一种改进的对角线解耦在变风空调上的应用

葛懂林，付东翔，朱卫云

(上海理工大学 光电工程与计算机学院，上海 200093)

变风空调(Variable Air Volume，VAV)系统因具有节能、灵活、舒适，改扩建方便以及噪声低等优点，在如今的民用领域和工业生产中得到广泛关注，成为国内外大中型中央空调发展的主流［1］。虽然变风量空调具有上述优点，但其本身具有的多变量，强耦合和时滞等特性，给变风量空调系统的设计和运行带来了困难。当多个回路同时工作，回路间的相互耦合以及干扰导致变风量空调系统不容易稳定。因此，消除或弱化变风量空调间的相互耦合变得具有实际意义。采用常规方法，例如对角线解耦，对变风量空调系统进行解耦控制，虽取得了一定的控制效果［2］，但由于变风空调的多变量特性，使得解耦方法过于频繁，计算量加大。随着过程控制系统日益复杂和多变，耦合现象也越发频繁，所以对于多变量解耦的可实现性要求越来越高，既要满足变风空调系统的动态性能，也要使得解耦方法尽量简化。

常规的解耦控制方法分为静态解耦方法、动态解耦方法、解耦控制器等［3－4］。虽这类方法有着这各自的优点，但由于变风空调系统的复杂多变，解耦效果并不让人满意。文中基于静态解耦的思路，采用一种改进的方法，修正解耦控制器，使得对于存在扰动的变风空调解耦后具有更强的鲁棒性。首先通过变风量空调的机理，建立空调系统的数学模型;然后通过解耦器的设计方法对空调系统(MIMO)进行解耦，成为没有耦合或耦合较弱的单输入单输出(SISO)系统［5－6］;最后对解耦后的系统设计PID 控制器进行仿真实验，验证该方法的可行性。

1 变风量空调的分析与数学模型

为了更好地对变风空调系统进行控制，首先分析变风空调系统参数间的耦合关系。

(1)对于变风空调系统，房间温度不仅受到送风量的影响，同时也受到送风温度的影响［7］。(2)同样，送风温度不仅受到冷冻水流量的影响，同时受到送风量的影响。(3)空调管道中的静压不仅仅受到风机转速的影响，同样受到送风量的影响。

因此，完整的变风空调系统包括了3 个控制回路:房间送风量——房间室温控制回路;冷冻水流量——送风温度控制回路;风机转速——静压控制回路。且这3 个控制回路间存在着耦合干扰，如图1 所示。

图1 变风空调耦合模型

变风量空调的输入量为:房间送风量u1，冷冻水流量u2以及风机转速u3;则输入向量U=［u1u2u3］T。

变风量空调的输出量为:房间温度y1，送风温度y2以及静压点静压y3;则输出向量为Y=［y1y2y3］T。

所组成的传递函数矩阵为

1.1 房间温度控制回路

根据空调区域的热平衡方程［8］，得到

其中，C1是房间的热容，单位kJ/℃;c 是空气比热容，单位kJ/(kg℃);ρ 是空气密度，单位kg/m3;G 是房间送风量，单位m3/s;Q 是空调房间热负荷，单位kW;tr和ts是室内温度和送风温度，单位℃，对上式在其工作点进行泰勒级数展开，忽略二阶以上的项，进行线性化处理，得到

对式(3)进行拉普拉斯变换，得到

在设定工况下，其中房间温度设定值tr0=26 ℃;送风温度设定值ts0=16 ℃;房间送风量设定值G0=0.6 m3/s;

1.2 送风温度控制回路

根据表冷器能量转换平衡方程［9］，得到

其中，Mh是表冷器的质量;Ch，Ca，Cw分别为表冷器，空气和水的比热容;Ga和Gw分别为空气的流量和冷冻水的流量;θa.in和θa.out分别为空气的进口温度和出口温度;θw.in和θw.out分别为冷冻水的进口温度和出口温度;Ga.f是新风流量;θa.f和θa.b为新风温度和回风温度。

假设表冷器温度θh=θa.out，对上式在其工作点进行泰勒级数展开，忽略二阶以上的项，进行线性化处理，得到

对式(5)进行拉普拉斯变换，得

在设计工况下，其中送风温度设定值θa.out0=16 ℃;冷冻水进口温度设定值θw，in0=7 ℃;冷冻水出口温度设定值θw.out0=7 ℃;空气流量设定值Ga0=14 m3/s;冷冻水流量设定值Gw0=0.03 m3/s。求得:

时间常数T=MhCh/Ga0Ca=36 s;冷冻水流量调节增益系数送风量调节增益系数

1.3 风机转速控制回路

根据文献［10］，得到风机压头和风机风量以及风机转速之间的关系式

其中，P 是风机压头;Q 是风机风量;N 是风机转速;P0是风机设计压头;Q0是风机设计风量;n0是风机额定转速。

对式(9)在其工作点进行泰勒级数展开，忽略二阶以上的项，进行线性化处理，得到

对上式进行拉普拉斯变换，得到

在设计工况下，其中静压点静压设定值P0=2 523 Pa;风机风量设定值Q0=15.3 m3/s;风机转速设定值n0=1 367 rpm。求得风机转速调节增益系数b1=4.96;风机流量调节增益系数b2=－123.5。

综上，求得变风量空调的传递函数矩阵G11=－16.7/(528s+1)+2.58/［(528s+1)(36s+1)］=［2.58－16.7(36s+1)］/［(528s+1)(36s+1)］;G12=－1238/［(528s+1)(36s+1)］;G13=0;G21=2.58/(36s+1);G22= －1238/(36s +1);G31=－123.5;G32=0;G33=4.96。

对于空调区域热量传递的时滞项τ 的测定，国内外做了大量的测定工作。文中这里引用［11］的测定结果，得到传递函数中的时滞项τ 与时间常数T 的关系为

所以得到的传递函数

2 变风量空调的解耦控制

考虑如图2 所示的变风空调控制系统。

图2 变风空调控制系统

图中，G 是过程传递函数矩阵，表示变风量空调系统;D 是解耦控制器传递函数矩阵;C 是控制器的对角传递函数矩阵，其对角元素为SISO 系统PID 控制器传递函数。

加入解耦器控制D 后，使得传递函数GD 对角化，实现解耦。所以，如何求解解耦器D 的矩阵表达式成为关键。

文中给出一种改进的解耦控制器D 的选择策略，使得解耦控制器满足变风量空调解耦的设计目的，同时尽量满足解耦后系统的动态性能。

理论依据

矩阵G 的伴随矩阵，记作adj(G)，可以得到

其中，Gji是G 的代数余子式。根据

使得系统GD 为对角矩阵的所有矩阵D 可分解为G的伴随矩阵和矩阵K 的乘积。得到

令K=I，D=adj(G)。从式(14)中，可得到解耦器矩阵列项中的公共因子可通过对K 相应对角元素的逆项来消除。因D=adj(G)×K 是最终可行的，所以对K 中包含不可执行元素，例如反向延迟，也是可行的。所以文中通过对K 相应对角元素乘以时间延迟的逆项，消除解耦器列中的最小延迟。

同样，可通过K 消去解耦器列的零极点，为避免极点的消除带来的高频特性，有时需要额外给K 加一个低通滤波器。

最后为避免系统获得过大的增益以及便于后续的PID 控制器设计，对解耦器矩阵乘以det－1［G(0)］。

对于上述分析的变风量空调模型

采用上述方法进行解耦设计，根据式(15)，可得

根据上述步骤，对K 的相应对角元素乘以时间延迟的逆消去解耦器列的最大公共延迟，同时K 的相应对角元素乘以包含零极点项的逆消去解耦器列的公共项。修正得到

最后对解耦器乘以det－1［G(0)］，得到

3 仿真实验

对于文中上述变风空调数学模型传递函数G，采用Matlab 中的Simulink 模块进行仿真。为表现变风空调中耦合的存在和干扰性。文中在房间温度回路控制中加入了幅值为－1 ～+1 的随机干扰，采样时间间隔为500 s。

首先对空调模型传递函数G 不进行解耦，直接进行PID 控制，在设定房间温度为26 ℃，送风温度为16 ℃，风机静压差值为Δ30 Pa 的情况下，仿真结果如图3 所示。

图3 变风空调系统的PID 控制

图3 中，未解耦的变风空调系统，虽然只在房间温度控制回路上加入了随机干扰，但由于系统耦合的存在，送风温度控制回路以及风机静压控制回路同样受到扰动的影响。虽然PID 控制器进一步弱化了其影响效果，但并未消除干扰和耦合的存在。

对于上述变风空调模型传递函数，采用文中给出的方法以及求得到的解耦控制器D，在同样的条件下进行仿真，得到仿真结果如图4 所示。

图4 变风空调的改进对角线解耦

图4 中，采用了解耦控制器进行解耦后，对系统的输出跟踪较图3 有更好的动态性能以及鲁棒性。同时房间温度控制回路中的随机干扰对送风温度控制回路以及风机静压控制回路的干扰情况基本不存在。仿真结果表明，变风空调系统中的耦合已被消除。

对上述系统，文中采用传统的简化解耦进行解耦控制，求得简化解耦控制器矩阵为

在同样的条件下进行仿真，仿真结果如图5 所示。

图5 变风空调的简化解耦

图5 中，虽然简化解耦同样消除了房间温度控制回路中随机扰动对送风温度控制回路和风机静压控制回路的干扰和耦合，但其解耦后控制系统的动态性能却不如图4 采用的改进的对角线解耦方法。

4 结束语

文中基于对变风空调系统机理的分析建立数学模型，对变风空调中存在的耦合，采用的一种改进对角线解耦方法，使得解耦的控制系统具有更好的动态性能，并对建立数学模型的变风空调系统进行了仿真实验。同时与未解耦的系统和采用简化解耦的系统分别进行了比较，仿真结果说明该方法的可行性以及有效性。

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