知难而“退” 彰显数学大智慧

江苏灌南县第二实验小学（222500） 朱晓林

华罗庚先生曾说：“当我们遇到一个较复杂的数学问题时，我们要知难而退，退到事物最简单的情况去观察、去思考，以找到规律。”退是为了更好的进，在退进之中，彰显出了数学的大智慧。

一、退到起点，化复杂为简单

知难而退，就是指在学习中遇到困难时，不是向前冲，而是往后退，退到最简单而不失其本质属性时，再来解决问题。

如“解决问题的策略”教学片段。

师：我手上有一张纸，撕两下可以撕成几片？

生1：四片。

师：还有其他答案吗？

生2：还可能是3片，6片等。

师：大家看我这样撕，将一张纸片撕成了四片，如果我再把这四片中的一片撕成四片，一直这么操作下去，能否撕成3000片、3001片、3002片？（学生猜测，有的动手要试一试）

师：可是撕不了几次，你就会搞不清楚已经撕了多少片。

生3：那该怎么办呀？

师：精彩继续，让我们接着看，一片撕成4片，从中拿一片再撕成4片，现在是几片？继续……

生4：7 片、10 片、13 片……（师板书：1、4、7、10、13……）

生5：不用接着写了，我们可以找出规律。

师：你发现了什么？说出来听听。

生5：我发现撕成的片数是3的倍数加1。

师：天啊，这么难的问题都被你们解决了，真是太了不起了。

生5：我还知道3000不能，3001能，3002不能。

在教学过程中，教师要让学生在玩中学，体会数学的有趣，同时学生也学会了当解决问题受阻时，可以回头看，退到起点重新审视，这样就将复杂问题转化成了简单问题，从而找出规律，轻松解决问题。

二、以退为进，发现本质规律

知难而“退”中的退不是放弃，不是无原则的退，而是要以退为进，发现问题的本质。

如在教学“找规律”时，教师为学生创设了一个宴会握手的情境：某公司在新年前夕举办了一场“迎新春，铸辉煌”企业年会，共100人参加。在宴会上为了介绍自己和加深交流，每两个人都会握手一次。

师：同学们，你知道在本次宴会中，共握手多少次吗？（学生有的陷入迷茫中不知所措，也有的又画又算煞是忙碌，但是都没有得出结果）我们为什么不从简单处着手，退回到最初的状态呢？当一个人时不需左手握右手，也就是0次；两个人时，需握手1次；三个人呢？需握手几次？大家可以表演一下。

生：3次，除自己之外，都需和另外两人握手1次，同时握手不用你与我握完，我再与你握，所以共计3次。

师：“除自己之外，不用重复再握”，说得很好，那么你现在能得出答案了吗？

生：100人中每一人都会与其他99人握手，又不需要重复握，所以可以列式为 100×（100－1）÷2＝4950，所以本次宴会共握手4950次。

师：真厉害，那要是用n来表示人数，你能用一个关系式表示出来吗？

该教学片断体现出了由特殊到一般的过程，当数字比较大时，就退到了最简单的情况，让学生逐渐深入发现规律，再应用规律，从而更好地解决问题。

三、进退之中，尽显数学智慧

遇挫时后退，在退到起点后寻找规律，在应用规律时前进，并不要忘了回头看，这看似很简单，但却是好多教师在教学时做不到的。

如在学习“用计算器探索积的变化规律”时，我让学生用计算器计算“58×900000000”的结果。有的学生说：“老师，我的计算器坏了，出了5.22E10，这是怎么回事？”这时我想学生还没有学习科学记数法，只能说：“没事，那是你的计算器显示不出这么长的数位，这不是坏了，等以后你就知道这样表示的意义了。”学生又问：“那现在怎么办？”带着这个问题，我让学生进行了探究。先将这一计算退回到起点，计算 58×9＝？58×90＝？58×900＝？让学生观察积的变化，学生很快就得出了结论：当一个因数不变，另一个因数扩大多少倍，得到的积也就扩大多少倍。由此不用计算器也可以得出“58×900000000＝52200000000”，这样学生也就能对于积的变化规律有了更深的认识。

总之，以退为进，在退与进的有效结合中提高学生的发现与提出问题、分析与解决问题的能力，才是教学的智慧。