应用构造法证明不等式竞赛题

卢学谦　石菁

不等式的证明，凭借其简单的知识基础、独特的解题构思、发散的证明方向、奇特的推理过程成为数学竞赛中永恒的热点之一.构造法，作为技巧性特别强的一种解题方法，主要通过构造适当的变量、等式、函数、图形、数列、模型等辅助手段，使问题转化，揭示出直观和本质的形式，从而有助于问题的解决.构造法与不等式证明的结合，往往能相得益彰，迸发出令人赞叹的思维火花.本文拟通过具体例子，分类阐述如何应用构造法证明不等式竞赛题.

1构造函数关系证明不等式

所以原不等式成立.

2构造图形证明不等式

数形结合是最重要的数学思想之一，也是解决数学问题的有效方法之一，不等式的证明也是如此.如果问题条件中的数量关系能以某种方式与几何图形建立关系或具有明显的几何意义，从而构造图形，将题设条件及数量关系直接在图形中得到实现，然后在所构造的图形中寻求所证的结论.

例3设实数x，y，z满足0sin2x+sin2y+sin2z.

分析因坐标平面里单位圆上的点的坐标可用三角函数来表示，这就启示我们能否构造单位圆来解决.

证明在直角坐标平面上以原点为圆心作单位圆.考虑第一象限，在单位圆上取点A1，A2，A3，使得∠A1Ox=x，∠A2Ox=y，∠A3Ox=z.

由Eξ2-（Eξ）2≥0得x21x1+x2+x22x2+x3+…+x2nxn+x1≥12.

从以上几例可以看出，构造法是证明不等式竞赛题的重要方法.当然运用构造法解题，必须对基础知识掌握得非常熟练，必须有丰富的联想和敢于创新的精神.不失时机地运用构造法，一定能激发学生的探索精神和培养学生的创新能力.

（作者简介见本刊2014年第11期）