具有32pq阶自同构群的有限幂零群*

薛 雪，钱方生

(哈尔滨师范大学)

0 引言

有限群G的结构问题一直是群论研究的一个热点.给定正整数n，确定有限群G，使得|Aut(G)|=n，其中Aut(G)表示G的自同构群，也是一个有意义的问题.1979年，Iyer在文献［1］中证明了方程|Aut(G)|=n的解存在，并且至多有有限个G满足上述方程.而后Machale和Flannery分别在文献［2－3］中给出了|Aut(G)|=pn(1≤n≤4)及pq的有限群构造，并证明了不存在自同构群阶是p5，p6，p7的交换群，其中p为奇素数.Curran在文献［4］中证明了对于任意的奇素数p，|Aut(G)|=pn(1≤n≤5)无解.国内很多学者又分别对很多情况进行了研究，其中文献［5］研究了|Aut(G)|=4pq的情形，文献［6］研究了具有8pq阶自同构群的有限群结构，给出了满足条件的幂零群完全分类.文献［7］研究了自同构群的阶为16pq的有限幂零群结构.作为上述问题的继续，该文研究具有32pq阶自同构群的有限幂零群结构.

该文中采用的术语和符号都是标准的，且所考虑的群均为有限群.

1 预备知识

引理1［8］不存在自同构群的阶为奇数的有限群.

引理2［9］设n为整数且，为n的素因子分解式，记ω(n)，则不存在有限群G，使得|Aut(G)|为奇数且ω(|Aut(G)|)≤4.

引理3［10］设P是非循环群，|P|＞p2.若|P/Z(P)|≤p4，则|P|||Aut(P)|.

引理4［11］设G是有限幂零群，则G的所有Sylow子群都正规，进而G是它的Sylow子群的直积，即G=P1×P2×…×Pn，其中Pi为G的Sylowpi－子群.

引理5［12］设G=G1×G2×…×Gn是G的直积分解，则存在单同态φ:Aut(G1)×Aut(G2)×…×Aut(Gn)→Aut(G)，且如果|G1|，…，|Gn|两两互素，则单同态φ是同构.即Aut(G)≌Aut(G1)×Aut(G2)×…×Aut(Gn).

引理6［13］设G是循环p－群，则(1)在p为奇素数或n≤2时，Aut(Zpn)是φ(pn)阶的循环群，且实际上是与模pn的既约剩余类成同构;(2)在p=2且又n≥3时，Aut(Zpn)与模2n的既约剩余类成同构，因而为［n－2，1］及阶2n－1的交换群.

引理7［13］pn阶初等Abelp群G的自同构群·kn，其中

2 主要结果

定理1 设G是有限循环群，则|Aut(G)|=32pq(p，q为不同奇素数)当且仅当G同构于下列情形之一:

(1)G≌Z32pq+1、Z2(32pq+1)、Z(32p+1)2或Z2(32p+1)2，其中32pq+1，32p+1为素数.

(2)G≌Z3(16pq+1)、Z6(16pq+1)、Z4(16pq+1)、Z3(16p+1)2、Z6(16p+1)2或Z4(16p+1)2，其中16pq+1，16p+1为素数.

(3)G≌Z5(8pq+1)、Z10(8pq+1)、Z8(8pq+1)、Z5(8p+1)2、Z10(8p+1)2或Z8(8p+1)2，其中8pq+1，8p+1为素数.

(4)G≌Z16(4pq+1)或Z16(4p+1)2，其中4pq+1，4p+1为素数.

(5)G≌Z17(2pq+1)、Z2·17(2pq+1)、Z17(2p+1)2或Z2·17(2p+1)2，其中2pq+1，2p+1为素数.

(6)G≌Z3·4(8pq+1)或Z3·4(8p+1)2，其中8pq+1，8p+1为素数.

(7)G≌Z3·5(4pq+1)、Z2·3·5(4pq+1)、Z3·5(4p+1)2、Z2·3·5(4p+1)2、Z3·8(4pq+1)、Z4·5(4pq+1)或Z3·8(4p+1)2，其中4pq+1，4p+1为素数.

(8)G≌Z3·16(2pq+1)或Z3·16(2p+1)2，其中2pq+1，2p+1为素数.

(9)G≌Z5·8(2pq+1)或Z5·8(2p+1)2，其中2pq+1，2p+1为素数.

(10)G≌Z3·4·5(2pq+1)或Z3·4·5(2p+1)2，其中2pq+1，2p+1为素数.

(11)G≌Z(16p+1)(2q+1)、Z2(16p+1)(2q+1)、Z32(16p+1)、Z2·32(16p+1)、Z172(2q+1)、Z2·172(2q+1)、Z32·172或Z2·32·172，其中16p+1，2q+1为素数.

(12)G≌Z(8p+1)(4q+1)、Z2(8p+1)(4q+1)、Z52(8p+1)或Z2·52(8p+1)，其中8p+1，4q+1为素数.

(13)G≌Z3·52(4p+1)、Z2·3·52(4p+1)、Z3(4p+1)(4q+1)、Z6(4p+1)(4q+1)、Z3·52(4q+1)、Z2·3·52(4q+1)、Z4·52(4p+1)、Z4·52(4q+1)或Z4(4p+1)(4q+1)，其中4p+1，4q+1为素数.

(14)G≌Z3(2p+1)(8q+1)、Z6(2p+1)(8q+1)、Z4(2p+1)(8q+1)、Z4·32(8q+1)、Z3·52(4q+1)、Z2·3·52(4q+1)或Z4·52(4q+1)，其中2p+1，8q+1为素数.

(15)G≌Z16·32(2p+1)、Z16·32(2q+1)或Z16(2p+1)(2q+1)，其中2p+1，2q+1为素数.

(16)G≌Z5(2p+1)(4q+1)、Z10(2p+1)(4q+1)、Z5·32(4q+1)、Z10·32(4q+1)、Z8(2p+1)(4q+1)、Z8·52(2p+1)、Z8·32·52、Z8·32(4q+1)，其中2p+1，4q+1 为素数.

(17)G≌Z3·5(2p+1)(2q+1)、Z2·3·5(2p+1)(2q+1)、Z3·8(2p+1)(2q+1)、Z4·5·32(2p+1)、Z4·5·32(2q+1)或Z4·5(2p+1)(2q+1)，其中2p+1，2q+1为素数.

(18)G≌Z3·4·52(2p+1)或Z3·4(2p+1)(4q+1)，其中2p+1，4q+1为素数.

证明 由于循环群可以分解成循环p－群的直积，则有G=P1×P2×…×Pr，其中Pi循环且Pi∈Sylpi(G)，i=1，2，…，r，p1，p2，…，pr是整除|G|的所有互异素因子．进一步有Aut(G)=Aut(P1)×Aut(P2)×…×Aut(Pr)，由假设知32pq即|Aut(Pr)||32pq．设则有|根据引理2，可以分以下21种情形讨论:

(1)|Aut(P1)|=32pq

(2)|Aut(P1)|=16pq，|Aut(P2)|=2.

根据引理6知P2≌Z3或Z4．由16pq知，若p1=16pq+1，则n1=1，G≌Z3(16pq+1)、Z6(16pq+1)或Z4(16pq+1)．当p1≠16pq+1时，则有p1=q=16p+1，n1=2，所以G≌Z3(16p+1)2、Z6(16p+1)2或Z4(16p+1)2．

(3)|Aut(P1)|=8pq，|Aut(P2)|=4．

(4)|Aut(P1)|=4pq，|Aut(P2)|=8．

(5)|Aut(P1)|=2pq，|Aut(P2)|=16．

当p1=2pq+1时，则P1≌Z2pq+1．当p1≠2pq+1时，则p1=q=2p+1，n1=2，即P1≌Z(2p+1)2，P2≌Z17，所以G≌Z17(2pq+1)、Z2·17(2pq+1)、Z17(2p+1)2或Z2·17(2p+1)2．

(6)|Aut(P1)|=8pq，|Aut(P2)|=2，|Aut(P3)|=2．

由上得P1≌Z8pq+1或Z(8p+1)2，P2≌Z3或Z4，P3≌Z3或Z4．所以G≌Z3·4(8pq+1)或Z3·4(8p+1)2．

(7)|Aut(P1)|=4pq，|Aut(P2)|=4，|Aut(P3)|=2．

由上得P1≌Z4pq+1或Z(4p+1)2，P2≌Z5或Z8，P3≌Z3或Z4．所以G≌Z3·5(4pq+1)、Z2·3·5(4pq+1)、Z3·5(4p+1)2、Z2·3·5(4p+1)2、Z3·8(4pq+1)、Z3·8(4p+1)2、Z4·5(4pq+1)或Z4·5(4p+1)2．

(8)|Aut(P1)|=2pq，|Aut(P2)|=8，|Aut(P3)|=2．

P1≌Z2pq+1或Z(2p+1)2，P2≌Z16，P3≌Z3或Z4．所以G≌Z3·16(2pq+1)或Z3·16(2p+1)2．

(9)|Aut(P1)|=2pq，|Aut(P2)|=4，|Aut(P3)|=4．

P1≌Z2pq+1或Z(2p+1)2，P2≌Z5或Z8，P3≌Z5或Z8，所以G≌Z5·8(2pq+1)或Z5·8(2p+1)2．

(10)|Aut(P1)|=4pq，|Aut(P2)|=2，|Aut(P3)|=2，|Aut(P4)|=2．

P1≌Z4pq+1或Z(4p+1)2，P2≌Z3或Z4，P3≌Z3或Z4，P4≌Z3或Z4，此种情况不成立．

(11)|Aut(P1)|=2pq，|Aut(P2)|=4，|Aut(P3)|=2，|Aut(P4)|=2．

P1≌Z2pq+1或Z(2p+1)2，P2≌Z5或Z8，P3≌Z3或Z4，P4≌Z3或Z4，所以G≌Z3·4·5(2pq+1)或Z3·4·5(2p+1)2．

(12)|Aut(P1)|=2pq，|Aut(P2)|=2，|Aut(P3)|=2，|Aut(P4)|=2，|Aut(P5)|=2．

P1≌Z2pq+1或Z(2p+1)2，Pi≌Z3或Z4(i=2，3，4，5)，此种情况不成立．

(13)|Aut(P1)|=16p，|Aut(P2)|=2q

(14)|Aut(P1)|=8p，|Aut(P2)|=4q

P1≌Z8p+1，P2≌Z4q+1或Z52，所以G≌Z(8p+1)(4q+1)、Z2(8p+1)(4q+1)、Z52(8p+1)或Z2·52(8p+1)．

(15)|Aut(P1)|=4p，|Aut(P2)|=4q，|Aut(P3)|=2．

P1≌Z4p+1或Z52，P2≌Z4q+1或Z52，P3≌Z3或Z4，则G≌Z3·52(4p+1)、Z2·3·52(4p+1)、Z3(4p+1)(4q+1)、Z6(4p+1)(4q+1)、Z3·52(4q+1)、Z3·3·52(4q+1)、Z4·52(4p+1)、Z4·52(4q+1)或Z4(4p+1)(4q+1)．

(16)|Aut(P1)|=2p，|Aut(P2)|=8q，|Aut(P3)|=2．

P1≌Z2p+1或Z32，P2≌Z8q+1，P3≌Z3或Z4，则G≌Z3(2p+1)(8q+1)、Z6(2p+1)(8q+1)、Z4(2p+1)(8q+1) 或Z4·32(8q+1)．

(17)|Aut(P1)|=2p，|Aut(P2)|=2q，|Aut(P3)|=8．

P1≌Z2p+1或Z32，P2≌Z2q+1或Z32，P3≌Z16，则G≌Z16·32(2p+1)、Z16·32(2q+1)或Z16(2p+1)(2q+1)．

(18)|Aut(P1)|=2p，|Aut(P2)|=4q，|Aut(P3)|=4．

P1≌Z2p+1或Z32，P2≌Z4q+1或Z52，P3≌Z5或Z8，则G≌Z5(2p+1)(4q+1)、Z10·(2p+1)(4q+1)、Z5·32(4q+1)、Z10·32(4q+1)、Z8(2p+1)(4q+1)、Z8·52(2p+1)、Z8·32·52、Z8·32(4q+1)．

(19)|Aut(P1)|=2p，|Aut(P2)|=2q，|Aut(P3)|=4，|Aut(P4)|=2．

P1≌Z2p+1或Z32，P2≌Z2q+1或Z32，P3≌Z5或Z8，P4≌Z3或Z4．则G≌Z3·5(2p+1)(2q+1)、Z2·3·5(2p+1)(2q+1)、Z3·8(2p+1)(2q+1)、Z4·5·32(2p+1)、Z4·5·32(2q+1)或Z4·5(2p+1)(2q+1)．

(20)|Aut(P1)|=2p，|Aut(P2)|=2q，|Aut(P3)|=2，|Aut(P4)|=2，|Aut(P5)|=2．

P1≌Z2p+1或Z32，P2≌Z2q+1或Z32，Pi≌Z3或Z4，i=3，4，5．此种情况不成立．

(21)|Aut(P1)|=2p，|Aut(P2)|=4q，Aut(P3)|=2，|Aut(P4)|=2．

P1≌Z2p+1或Z32，P2≌Z4q+1或Z52，P3≌Z3或Z4，P4≌Z3或Z4．则G≌Z3·4·52(2p+1)或Z3·4(2p+1)(4q+1)．

证毕．

定理2 设G是一个非循环的幂零群，则当G同构于下列情形之一时，|Aut(G)|=32pq(p，q为不同奇素数)．

(1)G≌Z2×Z2×Z16q+1或Z2×Z2×Z172，其中16q+1为素数．

(2)G≌Z2×Z2×Z8q+1×Z3或Z2×Z2×Z8q+1×Z4，其中8q+1为素数．

(3)G≌Z2×Z2×Z4q+1×Z5、Z2×Z2×Z4q+1×Z8、Z2×Z2×Z52×Z5或Z2×Z2×Z52×Z8，其中4q+1为素数．

(4)G≌Z2×Z2×Z2q+1×Z16或Z2×Z2×Z32×Z16，其中2q+1为素数．

(5)G≌Z2×Z2×Z4q+1×Z3×Z3、Z2×Z2×Z4q+1×Z3×Z4、Z2×Z2×Z4q+1×Z4×Z4、Z2×Z2×Z52×Z3×Z3、Z2×Z2×Z52×Z3×Z4或Z2×Z2×Z52×Z4×Z4，其中4q+1为素数.

(6)G≌Z2×Z2×Z2q+1×Z5×Z3、Z2×Z2×Z2q+1×Z5×Z4、Z2×Z2×Z2q+1×Z8×Z3、Z2×Z2×Z2q+1×Z8×Z4、Z2×Z2×Z32×Z5×Z3Z2×Z2×Z32×Z5×Z4、Z2×Z2×Z32×Z8×Z3或Z2×Z2×Z32×Z8×Z4，其中2q+1为素数.

(7)G≌Z2×Z2×Z2q+1×Z3×Z3×Z3、Z2×Z2×Z2q+1×Z3×Z3×Z4、Z2×Z2×Z2q+1×Z3×Z4×Z4、Z2×Z2×Z2q+1×Z4×Z4×Z4、Z2×Z2×Z32×Z3×Z3×Z3、Z2×Z2×Z32×Z3×Z3×Z4、Z2×Z2×Z32×Z3×Z4×Z4或Z2×Z2×Z32×Z4×Z4×Z4，其中2q+1为素数.

证明 因为G是幂零群，则G可以表示为Sylowp－群的直积，即G=P1×P2×…×Pr，其中Pi∈Sylpi(G)，i=1，2，…，r.并且Aut(G)=Aut(P1)×Aut(P2)×…×Aut(Pr)，|Aut(Pi)||32pq(i=1…r).G非循环，则一定存在某个Pi非循环，可假设P1非循环.假设P1≌Zp1×Zp1.此时，Aut(P1)≌GL(2，p1).故|Aut(P1)|=|GL(2，p1)|=p1(p1－1)(p21－1).当p1=2时，即P1≌Z2×Z2时，有|Aut(P1)|=2·1·3=6.故可设p=3，则|Aut(Pi)|=16q.根据引理2，可分如下情况讨论:

(1)|Aut(P2)|=16q

(2)|Aut(P2)|=8q，|Aut(P3)|=2.

P3≌Z3或Z4.由P2n2－1(p2－1)=8q知，若p2=8q+1，则n2=1，P2≌Z8q+1.若p2≠8q+1，则p2－1=8，p2=9不是素数，矛盾.则G≌Z2×Z2×Z8q+1×Z3或Z2×Z2×Z8q+1×Z4.

(3)|Aut(P2)|=4q，|Aut(P3)|=4.

P2≌Z4q+1或Z52，P3≌Z5或Z8，G≌Z2×Z2×Z4q+1×Z5、Z2×Z2×Z4q+1×Z8、Z2×Z2×Z52×Z5或Z2×Z2×Z52×Z8.

(4)|Aut(P2)|=2q，|Aut(P3)|=8.

P2≌Z2q+1或Z32，P3≌Z16.则G≌Z2×Z2×Z2q+1×Z16或Z2×Z2×Z32×Z16.

(5)|Aut(P2)|=4q，|Aut(P3)|=2，|Aut(P4)|=2.

P2≌Z4q+1或Z52，P3≌Z3或Z4，P4≌Z3或Z4，G≌Z2×Z2×Z4q+1×Z3×Z3、Z2×Z2×Z4q+1×Z3×Z4、Z2×Z2×Z4q+1×Z4×Z4、Z2×Z2×Z52×Z3×Z3、Z2×Z2×Z52×Z3×Z4或Z2×Z2×Z52×Z4×Z4.

(6)|Aut(P2)|=2q，|Aut(P3)|=4，|Aut(P4)|=2.

P2≌Z2q+1或Z32，P3≌Z5或Z8，P4≌Z3或Z2，则G≌Z2×Z2×Z2q+1×Z5×Z3、Z2×Z2×Z2q+1×Z5×Z4、Z2×Z2×Z2q+1×Z8×Z3、Z2×Z2×Z2q+1×Z8×Z4、Z2×Z2×Z32×Z5×Z3、Z2×Z2×Z32×Z5×Z4、Z2×Z2×Z32×Z8×Z3或Z2×Z2×Z32×Z8×Z4.

(7)|Aut(P2)|=2q，|Aut(P3)|=2，|Aut(P4)|=2，|Aut(P5)|=2.

P2≌Z2q+1或Z32，P3≌Z3或Z4，P4≌Z3或Z4，P5≌Z3或Z4，则G≌Z2×Z2×Z2q+1×Z3×Z3×Z3、Z2×Z2×Z2q+1×Z3×Z3×Z4、Z2×Z2×Z2q+1×Z3×Z4×Z4、Z2×Z2×Z2q+1×Z4×Z4×Z4、Z2×Z2×Z32×Z3×Z3×Z3、Z2×Z2×Z32×Z3×Z3×Z4、Z2×Z2×Z32×Z3×Z4×Z4或Z2×Z2×Z32×Z4×Z4×Z4.

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