达到顶峰的是Newton和Leibniz的成就。如James Gregory说过:“数学的真正划分不是分成几何和算术，而是分成普遍的和特殊的”。而这普遍的东西是由两个包罗万象的思想家Newton和Leibniz提供的。

(二)微积分成果优先权的争论。微积分的应用和发展，不再是古希腊几何的附庸和延展品，之所以能成为一门独立的学科，这些都必须归功于牛顿和莱布尼茨两个人。历史上，关于微积分的成果归属和优先权问题，曾在数学界引起了一场长时间的大争论。但调查结果证明:莱布尼兹确实是微积分主要思想的独立发明人。这场争吵的重要性不在于谁胜谁负的问题，而是使数学家分成两派。一派是英国数学家，捍卫牛顿;另一派是欧洲大陆数学家，尤其是Bcrnonlli兄弟，支持莱布尼茨，两派相互对立甚至敌对。其后果是，英国数学家和欧洲大陆的数学家不再进行思想的交换。这后果可以说非常可怕，它不仅影响了英国的数学发展，更影响了数学界的前进。

(三)微积分的可靠性。十七世纪以来，微积分的概念和技巧不断扩展并被广泛应用于解决天文学、物理学中的各种实际问题，取得了巨大的成就。但直到十九世纪以前，在微积分的发展过程中，其数学分析的严密性问题一直没有得到解决。十八世纪中，包括牛顿和莱布尼兹在内的许多大数学家都觉察到这一问题并对这个问题作了努力，但都没有成功地解决这个问题。整个十八世纪，微积分的基础是混乱和不清楚的，许多英国数学家也许是仍然为古希腊的几何所束缚，因而怀疑微积分的全部工作。这个问题一直到十九世纪下半叶才由德国数学家柯西得到了完整的解释，柯西极限存在准则使得微积分注入了严密性，这就是极限理论的创立。极限理论的创立使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上，它也为20世纪数学的发展奠定了基础。

［1］(美)卡尔·B·波耶著;唐生译．微积分概念发展史［M］．上海:复旦大学出版社，2007

［2］吴赣昌．微积分(下册)［M］．北京:中国人民大学出版社，2007