调和Bergman空间上以拟奇次函数和径向函数为符号的Toeplitz算子的交换性

杨静宇，王晓英（赤峰学院　数学与统计学院，内蒙古　赤峰　024000）

调和Bergman空间上以拟奇次函数和径向函数为符号的Toeplitz算子的交换性

杨静宇，王晓英
（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰024000）

摘要：本文主要研究调和Bergman空间上分别以拟奇次函数和径向函数为符号的两个Toeplitz算子的交换性.关键词：调和Bergman空间；拟奇次函数；径向函数；Toeplitz算子；Mellin变换；交换性

1　引言

构成的Hilbert空间.Bergman空间L2a（D)是由L2（D，dA)中所有在D上解析的复值函数构成的闭子空间，是一个再生Hilbert空间，再生核是

调和Bergman空间L2h（D)是L2（D，dA)中所有在D上调和的复值函数构成的闭子空间，且与Bergman空间L2a（D)有如下关系：

其中L- 2a（D)={ f-|f∈L2a（D)，f（0)=0}.显然，L2h（D)是一个再Hilbert空间.它的再生核是

设Q表示L2（D，dA)到L2h（D)上的正交投影，那么

（Qφ)（z)=〈φ，Rz〉，∀φ∈L2（D，dA)

同理，若P表示L2（D，dA)到L2a（D)上的正交投影，那么

（Pφ)（z)=〈φ，Rz〉，∀φ∈L2（D，dA)

由（1）式，有

设φ∈L∞（D)，那么以φ为符号的Toeplitz算子Tφ定义为

其中f∈L2h（D)，z∈D.

作为比Bergman空间更广泛的空间，调和Bergman空间上的Toeplitz算子也得到了人们的关注.但由于调和Bergman空间自身不是个代数，这使得对此空间上Toeplitz算子的研究变的困难.如：[6]刻画了符号为调和函数且其中一个为多项式的两个Toeplitz算子的交换性.特别的，文中证明了只有符号函数线性相关的两个解析Toeplitz算子才是交换的，但在Bergman空间上两个解析Toeplitz算子本身就是交换的.

受文献[4]，[6]的启发，本文考察了调和Bergman空间上分别以径向函数和拟奇次函数为符号的两个Toeplitz算子的交换性.受调和Bergman空间代数结构的影响，本文未能对符号函数都是拟奇次函数这种一般情况下两个Toeplitz算子的交换性进行讨论.

2径向函数的Mellin变换与Mellin卷积

Mellin变换是本章所需的重要工具之一，函数φ∈L1（[0，1]，rdr)的Mellin变换φ^定为：

根据上述定义，Mellin变换φ^在{z:Rez≥2}上是有定义的，并且在半平面{z:Rez＞2}上解析.如果存在一个（nk)k≥0⊂N，使得

那么，通过Muntz-Szasz理论[7]，有φ=0.

若φ∈L1（D，dA)且满足φ（z)=φ（|z|)（∀z∈D)，则称φ为径向函数.函数f称为度为k的拟奇次函数，如果f能表示为

f（reiθ)=eikθφ（r)

其中φ为径向函数.

引理1[8]设p∈z且φ是一个有界径向函数，那么对任意的n∈p，有

引理2[9]设f在{z:Rez＞0}上解析，并且在点z1，z2，z3…上的值为零，其中z1，z2，z3…满足

1）inf{|zn|}＞0

则f在{z:Re＞0}上恒为零.

3 Toeplitz算子的交换性

定理1设φ是一个有界径向函数，eipθø是一个度为p的有界拟齐次函数，其中p＞0，如果在L2h（D)上有

那么ø=0或φ是一个常数.

证明由于TφTeipθø=TeipθøTφ在调和Bergman空间成立，所以我们有

对等式（2），根据引理1直接计算得

2（1+n+p)ø^（2n+p+2)φ^（2n+2p+2)=2（1+n)ø^（2n+p+2)φ^（2n+2)

很显然，点列{（2n+2)}n∈Ec满足

（a）inf{（2n+2)}n∈Ec＞0

因此有

由上述有，对任意n0≥0，有

因此φ恒等于CC^.

所以当（2）式成立时，我们推知ø=0或φ是一个常数.

类似的，运用引理1对等式（3）进行直接计算得

当n≥p时，有

与上面的证明类似，由于{（2n+2-2p)}n∈Mc满足

（a）inf{（2n+2-2p)}n∈Mc＞0

所以由（5）式可以推出

进一步推知，对任意n0≥0，有

令n0φ^（n0)=B，那么有

因此φ恒等于BC^.

当n＜p时，有

这样推出φ是常值函数.

综上所述，由等式（3）可以推出ø=0或φ恒等于常数.所以当TφTeipθø=TeipθøTφ时有ø=0或φ恒等于常数.

参考文献：

〔1〕A. Brown and P. R. Halmos，Algebraic properties of Toeplitz operators，J. Reine Angew. Math. 213，(1963)，89-102.

〔2〕S. Axler and Z. Cuckovic，Commuting Toeplitz operators with harmonic symbols. Integral Equation Operator Theory. 14，(1991)，1－12.

〔3〕S. Axler，Z. Cuckovic and N. V. Rao，Commutants of analytic Toeplitz operators on the Bergman space，Proc. Amer. Math. Soc. 128，(2000)，1951-1953.

〔4〕Z. Cuckovic and N.V. Rao，Mellin transform，monomial symbols and commuting Toeplitz operators，J. Funct. Anal. 154(1)，(1998)，195-214.

〔5〕I. Louhichi and L. Zakariasy，On Toeplitz operators withquasihomogeneous symbols，Arch. Math. (Basel). 85，(2005)，248-257.

〔6〕B. R. Choe and Y. J. Lee，Commuting Toeplitz operators on the harmonic Bergman space，Michigan Math. J. 46，(1999)，163-174.

〔7〕W.Rudin，Real and Complex analysis，Third edition，New York1987.

〔8〕X.T. Dong and Z. H. Zhou，Products of Toplitz operators on the harmonic Bergman space，Proc. Amer. Math. Soc. 138，(2010)，1765-1773.

〔9〕R. Remmert，Classical Topics in complex Function Theory，Graduate Texts in Methematics，{f 172} Springer，New York，1998.

基金项目：内蒙古教育厅高等学校科学研究项目（NJZY13298）

中图分类号：O177

文献标识码：A

文章编号：1673-260X（2015）10-0001-03