砂土地基上圆形浅基础三维破坏包络面的理论研究

范庆来，郑 静，武 科

（1.鲁东大学a.岩土工程重点实验室；b.鲁东大学交通学院，山东 烟台 264025；2.山东大学 岩土与结构工程研究中心，济南 250061）

对于圆形浅基础，传统的地基承载力分析理论主要有Terzaghi、Vesic、Hansen、Meyerhoff等提出的各种经验、半经验公式，对于倾斜与偏心荷载作用下的浅基础稳定性问题，一般是基于Terzaghi竖向承载力公式，分别通过引入荷载倾斜系数与Meyerhoff有效宽度假定来考虑水平荷载和偏心荷载对竖向承载力的影响，对此栾茂田等［1］已经进行了比较全面的评述。

随着石油、天然气和金属矿物等海洋资源的大力开发，各种海洋基础稳定性评价方面的问题得到了高度重视。与陆地上基础相比，海洋基础除了承受竖向荷载V以外，通常还要抵抗波浪和风暴等所引起的水平荷载H与力矩M。在这种复合加载情况下，海洋基础一般不会在单纯的竖向荷载作用下达到极限平衡状态，而是在竖向荷载、水平荷载与力矩的不同组合条件下发生失稳破坏。因此，将传统的地基承载力理论用于海洋浅基础稳定性评价时，可能出现较大偏差，从而不适合含有较大水平荷载和力矩的情况［2］。为了解决这个问题，部分学者［1－2］通过系统研究提出了破坏包络面理论，认为在复合加载条件下，地基达到整体破坏时各个荷载分量的组合在三维荷载空间（V，H，M）中将形成一个不依赖于加载路径的外凸曲面，其方程可由引起地基失稳时的各个荷载分量显式表达为f（V，H，M）＝0。根据实际的受力状态与该破坏包络面之间的相对位置关系，可以直观评价设计荷载状态下海洋基础的整体稳定性。

目前所开展的研究工作大多针对软黏土地基，砂土地基上圆形浅基础破坏包络面方程的研究较少，并仅限于模型试验研究。Martin等［3］对于复合加载条件下黏土地基上纺锤形基础的力学响应进行了比较系统的室内小比尺模型试验。在此基础上，Gottardi等［4］、Cocjin等［5］分别对于密砂上圆形和条形浅基础开展了一系列模型试验，并对试验数据进行拟合，建议了砂土地基上浅基础的破坏包络面方程。Cassidy等［6］针对松散钙质砂地基开展了小比尺复合加载试验研究，主要探讨了宏单元模型中的硬化准则和流动法则。但这些试验工作都是针对某种相对密度或内摩擦角的砂土，因此，本文对于共面复合加载条件下砂土地基上圆形浅基础的承载力进行比较系统的有限元分析，探讨了砂土内摩擦角（对于圆形浅基础在V-H、V-M荷载平面与V-H-M荷载空间内的破坏包络轨迹的影响，并与已有的室内模型试验结果进行了对比。

1 有限元模型

直径D＝1 m的圆形浅基础位于砂土地基上。不考虑浅基础本身的变形，因此采用离散刚体单元模拟。地基模型的半径和深度都取为5D，经过试算，可以消除有限元模型中地基的边界效应影响。根据赵少飞等［7］的建议，土体单元类型选择8节点缩减积分实体单元（C3D8R），在浅基础附近的局部区域加密网格，单元数为26 240，如图1所示。

图1 有限元模型Fig.1 Finite element mesh

在分析中，砂土假定为纯摩擦材料，重度取为γ＝20 k N／m3，采用基于 Mohr-Coulomb破坏准则的理想弹塑性本构模型，变形模量E＝100 MPa，泊松比v＝0.3。很多实验结果已经表明，砂土剪胀角φ低于内摩擦角φ，但为了与常用的竖向承载力解进行对比，仍然采用了相关联流动法则，即取φ＝φ。土体为纯摩擦材料，基础与地基之间不能传递拉应力，因此，基础和地基间设为完全黏结约束，而未设置接触单元。

2 竖向承载力

对于内摩擦角φ＝15°、20°、25°与30°4种情况，分别进行了竖向承载力计算。在计算过程中，采用位移控制加载，当得到的基底中心处的节点反力V-竖向位移v曲线斜率陡降或接近零时，与该状态相对应的基底反力即为地基的竖向承载力，如图2所示。

图2 竖向荷载作用下基底反力与位移之间的关系Fig.2 Relation of reaction force beneath foundation and displacement under vertical loading

同时，也采用 Martin［9］提出的滑移线方法和Terzaghi圆形浅基础公式对此问题进行了求解，几种方法所得竖向承载力（单位：k N）都列于表1，通过比较可以看到，在φ≥20°时有限元与滑移线解法所得结果都要比Terzaghi公式计算结果高，而在φ＝15°时，有限元计算结果比其它两种方法偏低。有限元法与滑移线解法所得结果之间相差不大，最大误差为8%，从而说明本文有限元模型是基本合理的。

表1 不同方法计算结果间的比较Table 1 Comparison of results from different methods

3 复合加载数值试验方法

3.1 swipe型加载方法

构建不同荷载平面上完整的破坏包络面，对于软黏土地基，只需要一条swipe加载路径［10－11］，但对于砂土地基，则需要两条加载路径，如图3所示。加载路径I与软黏土地基相同，包括两个加载步骤：1）沿i方向从初始状态开始施加位移u i直到i方向反力达到极限值；2）固定i方向的位移，沿j方向施加位移u j直到j方向对应的反力F j不随位移增大而改变，此时步骤2）所形成的加载轨迹可以近似作为i－j平面上破坏包络面的一部分。加载路径II含有一个加载步骤，从初始状态开始约束i方向自由度，沿j方向施加位移u j直到j方向对应的反力F j不随位移增大而改变，该步骤所形成的加载轨迹可作为包络面的另外一部分。

3.2 probe型加载方法

probe型加载方法包括固定位移比加载、固定荷载比加载方法等，范庆来等［10］已经进行了比较详细的介绍，在此不再赘述。最近，赵少飞［7］建立了一种较为直观的probe型加载方法，该方法包含如下两个步骤：1）通过荷载控制，沿i方向（一般为竖向）在基础上直接施加一定的荷载分量Fi；2）保持所施加的荷载分量Fi不变，沿j方向进行位移控制加载，直到相应方向的反力Fj不再随位移增加而改变，由此可确定出破坏包络面上的一个点（Fi，Fj），如图3所示。通过多次加载，即可拟合一个完整的包络面。本文在构建V-H、V-M荷载平面上的包络面时，采用了该方法。

图3 砂土地基复合加载方法Fig.3 Combined loading procedure for sand foundation

3.3 荷载－位移联合搜索方法

为了得到圆形浅基础在V-H-M荷载空间内的三维破坏包络面，需采用荷载－位移联合搜索方法［10－11］。这个方法包含如下3个步骤：1）通过荷载控制，在基底中心施加一定大小的竖向荷载分量V；2）保持该竖向荷载分量不变，进行H-M荷载平面上的swipe型加载，得到破坏包络面的近似形式；3）在此基础上，进行若干次probe型加载，确定最终的破坏包络面。

4 V-H平面上的破坏包络轨迹

联合采用swipe型与probe型两种数值加载方法，对于圆形浅基础在V-H平面内的破坏包络轨迹进行研究。所得到的V-H荷载平面内的破坏包络轨迹如图4（a）所示，采用竖向承载力Vult进行归一化后，可得V-H荷载平面内的破坏包络面形状如图4（b）所示。

通过图4（a）可以看到，随着砂土内摩擦角的增大，V-H荷载平面内的破坏包络面大小在不断增长。在内摩擦角φ＝30°时，图4（a）还具体给出了swipe型加载路径I、II与probe型加载得到的3个数据点（分别是在V／Vult＝0.3、0.5及0.7情况下得到的），可以看到swipe型加载路径I与路径II在V／Vult＝0.5处汇合，构成了一个完整的包络面。probe型加载得到的数据点与swipe型加载路径基本吻合，考虑到数值计算误差，可以表明破坏包络面是不依赖于加载路径的。在其它内摩擦角情况下，也具有相同规律，在图4（a）中不再一一表达。

图4 圆形浅基础V-H破坏包络面Fig.4 V-H failure envelopes of circular shallow foundations

根据图4（b）可看出，破坏包络面形状类似于橄榄球形，基础所能承受的最大水平荷载Hmax大致出现在竖向荷载水平V／Vult＝0.5处，而且对于不同内摩擦角情况下，Hmax≈0.13Vult。Gottardi等［4］针对内摩擦角φ＝42.3°以及Bienen等［12］针对φ＝34.3°的砂土所进行的模型试验也得到了基本一致的结论Hmax≈0.12Vult。Cassidy等［6］对于松散钙质砂也进行了试验，得到的结果表明Hmax≈0.15Vult。

因此，如图4（b）所示，不同内摩擦角情况下，采用竖向极限承载力Vult进行归一化后，包络面形状几乎完全重合，可采用式（1）进行描述。

式中：h0＝Hmax／Vult，其取值范围在0.12～0.15之间，对于本文有限元计算结果，h0＝0.13。在图4（b）中还列出了Loukidis等［13］建立的条形浅基础破坏包络面方程，可见圆形与条形浅基础的破坏包络面形状存在一定差异。因此，在分析基础稳定性时，必须考虑其三维效应。

对于软黏土地基V-H包络面，水平荷载最大值位于V＝0，随着竖向荷载水平增大，基础承受水平荷载的能力不断下降［10］，这显然与砂土地基上基础破坏包络面特性有明显差异。

5 V-M 平面上的破坏包络轨迹

采用类似数值加载方法，对于圆形浅基础在V-M平面内的破坏包络轨迹进行了研究，其中力矩M是通过在基底中心处施加转角边界条件控制加载。所得到的V-M荷载平面内的破坏包络轨迹如图5（a）所示。采用基础直径D与竖向承载力Vult之乘积DVult对于力矩M无量纲化，可得V-M荷载平面内的归一化破坏包络面形状如图5（b）所示。

通过图5（a）可以看到，V-M荷载平面内的破坏包络面大小也随着砂土内摩擦角的增大而在不断增长。归一化后的破坏包络面形状基本重合，也类似于橄榄球形，基础所能承受的最大力矩荷载Mmax大致出现在竖向荷载水平V／Vult＝0.5处，Mmax＝0.08DVult，对 应 着 偏 心 距 为e／D＝ 1／6.25。Gottardi等［4］根据密砂的模型试验得到Mmax＝0.1DVult，Bienen等［11］根据松砂上的试验结果得到的结论则是Mmax＝0.075DVult，因此，可以认为，VM平面内砂土地基上圆形浅基础的归一化最大弯矩承载力m0＝Mmax／（DVult）在0.075～0.1之间。不同内摩擦角情况下，包络面形状基本重合，如图5（b）所示，可采用如下抛物线方程式（2）进行描述。

式中：m0取值范围在0.075～0.1之间，对于本文有限元计算结果，m0＝0.08。与软土地基上基础V-M包络面方程［10］进行比较，可以看到偏心荷载情况下砂土与黏土地基上破坏包络面特性也存在显著差异。

图5 圆形浅基础V-M 破坏包络面Fig.5 V-M failure envelopes of circular shallow foundations

6 V-H-M 空间的破坏包络面

采取荷载－位移联合搜索方法，分别对于V／Vult＝0.3、0.5和0.7三种情况下的H-M破坏包络轨迹进行研究。将内摩擦角φ＝15°和30°情况下的HM破坏包络轨迹表达在H／Hvult－M／Mvult的归一化荷载平面内，如图6所示，可以看到对于不同内摩擦角与竖向荷载水平，归一化后的包络面基本重合，形状为一椭圆。

可以采用椭圆方程式（3）来描述。

式中：Hvult、Mvult分别为圆形浅基础在给定竖向荷载水平V／Vult下所能承受的最大水平荷载和弯矩，可相应由式（1）和式（2）得到。参数a反映了椭圆偏心度，参数a的取值越高，包络面的偏心度越大，在本文算例中，a＝－0.2。

图6 浅基础归一化H-M 破坏包络轨迹Fig.6 Normalized H-M failure locus of shallow foundations

将式（1）和（2）代入式（3），经过整理可得到VH-M空间的破坏包络面方程，如式（4）所示。

为了进一步验证该方程的合理性，对内摩擦角φ＝20°和25°情况下的H-M破坏包络轨迹进行了模拟，如图7所示。

通过比较，可以看到式（4）的模拟结果较好，因此，采用如式（4）所示的三维破坏包络面方程来评价复合加载条件下砂土地基上圆形浅基础承载力是合理的。在实际应用中，只需根据竖向极限承载力公式或其它方法确定相应的竖向承载力Vult，进而根据方程（4），就可以得到破坏包络面的显式表达式f（V，H，M／D）＝0，如图8所示。若浅基础设计荷载组合点（V，H，M）位于包络面上时，说明地基处于承载能力极限状态。当荷载组合点（V，H，M）处于该包络面内部，则浅基础是整体稳定的，反之，则将发生失稳破坏，在工程中应对基础进行重新设计［14－16］。

图7 不同荷载水平下浅基础H-M破坏包络轨迹Fig.7 H-M failure locus of shallow foundations under various vertical load levels

图8 圆形浅基础三维破坏包络面Fig.8 Three dimensional failure envelope of circular shallow foundations

7 结论

1）与不排水情况下软黏土地基上基础破坏包络面相比，砂土地基上圆形浅基础的破坏包络面形状有较大差异，但V-H和V-M平面内的破坏包络面形状仍具有较好的归一化特性，可用抛物线方程进行表达。

2）在一定竖向荷载水平下，不同内摩擦角情况下的H-M破坏包络轨迹基本重合，形状为具有一定偏心度的椭圆。

3）根据计算结果，提出了砂土地基上圆形浅基础三维破坏包络面方程。经过初步验证，该方程可以用来评价圆形浅基础在共面复合加载条件下是否稳定。

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（编辑王秀玲）