奇异值分解的证明及奇异值与对角元的关系

杨倩，任芳国

(陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安710062)

奇异值分解的证明及奇异值与对角元的关系

杨倩，任芳国

(陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安710062)

奇异值和奇异值分解在矩阵论中起着重要的作用，通过矩阵的谱分解、极分解来给出奇异值分解的不同证明方法，并通过奇异值分解来获得矩阵的对角元与奇异值之间的弱受控关系。

奇异值分解；谱分解；极分解；弱受控

矩阵理论作为一种各数学学科的的基本工具，在数学学科和其他学科技术领域（如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等）都有广泛的应用，而在矩阵理论中，奇异值和奇异值分解无疑起着重要的作用，因此一直受到专家学者的关注[1-12]。文献[1]通过奇异值的范数性质来证明奇异值分解，并且得到了矩阵奇异值和特征值的若受控关系。本文分别从谱分解、极分解来给出矩阵奇异值分解的证明方法，并给出了主对角元素与奇异值的弱受控关系及其证明。

1 预备知识

为了叙述方便，我们对符号约定如下：Cn表示复数域上的n维列向量的集合；Mm,n()C表示复数域上m×n矩阵的集合；A*表示矩阵A的共轭转置矩阵；其余未加说明的符号见文献[2]；下面是与本论文有关的几个定义及引理。

定义1[2]设A是n阶方阵，如果满足

AA∗=A∗A，则A是正规矩阵。

定义2[2]设U是n阶方阵，如果满足U∗U=I，则U是酉矩阵。

引理1[2]设A∈Mn是正规矩阵，则存在酉矩阵U∈Mn，使得A=UΛU∗，其中Λ是对角矩阵。

引理2[1]（极分解）对于A∈Mm,n.

（a）如果n≥m,则A=PY,其中P∈Mm是半正定矩阵，且P2=AA∗,Y∈Mm,n的行互相正交；

（b）如果n≤m,则A=XQ,其中Q∈Mn是半正定矩阵，且Q2=A∗A,X∈Mm,n的列互相正交；

（c）如果m=n,则A=PU=UQ,其中U∈Mn是酉矩阵，P,Q∈Mn是半正定矩阵，且P2=AA∗,Q2=A∗A。

引理3[1]设x=[xi],y=[yi]∈Rn为非负实向量，则y弱受控x当且仅当存在次双随机矩阵

Q∈Mn(R)，使得x=Qy。

引理4[1]设A∈Mm,n，Ar为将A删去r行或r列后得到的A的子矩阵，则

σk(A)≥σk(Ar)≥σk+r(A),k=1,…,min{}m,n对于X∈Mp,q,σj(X)≡0，当j＞min{}p,q。下面我们讨论奇异值分解的其它证明。

2 定理及其证明

定理1对于矩阵A∈Mm,n(C)，设q= min{m,n}。则存在酉矩阵V∈Mm,W∈Mn使得A=VΣW∗，其中Σ=[σij]∈Mm,n,σij=0对于所有i≠j,且σ11≥σ22≥…≥σqq≥0。如果A∈Mm,n(R)，则V和W为实正交矩阵。

证明：

方法1情况Ⅰ对于A∈Mn,则AA∗和A∗A都是正规矩阵且有相同的的特征值，所以它们是酉相似的，即存在酉矩阵U∈Mn使得A∗A=U(AA∗)U∗。所以A∗A=(UA)(UA)∗,又因为

所以UA是正规矩阵，即存在酉矩阵X∈Mn和对角矩阵Λ∈Mn使得UA=XΛX∗。又因为Λ=ΣD,其中Σ=|Λ|是非负的且D是对角酉矩阵。则

其中V=U∗X,W∗=DX∗。

情况Ⅱ对于A∈Mm,n(m＞n)，设u1，u2，…，uν是A∗的核空间的一组标准正交基，则有

设U2≡[u1u2…um-n]∈Mm,m-n，使得U=[U1U2]∈Mm是酉矩阵，则

其中A1∈Mn,所以

情况Ⅲ当m＜n时，同理可得A∗的奇异值分解，进而可得A的奇异值分解。

方法2对于矩阵A∈Mm,n及其秩r，则A∗A∈Mn既是Hermitian矩阵又是半正定矩阵，所以

其中U∈Mn是酉矩阵，Λ∈Mr是对角正定矩阵，D=Λ⊕In-r∈Mn。所以

其中V1∈Mm,r的列正交。如果V=[] V1V2∈Mm是酉矩阵，则

方法3对于A∈Mm,n,

情况Ⅰ当n≥m时，A的极分解为A=PY,其中P∈Mm是半正定矩阵，Y∈Mm,n是行正交矩阵，则

则A=VΣW∗。

情况Ⅱ当n＜m时，A∗∈Mn,m,由引理2（a）可得A∗=VΣW∗,从而A=WΣ∗V∗。

推论1设A=[aij]∈Mm,n,q=min{m,n}的奇异值分解为

其中酉矩阵V=[vij]∈Mm,W=[wij]∈Mn，则有

定理2对于A=[aij]∈Mm,n,q=min{m,n}，设

证明：

方法1因为A=VΣW∗，所以

令Q≡|Z|=[|vijwij|]，则Q为次双随机矩阵。

又因为|a|=[|ai|]≤Qσ(A)，由引理3得

[1]HORN R A，JOHNSON C R.Matrix analysis[M].Cambridge University Press，1990．

[2]HORN R A，JOHNSON C R.Topics in matrix analysis[M]．Cambridge University Press，1991．

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[6]ANDO T.Majorization，doubly stochastic matrices,and comparison of eigenvalues[J].Linear Algebra and Its Applications，1989，118：163-248．

[7]FαBENDER H，IKRAMOVK D.Conjugate-normal matrices：a survey[J].Linear Algebra Applications，2008，429（7）：1425-1441．

[8]黄灿.正定矩阵的性质及一些正定矩阵不等式[D].重庆：重庆大学，2013．

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[10]陈泳宏.特殊矩阵的推广及其性质的研究[D].成都：电子科技大学，2014.

[11]张丽娟.矩阵的奇异值及酉不变范数的矩阵不等式[D].西安：陕西师范大学，2011.

[12]努尔色曼-买买提，任芳国.共轭正规矩阵的等价刻画[J].纺织高校基础科学学报，2012，25（3）：327-330.

Proofs of Singular Value Decomposition and the Relationship of the Vectors of Singular Values and Diagonal Entries

YANG Qian，REN Fangguo
(College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,Shaanxi,China)

Singular values and singular value decomposition play an important role in matrix theory.Some new proofs of singular value decomposition are obtained by using spectral decomposition and polar decomposition；at the same time,weak majorization relationship between the main diagonal entries and singular values of a matrix is generated via the singular value decomposition.

singular value decomposition;spectral decomposition;polar decomposition;weak majorization.

O151.21

A

1672-2914（2015）02-0032-03

2014-12-08

国家自然科学基金项目（11171201）；陕西省自然科学基金项目（2011JM1007）。

杨倩（1988-），女，山西吕梁市人，陕西师范大学数学与信息科学学院硕士研究生，研究方向为矩阵论。

任芳国，副教授，E-mail：rfangguo@sohu.com。