Hirota双线性导数方法求解KdV方程的双周期波解

梁聪刚，王鸿章

(平顶山学院 数学与信息科学学院，河南 平顶山 467000)

Hirota双线性导数方法求解KdV方程的双周期波解

梁聪刚，王鸿章

(平顶山学院 数学与信息科学学院，河南 平顶山 467000)

非线性发展方程是人们认识和解释自然界许多现象时得到的数学模型，研究这些模型的解的性态十分重要，其显式解更是人们研究所必需的。Hirota双线性导数方法是求解非线性发展方程精确解的非常有效的方法之一。本文利用Hirota双线性导数方法，并借助于辅助雅可比ϑ函数，利用Hirota提出的双线性导数方法，导出kdv方程的解，最后并对双周期波解和孤立波解进行了数值模拟。

Hirota方法； KdV方程； 双周期波解

孤子理论是目前非线性科学的一个重要研究部分，它已经在自然科学领域中广泛地被应用，特别在化学、生物学、应用数学、流体力学、场论、光学、凝聚态物理学等学科中都有这方面的重要研究结果[1-6]。近来，在研究非线性孤子解的理论方面出现了许多新的方法，例如双曲正切函数法，齐次平衡法，Jacobi椭圆函数法，辅助函数法等等，利用这些方法，许多学者在量子力学、大气物理、神经网络等领域中解决了大量的非线性孤子波理论的有关问题。新近,由日本数学家Hirota提出的双线性导数方法为求解各种非线性发展方程的多孤子解提供了一条有效途径,。KdV方程是物理学上描述描述弱非线性回复力的浅水波模型，它有非常重要的物理意义。本文将利用雅可比ϑ函数为工具,采用Hirota双线性方法讨论如下形式的KdV方程：

ut(x,t)+6u(x,t)ux(x,t)+uxxx(x,t)=0

(1)

在本文的第一部分，介绍利用雅可比ϑ函数为工具的双线性导数方法；在第二部分，推导出用雅可比ϑ函数表示的KdV方程的周期波解，并在长波极限情况下，推导不同形式的精确解，最后给出一些结论。

1 雅可比ϑ函数

为了研究方便，不妨给出以下定义、性质和符号：

在一般下降理论(Descent theory)中,来自线丛条件.若限制变量z为任何复数,而τ为上半复平面上,此函数则成为雅可比ϑ函数,其形式为[7]：

(2)

若固定τ,则此成为一周期为1的单变量z整函数的傅里叶级数： ϑ(z+1;τ)=ϑ(z;τ).

在以τ位移时,此函数符合：

ϑ(z+a+bτ;τ)=e(-πib2τ-2πibz)ϑ(z;τ);其中a与b为整数.

定义辅助函数：

其中符号依黎曼与芒福德之习惯；雅可比的原文用变量q=eπiτ替换了τ,而称本条目中的ϑ为ϑ3,ϑ01为ϑ4,ϑ10为ϑ2,ϑ11为-ϑ1.若设则z=0；则可从以上获得四支单以τ为变量之函数,其中τ取值于上半复平面.

由雅可比ϑ函数的加法公式[7]：

(3)

(4)

可以计算出雅可比函数ϑ3(x)与ϑ4(x)的Hirota导数：

(5)

(6)

(7)

(8)

当ϑk(x)≡ϑk(x,q)(k=1,2,3,4)时

这里,q=eπiτ,Hirota算子定义为[4]：

2 KdV方程的周期波解

非线性发展方程的周期波是一种非常重要的解,它有多种表达形式,如三角函数、双曲函数、椭圆函数等.下面将借助于Hirota双线性方法,获得用雅可比函数表示的周期波解.为此,引入变换：

(9)

把变换带入到KdV方程(1)中,可以计算出它的双线性方程：

(10)

其中,C为积分常数.

得到一个关于α,ω和C的代数方程组：

αωb1+α4c1=0

αωb2+α4c2+C=0

解这个方程组,得到：

(11)

其中,α为任意常数.

至此,我们已经得到了用雅可比函数表示的周期波解：

(12)

3 周期波解的长波极限

周期波解的长波极限：

(13)

(14)

若令,k→1,则可得到KdV方程的孤立波解：

u(x,t)=2α2sech2(rξ),ξ=αx+ωt,

(15)

其中，α为任意常数，ω由(11)式所示.

4 周期波和孤立波的性质

图1 图2

图3 图4

图1-图4是周期波解u(x,t)的图像，参数α=0.4,τ=0.5.图1是解的全貌.图2是解的俯视图.图3是沿x-方向的演化.图4是沿y-方向的演化.

图5 图6

图7

图5-图7是孤立波解(17)的图像，参数α=0.4,τ=0.5.图5是解的全貌.图6是沿t-方向的演化.图7是解的俯视图.

5 结语

近年来,许多作者作了这方面的深入研究,详见文献[8-15].本文借助于Hirota双线性方法,获得用雅可比函数ϑ3(x)与ϑ4(x)表示的KdV方程的双周期波解,同时指出了它与孤立波解之间的关系,并对解进行了数值模拟.论文所用方法较为新颖,可以很方便地用于求解其它一些非线性发展方程的周期波解.未来,我们还将讨论其它类型雅可比函数表示的非线性发展方程的周期波解,并分析它们与孤立波解之间的关系,这很有意义.

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Doubly periodic hirota bilinear derivative method for solving double periodic wave solution of KdV equations

LIANG Cong-gang,WANG Hong-zhang

(CollegeofMathematicsandInformationScience，PingdingshanUniversity，Pingdingshan467000，HenanChina)

Nonlinear evolution equations are mathematical model obtained during the period that people learn and illustrate phenomena of nature.It’s very important to do research on the condition of the solution to the model,and its explicit solution is more necessary in carrying out a research.Hirota bilinear derivative method is one of the effective methods to solve the exact solutions of nonlinear evolution equations.By using the Hirota bilinear derivative method,and with the aid of auxiliary jacobian function,bilinear derivative method is applied to educe the solution of KdV equations,and finally the double periodic wave solutions and solitary wave solution are numerically simulated.

Hirota method；KdV equation；Double periodic wave solution

2015-06-05

河南省科技厅科技发展项目(No： 112300410199)

梁聪刚(1981-)，男，河南南阳市人，讲师，硕士，研究方向：偏微分方程； 王鸿章(1979-)，男，河南汝州市人，讲师，硕士,研究方向：偏微分方程.

1001-9383(2015)03-0007-05

O411.1

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