一道“超难”高考数学题的因由分析及命题的改进建议

李广修

全面的多角度的分析高考数学试题中的“超级难题”的因由，探讨如何进一步科学、规范命题，进而促进中学数学教学更加合理、有效，是一件很有意义的事情.本文以江苏省2014年高考数学附加题的压轴题（以下简称苏题）为例，试图作出一些分析和讨论，以期抛砖引玉.

1“超级难题”的因由分析

苏题已知函数f0（x）=sinxx（x>0），设fn（x）为fn-1（x）的导数，n∈N*.

（1）求2f1π2+π2f2π2的值；

（2）证明：对任意的n∈N*，等式nfn-1π4+π4fnπ4=22成立.

该题旨在考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.该题满分10分，但省均分不足2分；几十万考生，少见能够做出第二小题的；数学教师中的解题高手，也大都做不出来第二小题.那么，第二小题缘何成为“超级难题”？

1.1情景较为陌生

苏题通过数列记号、导数、三角函数来表征函数列.函数列{fn（x）}在本质上属于二元函数，其自变量为x和n，绝大多数考生对于二元函数的认知几乎是一张白纸，一下子让他们懂得其意义，是不现实的.对于用符号与变元表征的对象，从感知到理解，再到运用，需要一定过程.再者，考生对证明函数恒等式这样的命题结构也不甚习惯.还有，因为要证明的等式nfn-1π4+π4fnπ4=22是用具体值包装的，把本质性的一般化关系给掩盖住了，考生需要先去证明一个加强的命题，进而再证明一个弱化的命题，这也增加了推理难度.有部分考生曾经做过：已知函数f（x）=sinx，记f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x）…，fn+1（x）=fn′（x），则fn（x）=，陌生感可能会小一些.

1.2探究函数列{fn（x）}的通项表达式比较困难

弄明白了符号表征的考生，按惯常的思路，先算出函数列{fn（x）}的前几项，通过归纳得出函数列通项表达式，再用数学归纳法证明，基本上都是无功而返.其原因有三：一是运算量大、运算要求高.求函数列{fn（x）}的前两项的运算较为简单，但求第三项、第四项的运算就很复杂了，要用到正弦函数、余弦函数、幂函数三种类型函数的导数，要用到和、积导数运算法则.使用归纳法，避不开算出前几项，只有准确无误地算出前几项，才有可能归纳出函数列{fn（x）}的通项表达式.有些学生可能需要算出第五项，才有可能发现函数列通项的端倪..二是很不容易概括函数列{fn（x）}的通项的表达式.函数列的前四项依次为：f1（x）=-x-2sinx+x-1cosx，f2（x）=2x-3sinx-2x-2cosx-x-1sinx，f3（x）=-6x-4sinx+6x-3cosx+3x-2sinx-x-1cosx，f4（x）=24x-5sinx-24x-4cosx-12x-3sinx+4x-2cosx+x-1sinx，要想概括出函数列{fn（x）}的通项的表达式，需要综合地分析、评判出函数列{fn（x）}的前四项中的三角函数、幂函数、排列数、正负号的组织结构；需要作出合适变形，以形成统一性.能够正确地获得fn（x）的表达式（-1）-n[Annx-n-1sinx-AnnA11x-ncosx-AnnA22x-n+1sinx+…+AnnAnnx-1sin（x-nπ2）]，是着实不易的.三是考试时间不足.江苏省高考理科考生需要做附加题，要在30分钟时间内做四道解答题，其中选做题两道，必做题两道.选做的两道题是从平面几何、不等式、矩阵与几何变换、极坐标与参数方程（各一道题）这四道题中自主选取两道.尽管两道选做题很容易，但也要耗费一些时间.2014年江苏高考数学附加题必做题的第一题，考查排列与组合、离散型随机变量数学期望，需要缜密的分类、正确的运算求解，耗时也不少.对于绝大多数理科考生，做完前三题，剩余时间不多.对于第四题苏题，求函数列{fn（x）}的通项运算繁复，比如算函数列的第四项，需要算导数8次，合并同类项三次，能力极强的考生用此方法也难以在考试时限内完全解答出第二小题.

1.3考生缺少探寻函数列的递推关系的意识和能力

高考对于数列的考查，通常是考查求通项公式、前n项和、最大（小）项，证明数列的性质如单调性、等差、等比等.如果涉及递推数列，通常会给出递推关系.而解答苏题的最有效方法是通过寻求函数列{fn（x）}的递推关系来解决.求数列的递推关系，对学生来说是异常困难的.笔者曾经让学生解答“对于给定的大于2的正整数n，由1，2，3，…，n排成的数列满足：任意一项要么都大于它之前的所有项，要么都小于它之前的所有项，这样的数列有多少个？”，学生们找到递推关系用了很长时间.况且，对于递推数列的教学要求，2002年的《普通高中教学大纲》曾明确规定，“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，而新的《普通高中课程标准（实验）》则对递推数列没有提出明确的教学要求.从这种角度讲，考生缺少探寻数列的递推关系的意识和能力，是正常的.

1.4该题探寻函数列的递推关系最为技巧、有效的解法是命题组所给出的参考方法：由已知，得xf0（x）=sinx，等式两边分别对x求导，得f0（x）+xf′0（x）=cosx，即f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+π2），2f1（x）+xf2（x）=-sinx=sin（x+π），3f2（x）+xf3（x）=-cosx=sin（x+3π2），4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π）.下面用数学归纳法证明等式nfn-1（x）+xfn（x）=sin（x+nπ2），对所有的n∈N*都成立（下略）.由“f0（x）=sinxx（x>0）”，到“xf0（x）=sinx”，再到“对等式xf0（x）=sinx的两边分别对x求导”，不断地对新得到的等式分别对x求导，概括出函数列{fn（x）}的递推关系，确实是神来之笔.然而此法太偏，除极个别考生外根本不可能想到.苏教版普通高中数学教材中的阅读材料“算两次”，有从等式出发，等式两边分别对x求导的例子；2008年江苏高考数学附加题，所用的解法也是对含变量的等式两边分别求导，然后再赋值证明组合恒等式，但这两题都有所铺垫，都是直接的导数运算，部分学生还是可为之的.《普通高中课程标准（实验）》对于导数教学的要求是理解导数概念，体会导数的思想及其内涵，直接运用初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、简单的复合函数的导数公式，求函数的单调区间、最值、极值，求函数图象的切线，求函数的零点个数，求简单的实际问题的最值，证明简单的不等式等.这就是说，要求学生在导数方面仅是操作性理解、关系性理解，而将“f0（x）=sinxx（x>0）”变形成“xf0（x）=sinx”，通过积的导数运算，巧妙地导出f0（x）与f1（x）的递推关系，这是对导数运算法则的灵活应用，这便是迁移性理解了，考生是难以达到这样的水平的.

2命题改进的三点建议

由于高考事关社会稳定，事关考生前途，事关中学数学教学可持续发展，事关学生学习数学的方式，所以高考数学命题应该以考纲为依据，从中学生的学情出发，通过考题准确诠释高中数学课程标准，确保考查全面、区分度良好、稳妥渐进，绝不可轻易的拿考题作“试验田”.我们有如下三点建议：

2.1第一，不刻意设计中学从没有用过的方法.高考命题组设计出其解法是中学从没有用过的题目，或许目的是为了考查考生的应变能力、创新能力.但这样的愿望往往很难实现.因为考试限定了考试时间，所用的解决问题的知识必须是中学所学的，所用的解决问题的方法也必须是中学生能够理解的，这和创新的本质要求之一——用什么知识、用什么方法来解决问题是无法预判的，有着显著区别.一般地，考试只能考查出和创新能力密切相关的迁移能力、综合应用知识能力、突破思维定势的品质.如果高考命题一味地想设计出其解法是中学没有用过的试题，很容易剑走偏锋，命制出偏题、怪题来，使得题目越来越难.再者，考中学很少用过的方法，这样的方法必是“冷僻”的方法，而绝大多数非常优秀的考生也会和数学比较差的考生一样，在考试时想不到，这就会造成绝大多数数学优秀的考生的资质、投入与考试成绩非正相关，考试信度差，影响高考数学的公平公正.长此以往，给人感觉“难题反正做不出来，再努力也是白搭功夫，还不如集中精力做基础题、中档题”.现在许多老师确实受此影响，不是去想方设法促进学生跳一跳摘桃子，而是去反反复复训练基本题、中档题，不断地给学生灌输，在高考时看都不要看××题，对××大题只做第一小题，罔顾学生思维水平的发展、提高了.而且，考查考生的创新素养，不只可以通过考查考生从没有用过的方法，也可以通过其它调控手段，比如在理性思维的深广度，信息的捕捉与筛选，新颖设问的应对，不同领域知识的有机融合等方面去挖掘，去设计出新颖考试题.

2.2考查中学从没有用过的方法要适当的铺垫.

如果高考考查中学生没有用过的方法，就要增设铺垫.对于苏题，我们可以将第一小题的计算换成证明f0（x）+xf1（x）=sin（x+π2），其余不变.变动后，有三点益处，一是第一小题变得简捷，运算量也小了，自然也就提高了第一小题的得分率.并且，第一小题的证明方法至少有两种难易程度差不多的方法，一种是直接对f0（x）求导后代入，另一种是通过将“f0（x）=sinxx（x>0）”变形成“xf0（x）=sinx”，等式的两边分别对x求导；二是为第二小题的解决做出铺垫，由于有第一问的“脚手架”，有理由相信多数非常优秀的考生会从第一小题的结论，顿悟出直接从f0（x）+xf1（x）=cosx出发，等式两边分别对x求导；三是两个小题，前后呼应，更有整体性结构.当然，也可以将已知函数f（x）=sinxx（x>0）中的sinx换成ex，并对两个小题作相应的改动.这样的改动，运算会简单一些，归纳函数列{fn（x）}的通项的表达式要容易一些，且使得第2小题的证明方法会更多一些，既可以用归纳法，又可以用递推关系法.上述的两种变更，都没有改变考查的主要目的，但却提高了考试的信度、区分度.

23考题的表述应多一些平实.现在，高考试题中的数学文化题，数学应用题，数学信息迁移题（新定义题）量不在少数.这三种类型的试题，难免附着较大文字量，对它们的表述就需要命题者特别注意“阳春白雪”和“下里巴人”兼顾，既保证简练、准确、数学味浓，比如用符号、集合用语叙述，又要让考生容易理解题目的意思.比如，信息迁移题，对考查考生继续学习的潜能很适用，但是不可以用过多的符号、变元、术语干扰考生的数学阅读.我们知道，对于陌生的定义，要理解它，就要能顺利地认读、感知、分析、理解材料中的每个数学术语、图表和符号的含义，对问题的表征“用自己的语言来叙述出来”，并能根据数学原理分析它们之间的逻辑关系，最后达到对材料的本真理解，形成对问题的整体领会.倘若用过多的符号、变元、术语去包装题目，考生很难有时间去看懂它，领会它.所以，规范的、平实易懂的表述试题是必须的.另外，对于数学文化题，数学应用题，数学信息迁移题是以小题面目出现，还是以大题面目出现，对试题的表述的要求不尽相同.如果是大题，考查的目标就会多一些，就更应该把试题表述得浅近一些.不然的话，想考查的便无从考查出来.还有，从人文关怀角度出发，也要让考生能看懂试题，考生连试题都看不懂，将情何以堪？