改进的迟延相位差多信号频率估计应用*

余朋骏，阮怀林

(电子工程学院，安徽 合肥　230037)



改进的迟延相位差多信号频率估计应用*

余朋骏，阮怀林

(电子工程学院，安徽 合肥230037)

摘要：给出了一种多信号欠采样频率估计算法。该算法通过迟延相位差的允许误差求出频率大致取值区间，利用欠采样频谱结果求出多个信号的高精度频率估计值，并重点解决了当不同信号因欠采样出现谱峰重叠时测频不准确的难题。仿真表明，该算法具有良好的抗噪性能，且估计精度高。

关键词：欠采样；解模糊；相位差；谱峰重叠

0引言

欠采样频率估计技术是当前信号处理的研究热点，目前已有大量研究。文献[1]提出了利用延时和非延时通道的相位差与入射信号频率之间的关系对原信号进行频率估计的欠采样算法。但是该算法抗噪声性能差，估计精度不高。文献[2]对文献[1]提出的算法加以改进，将迟延相位差与欠采样频谱结果相结合，提高了估计精度，并对多信号频率估计的方法进行了简要分析。但是该文献对多信号频率估计的分析不够深入，并回避了当不同信号在欠采样频谱图中出现谱峰重叠时测频不准的情况。

本文给出一种新的迟延相位差结合快速傅里叶变换(fast Fourier transform,FFT)欠采样测频算法，重点分析了该算法对于多信号频率估计的可行性，提出了谱峰重叠时测频不准的解决方法。

1迟延相位差测频解模糊原理

基于欠采样延迟相位差测频法[3]的结构如图1所示。

图1　延迟欠采样接收机原理框图Fig.1　Block diagram for delayed sub-sampling receiver

输入信号分为2路进行欠采样处理，其中一路不延迟，而另一路则在延迟时间τ后开始采样，2路采样频率相同。此时得到的2路频谱图中谱峰位置相同，但是谱峰包含的相位信息却不同，由此可求解出原信号频率值。

信号频率与相位差的关系可表示为

θ=θd-θu=2πfτ，

(1)

(2)

式中：θu为非延迟路径信号的相位；θd为延迟路径信号的相位。它们由欠采样频谱图中谱峰位置km对应的频谱实部与虚部求出：

(3)

(4)

式中：Xru(km)与Xiu(km)分别为非延迟路径频谱的实部和虚部；Xrd(km)与Xid(km)分别为延迟路径的实部和虚部。

该方法计算过程与欠采样频率无关，仅由信号延迟前后的相位差求出原始频率。但是，只有当相位差满足θ=2πfτ<2π，即f<1/τ时，频率f与θ才能一一对应，不会存在模糊。所以该方法的最大可测信号频率为fmax=1/τ。理论上延迟时间越短，最大可测频率就越大。但考虑到实际噪声等因素，延迟时间越短，测量精度将越低。

2基于迟延相位差结合FFT的信号频率参数估计

由于噪声对频谱的相位影响较大，该算法在低信噪比的条件下并不能得到理想的估计精度。因此可以将迟延相位差与FFT相结合对入射信号进行高精度频率估计。

在欠采样通道中，频谱图将发生频率混叠的现象[4]，此时谱峰所对应频率值为混叠频率。

假设进入欠采样通道的信号频率为f，其取值范围为[fmin,fmax]。假设经过采样频率为fs的欠采样后，频谱图中谱峰所对应的频率值(即混叠频率)为fm。则待估计频率f与欠采样频率fs，混叠频率fm的关系[5]可表示为

f=kfs+fm，

(5)

式中：k为在[(fmin-fm)/fs,(fmax-fm)/fs]范围中的未知自然数。只有确定k值才能求得频率估计值。

由于频谱幅值对噪声的敏感性比相位对噪声的敏感性更弱[6]，混叠频率的估计精度依然很高。因此，只需通过迟延相位差测频法来确定待估计频率f的大致取值区间[nfs,(n+1)fs]，从而确定k值，就可得到精度较高的频率估计值。

该算法具体步骤如下：

(1) 信号s(t)=Aexp{j(2πft+φ)}+v(t)经功分器分配得到2路信号。一路进入采样频率为fs的欠采样通道，一路进入采样频率为fs，延迟时间为τ的延迟通道，得到

x1(n)=Aexp{j2πfn/fs+φ}+v(n)，

(6)

x2(n)=Aexp{j2πf(n/fs-τ)+φ}+v(n)

(7)

(2) 找到频谱图中的谱峰位置km，km对应的频率值为混叠频率fm。运用迟延相位差测频原理，通过延迟前后谱峰对应的相位差θ求得信号频率的大致估计值fg：

θ=2πfgτ，

(8)

(9)

(4) 令k1=n-1,k2=n,k3=n+1(若k1<0则舍弃k1)，则有

fi=kifs+fm,i=1,2,3,

(10)

将fi与fg相减，得到差值Ci：

(11)

式中：Ci中数值最小的所对应的fi即为最终频率估计值。

在步骤(3)中，将待估计频率的取值范围设为[(n-1)fs,(n+2)fs]而不是[nfs,(n+1)fs]，其原因是因为在噪声的干扰下，由迟延相位差测频法得到的估计频率大致值fg可能与实际值偏差较大，并非处于[kfs,(k+1)fs]的范围，而是处于[(k-1)fs,kfs]或[(k+1)fs,(k+2)fs]的范围里。因此需要将频率的大致取值区间扩大为[(n-1)fs,(n+2)fs]，结合FFT混叠频率求出原信号频率的3个可能估计值，然后再与fg比较，最接近的即为最终估计结果。

3迟延相位差测频多信号频率参数估计应用

当欠采样系统接收到多个不同频率的正弦信号时，则需要同时对多个信号的频率进行估计。本文中提到的迟延相位差测频法可以同时对多个信号进行估计[7]。

当多个信号经欠采样后，由于频谱混叠，本来频率相差很大的2个信号可能会在频谱图中出现谱峰重叠的情况。即当2待估计频率f1,f2满足f1=k1fs+fm，且f2=k2fs+fm(其中fs为欠采样频率，fm为混叠频率，k1,k2为不相等的2未知自然数)时，在频谱图中仅会出现一个谱峰。此时对多信号的频率估计将会更加困难。

本文以同时对2未知频率的信号进行估计为例，分无谱峰重叠和有谱峰重叠2种情况说明迟延相位差测频法在多信号频率参数估计中的应用，并对同时多个信号(≥3个)发生谱峰重叠的情况进行简单分析。

3.1频谱图中无谱峰重叠情况发生

当频谱图中没有发生谱峰重叠时，频谱图中会同时出现2个谱峰。每个谱峰对应的频率值即为混叠频率fm1与fm2。

设2入射信号各为s1(t)=A1exp{j(2πf1t+φ1)}+v1(t)与s2(t)=A2exp{j(2πf2t+φ2)}+v2(t)。其中，vi(t)为随机噪声，Ai为幅度，φi为初始相位，fi为待估计频率(其中i=1,2)。fi的取值范围为[fmin,fmax]。信号经采样频率为fs的欠采样处理生成的频谱图中，设谱峰位置km1对应的频率fm1为f1的混叠频率，谱峰位置km2对应的频率fm2为f2的混叠频率。于是有

f1=k1fs+fm1，

(12)

f2=k2fs+fm2.

(13)

另一路经延迟时间为τ的延迟处理后，频谱图中谱峰位置并未改变[8]，仍然为km1与km2，改变的仅仅是谱峰相位。因此可以根据迟延相位差测频原理直接对信号进行频率估计，求出2信号的大致频率估计值。最后结合混叠频率fm1与fm2可得出高精度的频率估计值。所以只要多个信号欠采样频谱图中的多个谱峰相隔足够远[9]，便可直接运用迟延相位差结合FFT的信频率估计算法对多信号同时进行估计。

3.2频谱图中有谱峰重叠情况发生

当频谱图中发生谱峰重叠的情况时，频谱图中仅会出现一个谱峰，设谱峰位置为km3，对应的混叠频率为fm3。于是对于待估计频率f1,f2有

f1=k1fs+fm3，

(14)

f2=k2fs+fm3，

(15)

式中：k1,k2为不相等的2未知自然数。

若直接使用谱峰位置km3对应的相位差来进行测频处理，仿真实验发现，f1,f2的估计结果与f1,f2原始值相比有以下关系：

fg1=fg2=(f1+f2)/2.

(16)

此时估计结果同原信号频率相比出现了太大偏差[10]，难以直接得到高精度还原的结果。但是，通过分析，选择合适的延迟时间τ与采样频率fs，仍然可在谱峰重叠情况下求得f1,f2的值。

分析频率估计值fg1,fg2与混叠频率fm3的关系可知：

fg1+fg2=f1+f2=(k1fs+fm3)+(k2fs+fm3)=

(k1+k2)fs+2fm3.

(17)

由于fg1,fg2,fm3,fs均是已知或已求得的值，因此可以计算出kg=k1+k2的值：

kg=(fg1+fg2-2fm3)/fs,

(18)

k1,k2,kg为自然数，只要保证根据求得的kg可以无模糊地得到k1,k2值，就能完成频率估计。

设f1

由待估计频率f与欠采样频率fs，混叠频率fm的关系式f=kfs+fm可知待估计频率的范围可由欠采样频率表示为：f∈[0,(kmax+1)fs]。又因为kmax不能大于2，于是该算法可顺利进行多信号频率估计的测频范围为[0,3fs]。因此在迟延相位差测频时，延迟时间τ必须满足1/τ≤3fs。

若发生谱峰重叠的信号数≥3，上述判断方法依然适用。由于已经将测频范围限定为[0,3fs]，因此频率混叠区间只能分为[0,fs],[fs,2fs],[2fs,3fs] 3部分。显然最多只能同时有3个信号在某一谱峰中发生重叠，则无需考虑信号数大于3的情况。此时频率估计的求解方法更为简单，无需过多的逻辑判断，只要找到谱峰对应的混叠频率fm，即可知发生谱峰重叠的3个信号频率分别为fm3,fs+fm3,2fs+fm3。

在实际环境中，由于噪声的干扰，当不同频率的谱峰距离很近但又没有发生重叠时，仍可能在频率估计时出现谱峰重叠时的估计结果[11]。但谱峰重叠时的还原算法对于上述情况仍然适用。因此可以通过设置门限，当2谱峰距离小于门限时，使用谱峰重叠时的还原算法(但在没有完全重叠时仍需求出2个混叠频率fm1,fm2以提高估计准确度)；当2谱峰距离大于门限时，则可直接对不同信号的频率进行估计。该门限的设置主要是由噪声对频谱相位的影响程度决定的，信噪比越低门限值就应越大[12]。仿真发现，当信噪比为-5 dB时谱峰距离小于2 MHz就易发生频谱重叠时的估计情况。因此本文仿真实验将谱峰距离门限设置为2 MHz。

4仿真实验分析与误差分析

仿真实验1：

假定输入信号s(t)=exp{j(2πf1t+φ1)}+exp{j(2πf2t+φ2)}+exp{j(2πf3t+φ3)}+v(t)，v(t)为高斯白噪声，入射信号个数为3。设信号频率为f1=705 MHz,f2=886 MHz,f3=1437 MHz,采样频率为550 MHz。对信号进行测频范围为[0,1 500 MHz]的迟延相位差结合FFT测频处理(则延迟时间为τ=1/1 500=0.667 ns)。经过500次蒙特卡罗实验后，得到的随信噪比增大的信号频率估计值，如图2a)所示；得到的随信噪比增大的信号频率估计值的均方根误差如图2b)所示。

图2　仿真实验一的多信号频率估计效果Fig.2　Result of multi signal frequency　　　estimation in experiment 1

当信噪比等于-5 dB时，该仿真的频谱图如图4a)所示。3个入射信号在该频谱图中的混叠频率分别为155.03 MHz,336.08MHz,336.89MHz。频谱图中可以看到，频率为f1的信号的谱峰距离其他两信号的谱峰较远，但频率为f2,f3的两信号谱峰相隔非常近，谱峰所包含的相位信息也因此受到干扰。仅运用未改进的迟延相位差测频，求得3个频率估计值分别为：678.77 MHz,1133.21 MHz,1172.54 MHz。对于信号1，可直接运用结合FFT测频算法得到高精度的频率估计值fg1：

155.03=705.03(MHz).

(19)

而对于信号2与信号3，由于其2谱峰距离小于门限2 MHz，则对其进行高精度测频时更适宜采用谱峰重叠时的算法。由已知的数据得到

kg=[(1 133.21+1 172.54-336.08-336.89)/550]=3.

(20)

则又可通过kg=k2+k3算出信号2与信号3的频率混叠区间为k2=1,k3=2。于是得到最终的频率估计值：

fg2=1×550+336.08=886.08(MHz)，

(21)

fg3=2×550+336.89=1 436.89(MHz).

(22)

仿真估计效果曲线表明，该测频算法在信噪比大于-5 dB后就可获得非常准确的估计值。曲线图中可以看到，信号2与信号3的均方根误差曲线基本相同。这是因为该算法在谱峰重叠时，是在获得初步估计结果后，通过数学计算与逻辑判断来确定不同信号的混叠区间的。只要能通过迟延相位差测频法得到不同信号的准确混叠区间，则不同信号的最终估计值的误差仅由混叠频率的误差决定。两信号混叠频率之差非常小，仅在低信噪比条件时(-20 dB～-15 dB)会因为噪声对谱峰幅度的干扰而使得实际测得的两信号混叠频率的差值增大。因此该两信号估计误差基本相同。而对于信号1，谱峰并没有与其他信号的谱峰重叠，于是可以直接运用谱峰所包含的相位信息与混叠频率进行测频，计算过程简单。

仿真实验2：

假定输入信号s(t)=exp{j(2πf1t+φ1)}+exp{j(2πf2t+φ2)}+exp{j(2πf3t+φ3)}+v(t)，v(t)为高斯白噪声，入射信号个数为3。设信号频率为f1=263 MHz,f2=813 MHz,f3=1 363 MHz,采样频率为550 MHz。对信号进行测频范围为[0,1 500 MHz]的迟延相位差结合FFT测频处理(则延迟时间为τ=1/1 500=0.667 ns)。经过500次蒙特卡罗实验后，得到的随信噪比增大的信号频率估计值，如图3a)所示；得到的随信噪比增大的信号频率估计值的均方根误差如图3b)所示。

图3　仿真实验2的多信号频率估计效果Fig.3　Result of multi signal frequency estimation　　　 in experiment 2

当信噪比等于-5 dB时，该仿真的频谱图如图4b)所示，图中3个信号的谱峰完全重合，且谱峰的叠加导致谱峰的幅度明显大于仿真实验1频谱图中的谱峰幅度。由于只有1个谱峰，仅运用未改进的迟延相位差测频，可求得3个频率估计值均等于846.15 MHz。为准确求出3个信号的频率估计值，可直接利用该谱峰对应的混叠频率值263.03 MHz，求出最终的频率估计值：

fg1=0×550+263.03=263.03 (MHz),

(21)

fg2=1×550+263.03=813.03 (MHz),

(22)

fg3=2×550+263.03=1 363.03 (MHz).

(23)

仿真表明，仿真实验2在信噪比大于-7 dB后即可得到精度较高的频率估计值。该估计效果明显好于仿真实验1的原因是,由于谱峰的重叠导致谱峰幅度的增加，从而在同等信噪比的条件下仿真实验2能够获得更准确的混叠频率。显然从估计误差曲线图中可以看到，由于3个信号的混叠频率是相同的，因此估计误差则会完全相同。

图4　2次仿真实验的频谱图Fig.4　Frequency spectrogram of two experiments

5结束语

在欠采样的情况下，本文利用信号延迟前后的相位差，并结合欠采样FFT后得到的混叠频率，实现了对多正弦信号的无模糊频率估计。本文重点分析了当欠采样FFT频谱图出现谱峰重叠时，难以直接运用迟延相位差测频得到准确的多信号频率估计值的情况，提出了运用逻辑判断确定不同信号的取值区间，进而通过混叠频率得到不同信号频率的准确估计值的测频算法。虽然该算法将欠采样的测频带宽限制在3倍欠采样频率以内，但带宽超过此范围不多时仍有良好的估计效果。

参考文献：

[1]James Tsui.宽带数字接收机[M]．杨小牛，译．北京：电子工业出版社，2002．

James Tsui．Digital Techeniques for Wide Band Receivers[M]．YANG Xiao-niu,translated.Beijing：Publish House of Electronics Industry，2002．

[2]张华娣．一种实时欠采样数字测频技术研究[J]．通信对抗，2011，113(1)：11-13．

ZHANG Hua-di．Research on Real Time Sub-Sampling Digital Frequency Measurement Technique[J]．Communication Countermeasures，2011，113(1)：11-13．

[3]黄佑勇，王激扬,等．基于欠采样的宽频段信号频率估计技术[J]．电波科学学报，2001，16(2):275-279．

HUANG You-yong，WANG Ji-yang．Wide-Band Frequency Estimation with Sub-Nyquist Sampling[J]．Chinese Jourmal of Radio Science，2001，16(2)：275-279．

[4]MCCLELLAN J H，RADER C M. Number Theory in Digital Signal Processing[M]. [S. l. ]： Prentice Prentice2 Hall，1979．

[5]李东生，胡东．可测同时到达信号的瞬时测频系统建模与仿真[J]．现代防御技术，2010，38(4)：146-150．

LI Dong-sheng，HU Dong．Modeling and Simulation of DIFM for Simultaneous Signals[J]．Modern Defence Technology，2010，38(4)：146-150．

[6]王洪洋，廖桂生,吴云韬，等．欠采样频率估计方法[J]．电子学报，2004，32(12)：1978-1981．

WANG Hong-yang，LIAO Gui-sheng，WU Yun-tao,et al.Frequency Estimation with Sub-Nyquist Sampling[J]．Acta Electronica Sinica，2004，32(12)：1978-1981．

[7]陈平，李庆民．瞬时频率估计算法研究进展综述[J]．电测与仪表，2006，43(7)：1-7．

CHEN Ping，LI Qing-min．Progress in Research of Instantaneous Frequency Estimation Algorithm[J]．Electrical Measurement & Instrumentation，2006，43(7)：1-7．

[8]谢明，张晓飞．频谱分析中用于相位和频率校正的相位差校正法[J]．振动工程学报，1999，12(4)：454-459．

XIE Ming，ZHANG Xiao-fei．A Phase Difference Correction Method for Phase and Frequency Correction in Spectral Analysis[J]．Journal of Vibration Engineering，1999，12(4)：454-459．

[9]李振华，郭绍禹．一种欠采样信号频率模糊处理方法[J]．电光系统，2010(2)：24-27．

LI Zhen-hua，GUO Shao-yu．The Frequency Ambiguity Estimation Method for Under Sampled Signals[J]．Electronic and Electro-Optical Systems，2010(2)：24-27．

[10]ZHANG Guang-bin，WANG Hong-yang,LIAO Gui-sheng．Frequency Estimation of Sinusiode from Wideband Using Sub-Nyquist Sampling[J]．Journal of Electronics(China)，2006，23(2)：200-203．

[11]LAN Tian，HOU Zheng-xin,PANG Zhi-ming．The Application and Computer Simulation of Multi-Channel Cochlear Implant Based on all Phase DFT Filter[C]∥Proceeding of the IEEE Acoustics，Speech and Signal Processing Conference，Jinan，China，April，2007: 701-704，007．

[12]邓振淼，刘渝．基于全相位频谱分析的正弦波频率估计[J]．数据采集与处理，2008，23(4)：449-453．

DENG Zhen-miao，LIU Yu．Sinusoid Frequency Estimation Based on All Phase Spectrum Analysis[J]．Journal of Data Acquisiti on and Processing，2008，23(4)：449-453．☞探测跟踪技术

Application on the Improved Frequency Estimation of Multi Signal Based on Delayed Phase Difference

YU Peng-jun,RUAN Huai-lin

(Electronic Engineering Institute,Anhui Hefei 230037,China)

Abstract:A sub-sampling frequency estimation algorithm is proposed to aim at multi signals. By using the allowed error of delayed phase difference, the range of frequencies is roughly obtained. Then the high-accuracy frequency estimation values of multi signal are obtained based on the sub sampling frequency domain results. The problem that the wrong results are gained when the phenomenon of peak overlapping happens in sub-sampling spectrogram is solved. The results of simulation show that the algorithm has good anti-noise capability to get high-precision estimates.

Key words:sub-sampling；solving ambiguity；phase difference；peak overlapping

中图分类号：TN911.72；O174.2

文献标志码：A

文章编号：1009-086X(2015)-01-0114-06

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2015.01.019

通信地址：230037合肥市黄山路460号505教研室E-mail：cjlcdw1988@126.com

作者简介：余朋骏(1988-)，男，四川自贡人。硕士生，研究方向为信号与信息处理。

收稿日期：2014-04-01；
修回日期：2014-05-13