刚性连体位置对非对称双塔连体结构动力可靠度的影响

李春锋，杜永峰，李 慧

（1.河西学院 土木工程学院，甘肃 张掖734000；2.兰州理工大学 防震减灾研究所，兰州730050；3.西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心，兰州730050）

刚性连接是连体与塔楼常见连接方式之一［1－2］，采用这种连接方式的目的是充分利用连体协调塔楼的振动，保证连体在地震作用下的可靠性，工程应用与研究已取得了丰硕的成果，杜永峰等［3－4］对确定性地震作用下连体位置对连体结构地震响应影响进行了研究。现有研究较普遍的特征是：分析结果依赖于所选择的确定的地震动特性，设计者难以对高层连体结构的性态进行较全面有效的把握与控制，其主要原因在于确定性的地震动输入不能充分体现地震动自身的随机性。为考虑实际地震动加速度的非平稳随机性，孙臻等［5］将精细积分方法与虚拟激励法相结合，对高层隔震结构进行了动力可靠度分析和非平稳随机地震响应分析，Katafygiotis等［6－8］给出了线性动力系统可靠度计算的频域分解法和楔模拟法。为全面有效把握高层连体结构的动力特性与抗震性能，进行刚性连体位置变化对高层连体结构动力可靠度影响研究甚有必要。

在已有研究基础上，首先建立不同刚性连体位置下高层连体结构动力计算模型，罕遇地震作用下进行随机等效线性化；其次考虑地震作用非平稳性，将虚拟激励法与精细积分法结合运用［9］，计算连体位置变化时连体结构在非平稳随机激励下各楼层时变方差，最后基于首次穿越破坏准则，分析非平稳随机地震激励下连体位置变化对高层连体结构的非平稳随机响应与动力可靠度的影响，为高层连体结构的设计与分析方法提供参考。

1 振动方程的建立及等效线性化

对双塔楼高层连体结构，当地震作用沿其对称轴方向输入时，假定相邻建筑遭遇相同加速度，考虑楼层内平面刚度无限大的假定，质量被集中在楼层处并且刚度由墙或柱子提供，阻尼采用瑞利阻尼，从而可将连体结构等效成多自由度串并联质点系层模型，如图1所示。小震下线性振动方程表达式建立方法的经典性见参考文献［3］，本文列出强震下非线性振动方程建立与其等效线性化思路。

1.1 振动方程的建立

建筑结构在强震作用下表现出较强的非线性特性，其非线性形式主要表现在结构刚度项和阻尼项或两者的组合，依据本文讨论，建立非线性动力微分方程

式中：［M］、［K］、［C］分别为连体结构的质量、刚度和阻尼矩阵；［Kz］为滞变刚度矩阵；｛I｝为单位列向量；¨ug（t） 为 地 震 动 输 入 的 加 速 度； ｛¨u（t）｝、｛˙u（t）｝、｛u（t）｝分别为连体结构各楼层的相对加速度、相对速度和相对位移响应量；｛z（t）｝为结构的滞变位移向量。

图1 连体结构计算模型Fig.1 calculation mode on connection structures

为考虑连体位置对连体结构的影响，设置1层连体，质量为mT，连体质量分解为上下两层mu＝md＝mT／2，假定左塔楼层数为n，右塔楼层数为m，左塔楼层j质量和层间刚度分别为mLj和kLj；右塔楼层j质量和层间刚度分别为mRj和kRj，对阻尼矩阵取为瑞利阻尼，即［C］＝α［M］＋β［K］。罕遇地震下连体结构的质量、刚度矩阵［M］、［K］自由度数为m＋n－2，设定左塔楼层数大于有塔楼，统一列写成表达式（2）、式（3）。

式（2）中各子矩阵的确定需考虑连体确切的位置，本文考虑将其分为3类进行分析，即连体位于第2层、中间层及顶层3种计算工况进行分别讨论。

1）当连体位于第2层时，如图1（a）所示。

对质量矩阵［M］，9个子矩阵中，有4个矩阵为0阵，［mT］3种工况下均相同如式（2）位置所示，其余5个可列写为

对刚度矩阵［K］，αL1～αLn和αR1～αRm分别为左、右塔楼各层第二刚度系数，9个子矩阵中，有4个矩阵为0阵，其余5个可表示为

2）当连体位于中间第j层时，如图1（b）所示，设1层连体位于第j（j≥3）层，仿照式（1）可得到各非零子矩阵为

3）当连体位于低塔楼顶层时，如图1（c）所示。同前述可写出总刚度矩阵各子矩阵为

1.2 振动方程的等效线性化

采用刚度退化的Bouc－Wen光滑滞变恢复力模型来模拟强震下双塔连体结构非线性特性，表达式为

式中：β和γ是控制滞变曲线面积的参数；zi为塔楼各楼层的滞变位移；Al、υ和η是描述滞变位移退化特征的参数；为塔楼各楼层的滞变位移导数；n是控制滞变位移骨架曲线的参数。

将滞变位移｛z（t）｝看作已知随机状态向量，由上式可得到等效线性方程为

式中：c˙u和cz分别为等效线性化系数，其具体确定可参考文献［10］，此处不再列出。

为进行连体结构的随机振动分析，采用等效线性化方法将式（1）写成状态方程，并结合上式推导得出状态方程为

式中：向量｛U｝、向量｛E｝分别为

2 非平稳随机地震响应与动力可靠度分析

实际地震地面加速度是一个非平稳随机过程，非平稳随机过程模型中最简单的一种模型是均匀调制随机过程，它在平稳随机激励x（t）基础上引入一个随时间变化的强度包络函数g（t）可表示为

林家浩等［9］提出的虚拟激励法和钟万勰［11］提出的精细积分法为高层连体结构求解提供了一种便利，将虚拟激励法与精细积分时程格式混合应用，计算效率较传统计算方法有数量级的提高。按照虚拟激励法基本原理构造虚拟简谐激励

于是有

在该虚拟激励下，结构在t时刻的响应为

式中：Sxx（ω）为地震激励的自谱密度函数；I（ω，t）为由激励g（t）eiωt在响应量初位移、初速度为零时的响应。I（ω，t）与I＊（ω，t）为共轭函数，从而得到位移响应u（t）的时变功率谱密度

位移U ＝ ｛u（t）｝时变方差为

依据虚拟激励法原理结合前述推导，可方便获得其它统计量的时变方差。分别列出如下：

滞变位移响应量Z的方差

为合理进行连体结构动力可靠度分析，结构破坏准则的选择具有基础意义，目前与随机振动相关的破坏准则主要有首次超越破坏准则与疲劳破坏准则两种。基于本文分析问题的实际，选用首次超越破坏准则进行。在首次超越破坏问题中，结构破坏以其动力反应首次超越安全界限或临界值为标志。

以结构层间最大位移首次超越层间位移角限值作为结构的破坏界限，基于首次超越破坏准则，假设交叉事件是Makov过程，即认定交叉事件是成群出现且个群之间是相互独立的，当连体结构响应为非平稳过程时，则对称双侧动力可靠度为［13］

式中：σu为层间位移标准差；σ˙u为相对速度标准差；b为层间位移限值。

3 地震地面运动的加速度功率谱模型

合理选择地震动模型参数对于随机反应分析结果的准确性起着至关重要的作用。为使随机分析结果与规范的反应谱法结果相一致，随机分析的模型参数均依据《建筑抗震设计规范》（GB 50011—2010）进行取值。地面加速度功率谱密度函数采用文献［12］建议的Clough和Penzien修正过滤白噪声模型：

式中：ζf、ωf为低频过滤器参数；ζg、ωg为地基土阻尼比和卓越频率；S0为谱强度因子。

非平稳随机地动模型的时间包络函数g（t）选用工程中常用的三段式时间包络函数

式中：c为衰减系数；t1和t2分别为主振平稳段的首末时间。

4 数值算例与分析

4.1 算例及参数设计

某工程为左塔16层，右塔14层的混凝土框架核心筒连体结构（图2），层高均为3.0m，左塔总高度为48m，右塔总高42m，地震设防烈度8度，设计地震分组为第2组，场地土类别为Ⅱ类。单塔结构体型为18m×18m，角柱截面为900mm×900mm，中柱截面为600mm×600mm，主梁为200mm×700mm，剪力墙厚200mm，楼板厚180mm。连体层为钢桁架结构，体型为15m×6m，连体上、下弦杆为H600×300×18×20mm，腹杆为H400mm×400mm×13mm×21mm，钢材采用Q345B。在PKPM中获得单塔楼楼层的质量为376.80t，楼面质量为328.20t，连体质量为154.33t，单塔沿连体方向层抗侧刚度为9.1797×106kN／m，混凝土强度采用C40。分析8度多遇、罕遇地震作用下，刚性连体结构的非平稳随机地震响应与动力可靠度。塔楼结构考虑刚度退化的Bouc－Wen光滑滞回模型，各塔楼楼层的参数取值［5］：n＝1，Al＝1，β＝0.8，δA＝δυ＝0，γ＝0.2，αL1～αLi＝0.2，αR1～αRj＝0.2，δη＝0.000 1，位移限值b＝H／100，其中H为楼层层高度。

图2 连体结构三维透视图Fig.2 3DPerspective of connected structures

地震 动 模 型 参 数 取 值［12］：ωg＝ 15.71，ωf＝0.15ωg，ζf＝ζg＝0.72。根据该模型，推算多遇、罕遇地震作用下单边功率谱强度，罕遇地震作用时谱强度为S0＝2.33×102m－2s－3，其输入的功率谱密度曲线见图3，地震动持时取t＝20s。时间包络函数g（t）参数取值为：c＝0.35为衰减系数，t1＝0.8s和t2＝7.0s。

图3 加速度功率谱密度函数Fig.3 power spectrum density function on acceleration

4.2 非平稳随机地震响应分析

采用上述理论对给定算例进行8度罕遇地震下连体结构非平稳随机地震响应分析。得到连体位于2层、5层、8层、11层及14层（右塔顶层）时左右塔楼各层最大层间位移方差曲线如图4所示，当连体位于2层、8层及14层时，连体层及毗邻楼层、底层及顶层各楼层时变方差曲线如图5～7所示，由图形可以看出：

图4 层间位移方差最大值比较Fig.4 The comparison of maximum inter－story displacement variance

图5 连体位于2层时塔楼层间位移时变方差曲线对比Fig.5 Inter－story displacement time－history variance while connection in 2st story

1）连体结构在非平稳随机激励下，塔楼层间位移响应呈现强烈非平稳性，时滞现象较明显。

2）在连体设置楼层的相邻楼层处，位移时变方差曲线出现突变，说明相邻楼层为结构的薄弱楼层，对比左右塔楼，左塔楼（16层）突变程度较右塔楼（14层）明显，结构设计时应该作为薄弱层予以处理和加强。

3）随着连体位置上升，对左塔楼：随着连体上移，楼层位移时变方差最大值呈现先增大后减小的趋势，即连体位于中间楼层位置时时变方差最大，当位于连体位移顶层时各楼层位移时变方差最小，但此时连体以上2层的响应呈现放大趋势，为结构设计中应予以加强楼层；对右塔楼：当连体位于顶层时位移时变方差值最大，当连体位于中间楼层时时变方差最小。

图6 连体位于8层时塔楼层间位移时变方差曲线对比Fig.6 Inter－story displacement time－history variance while connection in 8st story

图7 连体位于14层时塔楼层间位移时变方差曲线对比Fig.7 Inter－story displacement time－history variance while connection in 14st story

4）实际连体结构设计时应综合考虑左右塔楼的地震响应影响，由图形变化规律可以看出，当连体位于非对称塔楼的中间楼层时，结构在其相邻楼层会产生位移突变，时变位移方差变化比较明显，即产生刚度突变。

4.3 动力可靠度分析

根据所得非平稳随机地震响应分析统计量，基于首次超越破坏准则，依据公式（19）～（22）计算8度罕遇地震下连体位于不同楼层时连体结构的动力可靠度，图8为分塔楼楼层动力可靠度。层间位移限值取建筑抗震规范规定的位移角限值，即满足结构在大震不倒要求，罕遇地震下弹塑性位移角取1／100，由图8可以看出：

1）连体的设置使得左塔楼结构毗邻楼层结构的可靠度降低很多，实际结构设计时宜予以加强，对右塔楼可靠度虽在毗邻楼层有一定影响，但影响不明显。

图8 塔楼楼层动力可靠度Fig.8 Reliability of each floor on the tower building

2）针对连体结构，无论左右塔楼，以连体为分界，各楼层可靠度随楼层位置上升而逐渐增大，连体设置使得体系可靠度降低很多的原因是连体的设置使得连体楼层成为整个结构的刚度突变部位，实际结构设计时宜在相邻楼层设置转换层，尤其应注意高塔或刚度较小塔楼的设计问题。

3）由图8可进一步看出，当连体位于11层到14层时，结构可靠度突变不再明显，且体系可靠度均较高，证明在实际结构设计中宜将连体设置在双塔楼的上部，这也与已有的实际工程设计结论相一致，从而证明了本文分析的正确性。

5 结 论

1）将虚拟激励法与混合精细积分法结合用于弱连体结构的非平稳随机地震响应分析，方法简单，计算效率高，适用性广。

2）基于非平稳随机地震激励下弱连体结构随机地震响应和动力可靠度分析，可较方便地对连体结构薄弱部位进行识别，使得对于连体结构的设计和研究具有一定的指导意义。

3）刚性连体位置变化对连体结构在非平稳随机地震激励项的可靠度影响显著，从概率意义上论证了连体常设置在塔楼中上部的实际工程现象。

4）对非对称双塔连体结构，连体位置的变化对高塔楼或相对弱刚度塔楼的影响较低塔楼更加明显，实际工程设计中应予以重点关注。

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