K=12、y=15时,盈数、朒数的计算过程
2015-03-11杨文兴
杨文兴
(邯郸职业技术学院,河北 邯郸 056005)
K=12、y=15时,盈数、朒数的计算过程
杨文兴
(邯郸职业技术学院,河北 邯郸 056005)
用初等数学的知识证明了祖冲之的结论,详细介绍盈数、朒数的计算过程。
圆周率;祖冲之;盈数;朒数
笔者的文章《再现肭数和盈数》在《邯郸职业技术学院学报》2015年第2期发表。该文结论是:只要计算时,在第15位小数进行近似处理就可得到祖冲之的结论,并且这个计算工作可以通过笔和纸来完成。遗憾的是,当时笔者没有用纸和笔的方法完成这个工作,而是计算机程序,调用了计算机语言里的库函数。由于计算机计算时的截断误差以致一组计算结果不精确,对此感到抱歉。这篇补充就是来弥补这个不足的。它要达到如下两个目的:(1)介绍以手,笔,纸为计算工具的计算办法及过程;(2)绝对精确。欢迎读者检验。
K=12、y=15时,意味着分圆为6×2^12等份。计算时保留15位小数,并在第15位小数上作近似处理。在拙文《再现肭数和盈数》中已得到的结论:
D[1]=3^0.5
D[i+1]=(2+D[i])^0.5,i是自然数。
s[12]=(2-D[12])^0.5
m[12]=(2×s[12])÷D[13]
3×212×s[12] 注意:为了减少篇幅,开方竖式中的,有时列没有对齐。 一:盈数的计算过程 圆周率Pi<3×2^12×m[12] 计算s[12] s[12]=(2-D[12])^0.5 开方计算D[i]时,当得到第15位小数即停止。 D[1]=3^0.5 用笔和纸进行的开方竖式如下: 3.000000000000000000000000000000 1 1 200 189 17 1100 1029 173 7100 6924 1732 17600 00000 17320 1760000 1732025 173205 2797500 0000000 1732050 279750000 277128064 17320508 262193600 000000000 173205080 26219360000 24248711249 1732050807 197064875100 173205080725 17320508075 2385979437500 2078460969036 173205080756 30751846846400 27712812921024 1732050807568 303903392537600 277128129210944 17320508075688 2677526332665600 2424871130596369 173205080756887 25265520206923100 24248711305964229 1732050807568877 ∴D[1]>1.732050807568877 D[2]= (2+D[1])^0.5 >(2+1.732050807568877)^0.5 开方竖式如下: 3.732050807568877000000000000000 1 1 273 261 19 1220 1149 193 7150 3861 1931 328980 309024 19318 1995675 1931825 193185 6385068 3863701 1931851 252136787 231822156 19318516 2031463170 1931851625 193185165 9961154500 7727406604 1931851652 223374789600 193185165225 19318516525 3018962437500 2704592313549 193185165257 31437012395100 30909626441184 1931851652578 52738595391600 38637033051561 19318516525781 1410156234003900 1159110991546869 193185165257813 25104524245703100 23182219830937596 1931851652578136 ∴D[2]>1.931851652578136 D[3]= (2+D[2])^0.5 >(2+1.931851652578136)^0.5 开方竖式如下: 3.931851652578136000000000000000 1 1 293 261 19 3218 3104 198 11451 7924 1982 352765 317184 19828 3558125 3172544 198288 38558178 35691921 1982889 286625713 277604509 19828897 902120460 793155884 198288972 10896457600 7931558884 1982889722 296489871600 277604561129 19828897227 1888531047100 1586311778176 198288972274 30221926892400 27760456118409 1982889722747 246147077399100 237946766729676 19828897227476 820031066942400 793155889099044 198288972274762 2687517784335600 0000000000000000 1982889722747620 D[3]>1.982889722747620 开方竖式篇幅太长,为此,略去一些开方竖式。 D[4]= (2+D[3])^0.5 >(2+1.982889722747620)^0.5 >1.995717846477206 D[5]= (2+D[4])^0.5 >(2+1.995717846477206)^0.5 >1.998929174952731 D[6]= (2+D[5])^0.5 >3.998929174952731^0.5 >1.999732275819123 D[7]=(2+D[6])^0.5 >3.999732275819123^0.5 >1.999933067834802 D[8]= (2+D[7])^0.5 >3.999933067834802^0.5 >1.999983266888701 D[9]= (2+D[8])^0.5 >3.999983266888701^0.5 >1.999995816717800 D[10]= (2+D[9])^0.5 >3.9999958167178^0.5 >1.999998954179176 D[11]= (2+D[10])^0.5 >3.999998954179176^0.5 > 1.999999738544776 D[12]= (2+D[11])^0.5 >(2+1.999999738544776)^0.5 开方竖式如下: 3.999999738544776000000000000000 1 1 299 261 19 3899 3501 199 39899 35901 1999 399873 359901 19999 3997285 3599901 199999 39738444 35999901 1999999 373854377 359999901 19999999 1385447660 1199999949 199999993 18544771100 15999999456 1999999934 254477164400 239999992116 19999999346 1447717228400 1199999960769 199999993463 24771726763100 23999999215596 1999999934636 77172754750400 39999998692721 19999999346361 3717275605767900 3599999882345061 199999993463619 11727572342283900 7999999738544764 1999999934636192 D[12]>1.999999934636192 D[13]= (2+D[12])^0.5 > (2+1.999999934636192)^0.5 开方竖式如下: 3.999999934636192000000000000000 1 1 299 261 19 3899 3501 199 39899 35901 1999 399893 359901 19999 3999246 3599901 199999 39934536 35999901 1999999 393463519 359999901 19999999 3346361820 3199999904 199999998 14636191600 11999999889 1999999983 263619171100 239999997996 19999999836 2361917310400 1999999983625 199999998365 36191732677500 35999999705781 1999999983659 19173297171900 00000000000000 19999999836590 1917329717190000 1599999986927216 199999998365904 31732973026278400 27999999771226609 1999999983659047 D[13]>1.999999983659047 s[12]=(2-D[12])^0.5 <(2-1.999999934636192)^0.5 = 0.0000000653638079999999999999910^0.5 开方竖式如下: 0.0000000653638079999999999999910 0 0 00 00 00 000 000 000 0000 0000 0000 00006 00004 00002 000253 000225 000025 0002863 0002525 0000255 00033880 00030636 00002556 000324479 000306756 000025566 0001772399 0001533969 0000255663 00023843099 00020453056 00002556634 000339004399 000306796116 000025566346 0003220828399 0003067961556 0000255663466 00015286684399 00010226538644 00002556634662 000506014575599 000460194239241 000025566346629 00045820336358910 0004090615460704 0000255663466298 开方计算已到第15位小数,得0.000255663466298,停止开方计算。然后在第15位小数上加1,得0.000255663466299。有下面不等式成立。 S[12]<0.000255663466299 3×212×s[12]=s[12]×3×212 <0.000255663466299×3×212 =0.000255663466299×12288 0002045307730392 0020453077303920 0051132693259800 0511326932598000 +2556634662990000 3141592673882112 ∴3×212×s[12]<3.141592673882112 3×212×m[12] =3×212× (2×s[12]÷D[13]) = 2×(3×212× s[12])÷D[13] <2×3.141592673882112÷D[13] =6.283185347764224÷D[13] <6.283185347764224÷1.999999983659047 6283185347764224 商 -5999999950977141 3 2831853967870830 -1999999983659047 1 8318539842117830 -7999999934636188 4 3185399074816420 -1999999983659047 1 11853990911573730 -9999999918295235 5 18539909932784950 -17999999852931423 9 5399100798535270 -3999999967318094 2 13991008312171760 -11999999901954282 6 19910084102174780 -17999999852931423 9 19100842492433570 -17999999852931423 9 11008426395021470 -9999999918295235 5 10084264767262350 -9999999918295235 5 0842648489671150 0000000000000000 0 8426484896711500 -7999999934636188 4 4264849620753120 -3999999967318094 2 2648496534350260 -1999999983659047 1 除法计算已到第15位小数,停止除法计算。然后在第15位小数上加1。有下面不等式成立。 ∴ 3×212×m[12]<3.141592699550422 ∵Pi<3×212×m[12] ∴Pi<3.141592699550422 <3.1415927(盈数) 二:朒数的计算过程。 3×212×s[12] D[1]=3^0.5 D[i+1]=(2+D[i])^0.5,i是自然数。 s[12]=(2-D[12])^0.5 计算D[i],i=1,2,…12。 开方计算D[i]时,当得到第15位小数即停止。并在第十五位小数上加1。可得一组近似值。 开方竖式略。 D[1]=3^0.5 D[1]<1.732050807568878 D[2]=(2+D[1])^0.5 <(2+1.732050807568878)^0.5 <1.931851652578137 D[3]=(2+D[2])^0.5 <(2+1.931851652578137)^0.5 <1.982889722747621 D[4]=(2+D[3])^0.5 <(2+1.982889722747621)^0.5 <1.995717846477208 D[5]=(2+D[4])^0.5 <(2+1.995717846477208)^0.5 <1.998929174952732 D[6]=(2+D[5])^0.5 <(2+1.998929174952732)^0.5 <1.999732275819124 D[7]=(2+D[6])^0.5 <(2+1.999732275819124)^0.5 <1.999933067834803 D[8]=(2+D[7])^0.5 <(2+1.999933067834803)^0.5 <1.999983266888702 D[9]=(2+D[8])^0.5 <(2+1.999983266888702)^0.5 <1.999995816717801 D[10]=(2+D[9])^0.5 <(2+1.999995816717801)^0.5 <1.999998954179177 D[11]=(2+D[10])^0.5 <(2+1.999998954179177)^0.5 <1.999999738544778 D[12]=(2+D[11])^0.5 <(2+1.999999738544778)^0.5 <1.999999934636194 s[12]=(2-D[12])^0.5 >(2-1.999999934636194)^0.5 =0.000000065363806^0.5 >0.000255663462387 (开方计算已到第 15位小数,停止开方计算。) 3×212×s[12] >0.000255663462387×(3×212)=0.000255663462387×12288 =3.141592625811456 ∵Pi >3×212×s[12] ∴Pi>3.141592625811456 >3.1415926(朒数) 以上就是当K= 12,y= 15时盈数、朒数的全部计算过程。 与上一篇文章一起,笔者证明了祖冲之的结论。证明过程涉及一点几何及近似计算知识,都属初等数学知识。再由于笔者所用方法和所得结果与史书一些记载资料相吻合,因此笔者认为,祖冲之的结论是其证明出来的,并且他把证明的方法藏在了结果里。 和上一篇一样,冒昧献丑,方法繁琐笨重,不得要领。欢迎批评指正。 这篇文章结束了。借此机会笔者要对文章《再现肭数和盈数》作一点补充。 结论:圆的周长介于其内接和外切正多边形之间。 证明: 圆心o,AB是内接 正多边形的一条边, CD是外切正多边形 的一条边。F是切点。 AE=BE,CF=DF AB∥CD 记扇形OAFB的面积为s,圆弧段AB的长度为t,圆的半径为R t>AB (两点间线段最短) s1=0.5×CD×OF =0.5×CD×R s=0.5×t×R s1>s ∴CD>t ∴ AB 证毕。 [1] 杨文兴.再现朒数和盈数[J].邯郸职业技术学院学报,2015,(2) [2] 华罗庚.从祖冲之的圆周率谈起[M].北京:科学出版社,2002 [3] 王海坤,葛丽.祖冲之是怎样计算圆周率的[J].数学通讯, 2013,(4) [4] 曲安京.祖冲之是怎样得到圆周率π=355/113的[J].自然辩证法通讯,2002,(3) [5] 王青建.祖冲之的影响与现代数学史教育[J]数学教育学报,2001,(5) [责任编校:张彩红] 更正声明 文章《再现朒数和盈数》(见《邯郸职业技术学院学报》2015第2期)近末尾处, 关于不同情况下圆周率的估计计算部分,结果不正确。正确的结果如下: K= 11 yx= 14时 C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 0 1 7 6 3 8 4 A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 7 6 4 5 8 6 8 4 K= 11 yx= 15时 C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 1 3 7 9 9 9 3 6 A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 7 2 8 4 9 6 9 7 6 K= 11 yx= 16时 C(pi)=3 1 4 1 5 9 2 6 1 9 2 0 9 7 2 8 0 A(pi)=3 1 4 1 5 9 2 7 2 2 4 8 3 8 4 1 3 K= 11 yx= 17时 C(pi)=3 1 4 1 5 9 2 6 1 9 3 2 9 9 0 4 6 4 A(pi)=3 1 4 1 5 9 2 7 2 2 0 6 3 2 8 4 2 9 K= 11 yx= 18时 C(pi)= 3 1 4 1 5 9 2 6 1 9 3 5 9 9 5 4 9 4 4 A(pi)= 3 1 4 1 5 9 2 7 2 2 0 3 9 1 9 9 7 8 4 *********************************** K= 12 yx= 14时 C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 4 8 1 5 8 7 2 0 A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 7 4 7 7 3 1 6 9 K= 12 yx= 15时 C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 2 5 8 1 1 4 5 6 A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 9 9 5 5 0 4 2 2 K= 12 yx= 16时 C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 4 2 6 3 9 8 7 2 0 A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 7 3 1 1 5 2 4 4 9 K= 12 yx= 17时 C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 4 4 8 0 3 2 9 7 2 8 A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 7 0 9 5 2 4 3 3 8 8 K= 12 yx= 18时 C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 4 5 0 1 9 6 8 8 9 6 0 A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 7 0 7 1 2 0 3 1 4 4 0 杨文兴 2015-12-12 杨文兴,男,河北邢台人,邯郸职业技术学院副教授。 O112 A 1009-5462(2015)04-0035-11