从近年的高考试题谈数学选择题考查动向

刘瑞美

1近年考查动向

从近几年的数学高考题中可以看出，用直接法解答的试题比例不断地增加，经统计大约占70%～80%，另有20%左右的选择题可以用画图、取特殊值、代入验证、估算、特征分析、反面排除等特殊方法来巧妙解答.充分利用题干和选择支所提供的信息作出判断，是解答选择题的基本策略，并且要注意以下几点：

（1）全面审题，不但要审清题干给出的条件，还要考查4个选项所提供的信息；

（2）通过审题对可能存在的各种解法进行比较，包括其思维的难易度、运算量的大小等，初步确定解题的切入点；

（3）要对解题所用时间进行监控，善于根据题目情况对解题方法进行调整.

从近几年的高考数学试题来看，选择题基本稳定在10～12道，分值大约为50～60分左右，占总分的30%～40%，对数学知识的考查，注重学科的内在联系和知识的综合性；对数学思想和方法的考查，注重与数学知识考查相结合；对数学能力的考查，注重创新意识，主要采用设计比较新颖的问题，构造有一定深度和广度的数学问题来实现.

分散“压轴”已经成为好多省、市接受并采纳的高考数学命题策略，因此选择题中的最后1～2道题往往难度较大.在这个位置的题目往往注重多个知识点的小型综合，渗透多种数学思想和方法.因此，考生能否在选择题上获得高分，对高考成绩有着举足轻重的影响.

2典例剖析

2.1直接求解策略

这是选择题最基本、最常用的方法.但必须注意的是：（1）切忌一拿到题目，不分条件和要求，一味埋头演算；（2）注重等价转化，灵活运用技巧；（3）在考试时，要优先考虑用特殊方法求解，然后再考虑用直接法求解.

例1（江西理5题）设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）.

A.4B.-14C.2D-12.

分析本题的关键是要理解函数在某点处导数的几何意义，正确运用导数的几何意义进行解题.

解因为曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，所以g′（1）=2，而f′（x）=g′（x）+2x，所以f′（1）=g′（1）+2=4，因而曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为4.故选A.

点评本题主要考查函数在某点处导数的几何意义，考查学生对复合函数知识的理解，考查学生的整体意识和等价转化意识.解答本题的关键是正确理解函数在某点处导数的几何意义.考生的难点是：不能灵活运用导数的几何意义，从而不能正确地求导转化.因而，在教学中要重视对数学定义的过程教学，使学生真正理解数学的本质，培养学生的应变能力.

例2（北京文14题）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k-1A，那么k是A的一个“孤立元”.给定S={1，2，3，4，5，6，7，8，}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.

分析本题主要考查考生运用集合知识解决问题的能力以及阅读理解能力，首先应弄清楚什么是孤立元，这是解决问题的关键.依题意可知，孤立元必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素.因此，符合题意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6个.故应填6.

点评这是一道关于信息迁移的创新型试题，意在考查集合的运算以及对新颖题的理解能力，这类试题的难度不大，但要求考生有较强的阅读理解能力和信息迁移能力等.解答本题的关键是对新定义的阅读理解，并借助于集合来解题.学生解题的困惑源自于对新定义的阅读理解不够准确.主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查考生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.

2.2逆推验证策略

适用于题干提供的信息较少或结论是一些具体数字的题型，可以从选择支的特殊值、特殊点、特殊位置等入手，逐一验证是否与题干要求相容.但必须注意：（1）这类问题大多能用直接法得到正确答案，但求解过程比较繁琐；（2）用逆推验证法解选择题，应与排除法相结合，值得注意的是“排除法”只能否定“错”，不能肯定“对”.

图1例3（福建文5题）如图1，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12.则该几何体的俯视图可以是（）.

分析1由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是12.，知其是立方体的一半，可知选C.

分析2当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是π4S=π×（12）2=π4，高为1，则体积是π4；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是V=12×1×1=12，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是V=14π×12×1=π4.故选C.

点评本题主要考查考生几何体三视图的有关知识，通过将三视图还原成空间几何体，考查学生的几何直观能力，将三视图与体积相结合，又考查考生综合应用知识的能力和空间想象能力.

例4（安徽理7题）若不等式组x≥0，

x+3y≥4，

3x+y≤4，所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面积相等的两部分，则k的值是（）.

A.73B.37C.43D.34

图2分析由条件易知平面区域为如图2所示△ABC，其中A（1，1），B（0，4），C（0，43），要使直线y=kx+43平分该区域，由平面几何知识可以知道直线y=kx+43必为△ABC一边上的中线且过点C，即当直线经过AB中点D（12，52）时，把三角形区域分成面积相等的两部分，将四组值分别代入验证，只有选项A符合条件，故选A.

点评本题主要考查线性规划、线段中点坐标，体现了数形结合与等价转化的意识，学生的困惑是计算比较复杂，容易出错，费时且速度慢，而采用逆推验证法，根据题中数值的特殊性，确定代入顺序，提高解题速度.

2.3特例验证策略

特例验证法适用于求不等式的解集、不等式的真假的判断、参数的范围、函数的解析式、数列的通项公式、前n项和公式、函数的图像和方程的曲线、动点的轨迹、定点、定值与最值等问题.

例5（全国理11题）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（）.

A.f（x）是偶函数B.f（x）是奇函数

C.f（x）=f（x+2）D.f（x+3）是奇函数

分析本题是一道与抽象函数有关的函数奇偶性问题，而结论又是确定的.因而，可以取特例验证.为此我们取特殊函数f（x）=sin2πx，则f（x±1）=sin2πx都是奇函数，故排除A，C；再取f（x）=cosπ2x，则f（x±1）=sinπ2x都是奇函数，故又可排除B，故选D.

点评本题是一道关于函数奇偶性的问题，主要考查函数奇偶性概念的应用，用直接法需要有很强的推理运算能力.本题考虑到函数的特殊性，采用特例验证法，清晰、快捷地得到正确答案.这里采用“特殊函数法”求解，运算简便，干净利落，直达目标，一气呵成，显得简捷明快，清新自如，令人赏心悦目.一般情况下，若遇到陌生试题或难题，往往要用特殊函数、特殊位置、特殊值和特殊图形来帮助解决，会起到事半功倍的奇效.

例6（四川理12题）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f（f（52））的值是（）.

A.0B.12C.1D.52

分析本题是一道与抽象函数的函数值有关的问题.主要考查函数的奇偶性、周期性，而结论都是确定的，因而，可取特例验证.为此我们由条件得：当x≠0，x≠-1时，f（x+1）x+1=f（x）x，不妨设f（x）x=g（x），则g（x+1）=g（x），因为f（x）是偶函数，所以g（x）为奇函数，也是周期为1的周期函数，故可构造一个特例，令g（x）=sin2πx，从而f（x）=xsin2πx（x∈R）就是符合题目条件的一个函数，从而f（f（52））=f（0）=0，故选A.

点评若采用直接求法要先求出f（0），再求出f（12），从而求出f（52）与f（f（52）），运算起来将非常麻烦，但由于该题是一道选择题，故可构造符合题目条件的一个特例，从而快速求出答案.用特例验证法进行探求，是解答本类选择题的最佳策略，近几年高考选择题中可用或结合特例解答的约占30%.

2.4筛选策略

筛选法适用于定性型或不易直接求解的选择题.

例7（福建文11题）若函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（）.

A.f（x）=4x-1B.f（x）=（x-1）2

C.f（x）=ex-1D.f（x）=lnx-12

分析本题可分别求出四个选项中函数的零点，再估算出函数g（x）零点存在的范围，结合条件确定符合条件的选项，从而得出要选的结果.由题可知：f（x）=4x-1的零点为x=14，f（x）=（x-1）2的零点为x=1，f（x）=ex-1的零点为x=0，f（x）=lnx-12的零点为x=32.现在我们来估算g（x）=4x+2x-2的零点，因为g（0）=-1，g（12）=1，所以g（x）的零点x∈（0，12），又函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，利用筛选法，只有f（x）=4x-1的零点适合，故选A.

点评本题单刀直入，直接考查函数零点的概念以及零点存在定理的应用，已知条件简洁明了，但题目的背景比较新颖，当我们拿到题目时就一目了然，为考生创造了良好的环境，同时又给考生带来愉快的心境.此题位居第十一小题，一改过去的在选择题中的压轴题的态势，为考生正确解答后面的问题做了一个铺垫，起到了一个承上启下和稳定考生情绪的作用，为考生获取高分奠定了一个坚实的物质基础，同时也为我们以后的教学指明了方向.

2.5数形结合策略

数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，但必须注意的是要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见的代数特征，比如，（1）集合的运算及韦恩图；（2）常用函数及其图像；（3）数列的通项及求和公式的函数特征及函数图像；（4）方程（指二元方程）及方程的曲线等.以形助数的方法有：借助数轴；借助函数图像；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形的方法有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结论.

例8（辽宁理12题）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，x1+x2=（）.

A.52B.3C.72D.4

图3分析本题是考查两方程根的问题，实际上方程的根可转化为函数图像的交点问题，因而将条件整理得2x+2x=5和2x+2log2（x-1）=5，可得2x-1=-x+52和log2（x-1）=-x+52，因此可以看出此题的几何意义如图3所示，直线y=-x+52与y=2x-1和y=log2（x-1）相交于A，B两点，横坐标分别为x1，x2，并且由y=2x和y=log2x互为反函数易知，y=2x-1和y=log2（x-1）关于y=x-1对称，又直线y=x-1和y=-x+52互相垂直，垂足为P，则A，B两点关于直线y=x-1对称，联立y=x-1和y=-x+52，解得xP=x1+x22=74，故而x1+x2=72.故选C.

点评本解法将方程的解转化成具有特殊关系函数图像的交点的横坐标，利用反函数图像性质及图像平移、对称点的坐标之间的关系，把抽象的函数转化成为直观的形来处理，充分体现了数形结合解题的魅力.

例9（安徽理10）在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|=|b|=1，a·b=0，点Q满足OQ=2（a+b），曲线C={P|OP=acosθ+bsinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0

A.1

C.r≤1

2.6估算策略

估算法主要适用于那些运算起来十分繁琐，而且也没有必要进行复杂的运算，只要经过简单的估算就可以得出正确答案的选择题.

例10（安徽理6题）设a

分析本题涉及到函数图像问题，若采用直接画图像的办法来确定正确答案的话，将十分麻烦，因而我们可以采用估算的办法来解题.实际上当x→∞时，y→∞，排除选项A，B，在x

图5例11（安徽理10题）函数f（x）=axm1-xn在区间0，1上的图像如图5所示，则m，n的值可能是（）.

A.m=1，n=1B.m=1，n=2

C.m=2，n=1D.m=3，n=1

分析若取n=1，则由图可知，f（x）=xm1-x=[x（1-x）]xm-1≤14·xm-1<12，xm-1<2，由x∈[0，1]得m<1，排除A，C，D选项.故选B.

点评以上两例主要考查函数图像及函数的有关性质问题和考查学生估算能力.利用估算，可以省去好多推导过程和比较复杂的运算和函数图像的画法.估算法应用广泛，它是人们发现、研究和解决问题的一种重要的运算方法和手段，这种方法运用得好坏，将直接影响到解题的速度和效率.

总之，解答选择题既要意识到各类常规题的解题思路可以指导选择题的解答，更应充分挖掘题目的“个性”，充分利用选择支的暗示作用，寻求简便解法，这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间.值得一提的是，在很多情况下，解一道选择题需要综合运用多种方法.