给定距离数的有限点集直径图的研究

魏祥林，丛 悦，高飞星

(河北科技大学理学院，河北石家庄 050018)

给定一平面点集X，如果X中的任意两点确定的互异距离数为k，则称X为k距离集。用d(x，y)表示平面上互异两点x，y之间的距离，记X中的最大距离为直径D。令XD={x，y∈X:d(x，y)=D}。用m=m(X)=|XD|表示XD中的元素个数。文献［1］引入了直径图DG(XD)的概念，直径图DG(XD)是由X中所有直径构成的图。d(v)表示直径图DG(XD)中与v关联的边数，称之为v的度。Pn表示由n个顶点构成的一条路，Cn表示由n个顶点构成的一个圈。当有n个点时，加法运算在模n的条件下进行。定义Rn为正n边形顶点所构成的集合，R+n为正n边形顶点和中心所组成的集合，Rn－i表示正n边形中n－i个顶点组成的集合。ERDOS和FISHBURN在文献［2］中讨论了确定k距离的最大点集，记最大点集所含点数为g(k)，并给出g(1)=3，g(2)=5，g(3)=7，g(4)=9，g(5)=12，对最大5距离集给出了详细的讨论，提出两大猜想:g(6)=13且这样的十三点集只有3个;确定了g(k)(k≥7)的最大点集只能在三角形格点上。文献［3］论证了3距离集的构造。SHINOHARA在文献［1］中论证了12点5距离集的构造唯一性。文献［4］—文献［8］中给出的11点5距离集的构造，7点4距离集的构造，证明了最大6距离集为13点集的猜想，即g(6)=13。文献［8］对直径图为圈C2k－3的k距离集进行了分析，相关的研究见文献［9］—文献［14］。本文通过对直径图中d(v)的分析，给出了m=12时一类特殊的7距离集直径图，这是研究最大7距离集的基础。

1 预备知识

引理1［2］设D为平面n点集X的直径，其中n≥3，m=|XD|，

1)如果m≥3，那么XD的点是凸m边形的顶点;

2)如果XD中减少的点数超过，那么直径D不存在。

引理2［1］在X中，设直径图G=DG(XD)。则有:

1)当k≥2时，G中不包含C2k，即G中只能包含奇圈。

2)G中最多只能包含一个圈。

引理3［5］如果d(v)=k≥2，v∈XD，那么v所对应的k条直径的端点是相继的。

引理4［5-6］平面点集X，m=|XD|，设XD={1，2，3，…，m}，m个点逆时针顺序连续排列，S是XD中的一个子集，S={k，k+1，k+2，…，k+l－1}。如果线段［k，k+l－1］是S中的最长线段，d(k，k+i)＜d(k，k+l－1)，i=1，2，3，…，l－2，那么d(k，k+1)＜d(k，k+2)＜d(k，k+3)＜…＜d(k，k+l－1)≤D。

引理5［15］设X是含有s个距离的凸n边形顶点集，其中D=d1＞d2＞…＞ds。如果凸n边形有一条边的长度为D，那么必有s≥n－2。

引理6［2］同一个图中任意2条直径相交或者有一端点相同。

2 k距离集直径图

定理1 设X是k距离集，且m=|XD|=2k－1，那么对于任意v∈XD，d(v)≤2。

证明 设X的k个距离为D=d1＞d2＞…＞dk，根据引理1可得XD是一个凸的2k－1边形的顶点集。设XD={1，2，3，…，2k－1}，2k－1个点按逆时针顺序依次排列。对于任意i∈XD，若d(i，j)=D，j={i+1，i+2，…，i+k－3}，根据引理5，此时X的互异距离数大于k，于是d(i)≤4，i∈XD。由于XD上所有2k－1个点没有本质上的区别，讨论情形一样，不失一般性，下面讨论d(1)≤4的情况。

情形1:推证d(1)≠4。

若d(1)=4，由引理3 可知d(1，k－1)=d(1，k)=d(1，k+1)=d(1，k+2)=D。再根据引理 6，可知d(2，k+1)≠D。通过引理4得到D=d(1，k+1)＞d(2，k+1)＞d(3，k+1)＞…＞d(k，k+1)，共k个不同距离。并且d(k，k+1)=d(k－1，k)=d(k－2，k－1)=…=d(1，2)=dk，d(k－1，k+1)=d(k－2，k)=d(k－3，k－1)=…=d(1，3)=dk－1。由此推得 1，2，3，…，k+1 在同一个圆上。显然与d(1，k－1)=d(1，k)=d(1，k+1)矛盾。

情形2:推证d(1)≠3。

若d(1)=3，令d(1，k)=d(1，k+1)=d(1，k+2)=D。如果d(3，k+2)≠D，则d(3，k+3)=D，根据定理4 可得D=d(3，k+3)＞d(4，k+3)＞d(5，k+3)＞…＞d(k+2，k+3)=dk，因此3，4，5，…，k+2，k+3 在同一个圆上，推出d(1，k+3)=D，矛盾。所以d(3，k+2)=D。根据引理3，可以得到d(2，k+2)=D，再由引理4得出d(k+1，k+2)≤dk－1，d(1，2)≤dk－1。若d(k+1，k+2)=dk－1，则d(k，k+2)=dk－2。因为d(2，k+1)＜d1，所以d(k，k+1)=dk，d(k－1，k+1)=dk－1，d(k－2，k+1)=dk－2=d(k，k+2)，d(k－2，k)=dk－1，于是∠(k－2)k(k+1)=∠(k+2)k+1(k)，∠(k－2)k(k+1)=∠(k+2)k+1(k)。得到Δ(k－2)k(k+1)≅Δ(k+2)k(k+1)。从而k－2，k，k+1，k+2共圆，得到d(1，k－2)=d(1，k)=d(1，k+1)=d(1，k+2)=D，和已知矛盾，故d(k+1，k+2)=dk。假设d(1，2)=dk－1，由引理4可得d(1，3)=dk－2=d(2，5)，d(1，2)=d(3，5)=dk－1，Δ123≅Δ532。于是1，2，3，5 共圆，从而d(1，k+2)=d(2，k+2)=d(3，k+2)=d(5，k+2)=D，矛盾。故d(1，2)=dk。d(k，k+2)=d(k－1，k+1)=dk－1，d(k+1，k+2)=d(k－1，k)=dk，则k－1，k，k+1，k+2 共圆，与已知矛盾。类似地，d(1，3)=d(2，4)=dk－1，d(1，2)=d(3，4)=dk，1，2，3，4 共圆，矛盾。

3 m=12的7距离集

定理2 设X是7距离集，并且m=|XD|=12，DG(XD)=P10∪P2。则XD=R15－3。

证明 设X的7个距离为D=d1＞d2＞d3＞d4＞d5＞d6＞d7，且DG(XD)=P10∪P2。如图1所示，令XD={1，2，3，…，12}，因为X是7距离集，由引理 4得到d7≤d(i，i+1)≤d6，i∈XD。通过引理3，不妨令D=d(1，7)=d(2，8)=d(3，8)=d(3，9)=d(4，9)=d(4，10)=d(5，10)=d(5，11)=d(6，11)=d(6，12)。

图1 直径图P10∪P2Fig.1 Diameter graph P10∪P2

情形1:推证d(2，3)=d(11，12)=d7。

下面证明d(2，3)=d7，(d(11，12)=d7的证明类似)。

用反证法证明，假设d(2，3)=d6，推出矛盾，则结论正确。

根据引理4得到d6=d(2，3)＜d(2，4)＜d(2，5)＜d(2，6)＜d(2，7)＜d(2，8)=D，d6=d(3，2)＜d(3，1)＜d(3，12)＜d(3，11)＜d(3，10)＜d(3，9)=D，d5=d(1，3)＜d(1，4)＜d(1，5)＜d(1，6)＜d(1，7)=D，d5=d(4，2)＜d(4，1)＜d(4，12)＜d(4，11)＜d(4，10)=D。

如果d(9，10)=d6，由引理4得，d6=d(9，10)＜d(9，11)＜d(9，12)＜d(9，1)＜d(9，2)＜d(9，3)=D，d4=d(9，12)＜d(8，12)＜d(7，12)＜d(6，12)=D。因为d(2，3)=d(9，10)，d(2，9)=d(3，10)=d2，可以得到点2，3，9，10;1，3，9，11;1，5，8，12;2，4，9，11;2，5，9，12;1，2，6，9;1，2，7，8;2，6，8，12;1，4，9，12 分别共圆。若d(3，4)=d6，则d(3，4)=d(9，10)=d6，3，4，9，10 共圆，因此 1，2，…，12 共圆。此时得到的是一个不含有d7距离的集合，矛盾。如果d(3，4)=d7，∠398=∠389，由于d6=d(2，3)＞d(3，4)=d7，因此∠283＞∠394，从而∠289=∠389－∠283＜∠398－∠394=∠498。d(9，10)=d6，通过引理4得到d(2，9)=d2。在△289和△489中，显然d(4，8)＞d(2，9)=d2，且d(4，8)≠D，矛盾。所以d(9，10)=d7。

假设d(8，9)=d6，由引理4得，d6=d(8，9)＜d(8，10)＜d(8，11)＜d(8，12)＜d(8，1)＜d(8，2)=D，d3=d(8，12)＜d(12，7)＜d(12，6)=D，可以得到点2，3，8，9;1，3，8，10;3，8，11，12;1，2，7，8;2，4，8，10;2，5，8，11;2，6，8，12分别共圆。若d(3，4)=d6，则3，4，8，9共圆，于是所有点共圆，其中3，4，9，10 共圆，d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。当d(3，4)=d7时，∠439= ∠349。由于d6=d(8，9)＞d(9，10)=d7，所以∠839＞∠94*(* 表示点10)。∠34*=∠349－∠94* ＞∠439－∠839=∠438，在△34* 和△348 中，d(3，10)＞d(4，8)。类似地，∠289＜∠498，d(2，9)＜d(4，8)。通过引理4，d(2，9)≥d3，可得d(4，8)=d2。而d(3，10)≠D，显然与d(3，10)＞d(4，8)矛盾，所以d(8，9)=d7。

如果d(10，11)=d6，根据引理4可得d6=d(10，11)＜d(10，12)＜d(10，1)＜d(10，2)＜d(10，3)＜d(10，4)=D，d5=d(10，12)＜d(12，9)＜d(12，8)＜d(12，7)＜d(12，6)=D，于是点2，3，10，11;1，3，10，12;1，4，9，12分别共圆。若d(3，4)=d6，则点3，4，10，11;2，4，10，12分别共圆。因此3，4，9，10共圆。即d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。若d(3，4)=d7，∠398= ∠389，因为d6=d(2，3)＞d(3，4)=d7，所以∠283＞∠394，且∠289=∠389－∠283＜∠398－∠394=∠498。故d(10，11)=d6，通过引理4可得，d(2，9)=d2。在△289和△489中，显然d(4，8)＞d(2，9)=d2，且d(4，8)≠D，矛盾。故d(10，11)=d7。

如果d(11，12)=d6，根据引理4可得d6=d(11，12)＜d(10，12)＜d(9，12)＜d(8，12)＜d(7，12)＜d(6，12)=D，d6=d(11，12)＜d(1，11)＜d(2，11)＜d(3，11)＜d(4，11)＜d(5，11)=D，于是 2，3，11，12;2，4，10，12;1，2，4，11分别共圆。若d(3，4)=d6，则点3，4，11，12;1，4，9，12分别共圆，从而3，4，9，10共圆，矛盾。若d(3，4)=d7，∠398=∠389，由于d6=d(2，3)＞d(3，4)=d7，使得∠283＞∠394，从而∠289=∠389－∠283＜∠398－∠394=∠498。并且d(11，12)=d6，再根据引理4得出d(2，9)=d2，在△289和△489中，d(4，8)＞d(2，9)=d2，明显与d(4，8)≠D矛盾。所以d(11，12)=d7。

若d(1，12)=d6，根据引理4得d6=d(1，12)＜d(1，11)＜d(1，10)＜d(1，9)＜d(1，8)＜d(1，7)=D，d6=d(1，12)＜d(2，12)＜d(3，12)＜d(4，12)＜d(5，12)＜d(6，12)=D，那么点 1，2，3，12;1，2，4，11;1，2，5，10分别共圆。如果d(3，4)=d6，易得点1，3，4，12;1，2，4，9;1，3，5，11 分别共圆，从而点3，4，9，10共圆。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7矛盾。如果d(3，4)=d7，∠398=∠389，由于d6=d(2，3)＞d(3，4)=d7，于是∠283＞∠394，从而∠289=∠389－∠283＜∠398－ ∠394=∠498。并且d(1，12)=d6，再根据引理4 得到d(2，9)=d2，在△289 和△489中，显然d(4，8)＞d(2，9)=d2，且d(4，8)≠D，矛盾。所以d(1，12)=d7。

若d(3，4)=d7，由于d6=d(2，3)＞d(3，4)=d7，所以∠283＞∠394，从而∠289=∠389－∠283＜∠398－∠394=∠498。根据引理 4得到d(2，9)≥d3，在△289和△489中，显然d(4，8)＞d(2，9)，且d(4，8)＜D，因此d(4，8)=d2＞d(2，9)≥d3，再根据引理 4，得到d(1，2)=d7。于是 1，2，3，4，5，8，9，10，11，12 在同一个圆上，即2，3，8，9 共圆。d6=d(2，3)=d(8，9)=d7，矛盾。因此d(3，4)=d6。

在△49*中(*表示点10)，如果d(3，4)＞d(4，5)，那么∠394＞∠4*5。得到∠39*＜∠5*9，因此d(5，9)＞d(3，10)，而根据引理4得到d(3，10)=d2，而d(5，9)≠D，矛盾。因此d(3，4)≤d(4，5)。由于d(i，i+1)≤d6，于是d(3，4)=d(4，5)=d6。同理，得到d(5，6)=d(4，5)=d6。

若d(1，2)=d6，通过引理 4，d6=d(1，2)＜d(2，12)＜d(2，11)＜d(2，10)＜d(2，9)＜d(2，8)，且d6=d(1，2)=d(2，3)=d(3，4)=d(4，5)=d(5，6)，因此1，2，3，4，5，6 在同一个圆上，并且2，3，6，11;2，3，5，12 共圆，所以5，6，11，12 共圆，d6=d(5，6)=d(11，12)=d7，矛盾，因此d(1，2)=d7。

如果d(6，7)=d6，1，2，3，4，5，6，7 共圆，即1，2，6，7共圆，d6=d(6，7)=d(1，2)=d7，矛盾，所以d(6，7)=d7。

当d(7，8)=d6时，点1，2，3，4，5，6，7在同一个圆上，且1，3，7，9;1，4，7，10分别共圆，从而3，4，9，10共圆。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。当d(7，8)=d7时，同样得到 3，4，9，10 共圆，即d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。由上述讨论可知d(7，8)=d6及d(7，8)=d7均不成立，因此假设d(2，3)=d6不成立。故d(2，3)=d7。

情形 2:推证d(3，4)=d(10，11)=d7。

下面证明d(3，4)=d7，(d(10，11)=d7的证明类似)。

已知d(2，3)=d(11，12)=d7。假设d(3，4)=d6，通过引理 4，d6=d(3，4)＜d(2，4)＜d(1，4)＜d(12，4)＜d(11，4)＜d(10，4)=D。

如果d(10，11)=d6，显然1，4，10，11 共圆。如果d(9，10)=d6，那么3，4，9，10;2，4，10，12;2，4，9，11分别共圆，即2，3，4，9，10，11，12在同一个圆上。因此9，10，11，12共圆，d6=d(9，10)=d(11，12)=d7，矛盾。如果d(9，10)=d7，因为d(10，11)＞d(9，10)，所以∠＊5a＞ ∠94* ，(其中* 表示点10，a表示点11)，那么∠45a＜∠549，d(4，11)＜d(5，9)，通过引理4得d(4，11)=d2。而d(5，9)≠D，矛盾。因此d(10，11)=d7。

如果d(9，10)=d6，那么3，4，9，10共圆。如果d(4，5)=d6，那么4，5，9，10;3，5，9，11分别共圆，即4，5，10，11 共圆。d6=d(4，5)=d(10，11)=d7，矛盾。如果d(4，5)=d7，那么4，5，10，11;4，5，11，12;5，6，10，12分别共圆。得到5，6，10，11共圆，d(5，6)=d(10，11)=d7。于是2，3，4，5;2，3，5，6共圆，那么 4，5，9，10 共圆。d6=d(9，10)=d(4，5)=d7，矛盾。所以d(9，10)=d7。

如果d(8，9)=d6，那么3，4，8，9共圆。当d(4，5)=d6时，3，5，8，10;3，5，9，10、3，4，8，9分别共圆，3，4，5，8，9，10 共圆，即3，4，9，10 共圆。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。如果d(4，5)=d7，易得4，5，6，9，10，11，12共圆。因为5，6，10，11共圆，d(5，6)=d(10，11)=d7，所以2，3，4，5;2，3，5，6 共圆。得到3，4，9，10 共圆。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。故d(8，9)=d7。

如果d(4，5)=d7，那么d(3，4)＞d(4，5)，从而∠394＞ ∠4*5，因此∠39*＜∠5*9，于是d(3，10)＜d(5，9)，d(3，10)=d3。再根据引理 4，d(1，2)=d(1，12)=d7，那么1，2，3，4，5，9，10，11，12 共圆，即3，4，9，10 共圆。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。所以d(4，5)=d6。

如果d(5，6)=d7，那么d(4，5)＞d(5，6)，从而∠4*5＞∠5a6，得到∠4*a＜∠6a* ，于是d(4，11)＜d(5，10)。再根据引理 4，d(4，11)=d2，d(5，10)≠D，矛盾。所以d(5，6)=d6。

如果d(1，2)=d6，那么1，2，3，4;3，4，5，6;2，3，8，9;2，3，9，10;2，3，10，11;2，3，11，12分别共圆，从而2，3，8，9，10，11，12共圆。且1，2，4，6;3，5，9，10分别共圆，那么3，4，9，10共圆。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。因此d(1，2)=d7。

如果d(1，12)=d6，同理可得1，2，3，4，5，6，8，9，10，11，12在同一个圆上，即3，4，9，10共圆。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。所以d(1，12)=d7。

如果d(6，7)=d6，那么2，3，4，5，6，7 共圆，从而2，3，6，7 共圆。d7=d(2，3)=d(6，7)=d6，矛盾。所以d(6，7)=d7。

当d(7，8)=d6时，易得1，2，3，4，5，6，7共圆。且1，6，7，12;3，5，9，10;4，6，10，11;5，6，10，12;4，5，9，11;3，4，8，10 分别共圆，即 3，4，9，10 共圆。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。当d(7，8)=d7，那么1，2，3，4，5，6，7共圆。并且1，2，7，8;2，3，8，9;3，5，9，10分别共圆，从而得到3，4，9，10 共圆。d6=d(3，4)=d(9，10)=d7，矛盾。于是d(3，4)=d7。

情形 3:推证d(4，5)=d(9，10)=d7。

下面证明d(4，5)=d7，(d(9，10)=d7的证明类似)。

已知d(3，4)=d(10，11)=d7，d(2，3)=d(11，12)=d7。首先假设d(4，5)=d6，根据引理 4，d6=d(4，5)＜d(3，5)＜d(2，5)＜d(1，5)＜d(12，5)＜d(11，5)=D。

如果d(9，10)=d6，那么4，5，9，10;3，5，9，11 分别共圆。如果d(5，6)=d6，那么4，5，6，11;4，6，9，10 分别共圆，所以3，4，5，6，9，10，11共圆，从而3，4，9，10共圆。d6=d(9，10)=d(3，4)=d7，矛盾。如果d(5，6)=d7，那么d(4，5)＞d(5，6)，得到∠4*5＞ ∠5a6，因此∠4*a＜∠6a* ，于是d(4，11)＜d(6，10)，所以d(4，11)=d3。再根据引理4，得到d(1，2)=d(1，12)=d7，1，2，3，4，5，6，12 共圆。d(5，6)=d(11，12)=d(10，11)=d7，所以5，6，10，11，12共圆。又4，5，9，10共圆，得到3，4，9，10共圆。d6=d(9，10)=d(3，4)=d7，矛盾。所以d(9，10)=d7。

如果d(1，2)=d6，那么2，3，9，10;2，3，10，11;2，3，11，12;3，4，11，12分别共圆。因此2，3，4，9，10，11，12共圆。又因为2，3，5，12共圆，于是4，5，10，11共圆。d6=d(4，5)=d(10，11)=d7，矛盾。因此d(1，2)=d7。

如果d(1，12)=d6，同理2，3，4，9，10，11，12共圆。并且2，3，5，12共圆，从而4，5，10，11共圆。d6=d(4，5)=d(10，11)=d7，矛盾。因此d(1，12)=d7。

如果d(5，6)=d7，那么1，2，3，4，5，10，11，12共圆。并且5，6，10，11，12共圆，从而4，5，10，11共圆。d6=d(4，5)=d(10，11)=d7，矛盾。所以d(5，6)=d6。

当d(6，7)=d7时，显然1，2，3，4，6，7，12共圆，又2，3，4，9，10共圆，并且5，6，10，12共圆，所以4，5，9，10 共圆。d6=d(4，5)=d(9，10)=d7，矛盾。当d(6，7)=d6时，已知d(4，5)=d(5，6)=d(6，7)=d6。并且d(11，12)=d(10，11)，那么∠b6a=∠＊5a(b表示点12)，因此△45＊≅△56a。因为∠b67＜56a，所以∠456＞∠567。于是d(4，6)＞d(5，7)。再根据引理 4，得到d(4，6)≤d5，d(5，7)＞d6。即d5≥d(4，6)＞d(5，7)＞d6，矛盾。因此d(4，5)=d7。

情形 4:推证d(5，6)=d(8，9)=d7。

下面证明d(5，6)=d7，(d(8，9)=d7的证明类似)。

已知d(2，3)=d(3，4)=d(4，5)=d(9，10)=d(10，11)=d(11，12)=d7。若d(5，6)=d6，那么得到3，4，5，9，10，11在同一个圆上。已知d6=d(5，6)＞d(4，5)=d7，那么∠5a6＞4*5。∠＊ab=∠5a*+∠6ab－∠5a6，∠9*a=∠4*9+∠5*a－∠4*5，所以∠＊ab＜∠9*a，于是d(9，11)＞d(10，12)。再根据引理4，得到d(9，11)≤d5，d(10，12)≥d6。因此d(9，11)=d5，d(10，12)=d6。于是4，6，9，11 共圆。即5，6，10，11 共圆。d6=d(5，6)=d(10，11)=d7，矛盾。因此d(5，6)=d7。

通过上面的方法得到d(2，3)=d(3，4)=d(4，5)=d(5，6)=d(8，9)=d(9，10)=d(10，11)=d(11，12)=d7。即点2，3，4，5，6，8，9，10，11，12在同一个圆上。

情形5:讨论d(1，2)、d(1，12)、d(6，7)、d(7，8)的情况。

假设d(6，7)=d7。∠567=∠56a+∠76b－∠a6b(a表示点11，b表示点12)，∠＊ab=∠5a*+∠6ab－∠5a6。其中∠5a6=∠a6b，∠56a=∠5a*，∠76b＜∠6ab，因此∠567＜∠＊ab。可以得到d5≥d(10，12)＞d(5，7)≥d6。据引理4，1，2，7，8共圆，1，2，6，9共圆，即所有点共圆。得到d5=d(10，12)=d(5，7)=d6，矛盾。因此d(6，7)=d6。同理d(7，8)=d6。

如果d(1，2)=d6，根据引理4，那么d(2，12)=d(5，7)=d5，d(2，7)=d(5，12)=d2，从而2，5，7，12 共圆。因为d(1，2)=d(6，7)=d6，那么d(1，6)=d(2，7)=d2，得到1，2，6，7 共圆。且已知点2，3，4，5，6，8，9，10，11，12共圆，因此得到全部的点都在一个圆上。当d(1，12)=d6时，已知1，5，6，12共圆。得到d6=d(1，12)=d(5，6)=d7，矛盾。因此d(1，12)=d7，此时得到XD=R15－3，如图 1 所示。如果d(1，2)=d7，同理得到d(1，12)=d6，此时同样得到XD=R15－3，如图1所示。

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