快速在线处理中子核截面的修正多普勒展宽方法

朱金辉，谢红刚，牛胜利，左应红

（西北核技术研究所，西安710024；强脉冲辐射环境模拟与效应国家重点实验室，西安710024）

快速在线处理中子核截面的修正多普勒展宽方法

朱金辉，谢红刚，牛胜利，左应红

（西北核技术研究所，西安710024；强脉冲辐射环境模拟与效应国家重点实验室，西安710024）

在模拟计算高温系统中子输运问题时，为了快速在线处理中子核截面，基于多普勒展宽原理，发展了一种修正多普勒展宽方法。通过在低能区引入低能截面修正因子、调整计算方法及合理设置数值积分计算参数等，进行了数值算法优化，探讨了NJOY程序对高能区中子截面展宽的限制及影响，在自主开发的蒙特卡罗输运程序中实现了中子截面的快速在线展宽处理，并比较了NJOY程序与本文程序计算的截面数据。结果表明，本文程序给出的高温展宽截面准确性高，计算效率能满足快速在线展宽需求，可高效处理在线中子截面展宽问题。

中子截面；多普勒展宽；修正

物理热工耦合粒子输运计算中，系统的温度不断变化，要用到不同温度点的中子截面数据。当系统的温度不同于已有截面数据所对应的温度时，需采用经过多普勒展宽的截面数据进行输运计算。中子截面多普勒展宽会导致中子宏观截面发生变化，对高温系统中子输运的计算结果产生重要影响。在以往的研究中，通常事先确定温度范围，采用截面处理程序，如NJOY［1］，生成不同温度点的截面数据，在实际使用时用插值方法获取当前系统温度所对应的截面。但截面精度依赖于程序选择较小的参考温度间隔［2］，如Trumbull认为温度间隔不大于28K方可保证插值方法的精度［3］，这样小的温度间隔将造成参考截面库所占存储空间增大，对温度变化较大的系统不太适用。

随着计算机性能的不断提升，不需预先制作生成温度截面的在线展宽方法成为近年来研究的热点。清华大学的李松阳等人用两种方法实现了中子截面在线多普勒展宽［2，4-7］，其中，快速多普勒展宽方法（fast Doppler broadening，FDB）具有较高的计算效率，被应用到截面处理程序TRMC［2］中，但该方法不适用于低能区，文献［2］中低能区仍采用NJOY程序处理中子截面。为了在低能区也能实现快速多普勒展宽，本文基于FDB发展了一种快速在线的修正多普勒展宽方法（amendatory Doppler broadening，ADB），通过在低能区引入低能截面修正因子，合理设置计算参数和程序优化，实现了中子截面的快速准确展宽计算。将本文建立的方法与NJOY程序进行了对比，研究了NJOY程序在高能区对中子截面展宽的限制及影响。

1 快速多普勒展宽方法优化

评价核数据库ENDF／B中的截面一般是0K温度截面数据，即中子与静止靶核的反应截面。实际上，靶核一直处于热运动中，中子入射时，将根据靶核热运动速度分布，使中子与靶核的相对速度及对应的相对能量在一定范围内展开，从而导致中子与靶核相互作用的宏观截面不同于0K（绝对零度）温度截面，而应取一个平均值，将该平均值定义为多普勒展宽有效截面［2］，即

其中，ρ为靶核原子数密度；σ为多普勒展宽有效截面；T为靶核温度；v为入射中子速度；v′为靶核热运动速度为中子与静止靶核的反应截面；P（v′，T）为靶核热运动速度分布函数，通常认为P（v′，T）满足麦克斯韦玻耳兹曼分布：

其中，α＝m／（2kT），k为玻耳兹曼常数；m表示靶核质量。

设中子与靶核的相对速度为V＝｜v－v′｜，对式（1）进行分部积分，得到多普勒展宽有效截面的标准形式：

式（3）可表示为两部分：

其中，

定义无量纲变量y＝vα1／2，x＝Vα1／2，式（5）变为

式（6）中，xi由中子与靶核的相对速度V决定，是一系列离散值，计算式（6）时，采用分段积分再求和得到总积分，分段数N由评价核数据库ENDF／B中xi的点数确定。在传统方法的展宽程序，如NJOY中，用解析积分形式计算式（6）的积分值，需要计算误差余函数或进行泰勒展开，计算量较大。李松阳等人提议［2］，在xi＋1－xi＜1时，采用两点高斯勒让德积分数值计算；考虑到数值计算误差，在xi＋1－xi＞1时，仍采用传统方法计算。

本文认为，针对xi＋1－xi较大的情况，可以将［xi，xi＋1］分为几个较小的区间，先求出较小区间端点的截面，即［xi，xi＋1］区间的中间节点的截面，再采用数值积分进行求解，即可达到精度要求。同时，在采用高斯勒让德积分计算［xi，xi＋1］区间内的积分值时，需要插值计算中间能量点的反应截面。在［xi，xi＋1］区间较小时，采用梯形积分可在不降低计算精度的条件下减小计算量，而在［xi，xi＋1］区间较大时，可将其分为几个较小的区间进行计算。即，在xi＋1－xi＜δx时，采用梯形积分；在xi＋1－xi＞δx时，将［xi，xi＋1］区间分为几个不大于δx的区间进行梯形积分，所分小区间数为ent（（xi＋1－xi）／δx）＋1。

选择56Fe作为靶核，计算给出了选取不同δx时，上述快速多普勒展宽方法与NJOY程序计算的截面数据，如图1所示。图中还提供了未经展宽时，0K的截面数据作为对比。

由图1可见，当δx＝1.0时，计算结果在部分区域存在较大偏差，而当δx＝0.5时，本文方法计算结果与NJOY程序的计算结果基本一致。在实际应用中，取δx≤0.5即可；本文后续计算中，取δx＝0.5。

对在线展宽，计算速度是截面展宽程序重点关心的指标。在对式（6）进行数值积分计算时，为计算不同能量中子的运动速度，需进行开方运算，这会显著降低计算效率。为提高计算速度，本文对计算过程优化为：将相关节点能量的中子速度，在数据预处理时先行计算并存储起来，数值积分计算时，可直接调用。经对比，采用此优化后，平均计算效率提高约1个量级。

同时，为避免不必要的展宽计算，在当前能量所处区间［xi，xi＋1］较大时，可直接用插值方法求得当前能量所需的截面。经分析，当xi＋1－xi≥8时，评价核数据库ENDF／B中的截面数据较光滑，因此可不进行展宽计算，直接用插值处理。

另外，传统的截面展宽程序通常从0K截面开始展宽。文献［8］指出，可根据任意已有的温度截面数据和温度差，按照多普勒展宽方法给出更高温度的截面数据。本文计算均从温度为300K的截面开始展宽。对大多数核素，300K时截面数据对应的能量点较0K时少，因此，从300K的截面数据开始展宽，有利于提高在线展宽效率。以56Fe的中子截面数据为例，在ENDF／B VII.1（发布时间为2011年11月）库中，0K时截面数据对应的能量点有48 949个，300K时截面数据对应的能量点有39 237个，从300K的截面开始展宽，相比从0K截面数据开始展宽，理论上可使计算效率提高约20%。

2 修正快速多普勒展宽方法

采用第1节给出的快速多普勒展宽方法计算了不同温度下56Fe的总截面，并与NJOY程序给出的中子截面进行了对比，结果如图2所示。

由图2（a）可见，在中子能量大于8.62×10－11TMeV的高能区，无修正的快速多普勒展宽方法计算得到的截面数据，与NJOY程序计算给出的数据一致；而在能量小于8.62×10－11TMeV的低能区，截面数据存在系统偏差，无修正的快速多普勒展宽方法计算结果大于NJOY程序的计算结果，且当温度相同时，能量越低，系统偏差越大。

鉴于上述结果，在快速多普勒展宽方法中引入了低能截面修正因子F，它类似于自由气体热运动模型中的弹性散射截面修正因子，表达式为

其中，A为原子量；E为中子能量；T为温度；erf（a）为误差函数。

采用快速多普勒展宽计算方法和修正因子F后，计算得到的56Fe截面数据一并示于图2。

从图2可以看到，在温度范围为103～106K的低能部分，经修正后的展宽截面与NJOY程序计算结果一致，说明修正后消除了系统偏差。由式（7）和式（8）可知，当中子能量位于高能区时，即E较大时，a较大，使修正因子F近似为1，因此，可以在低能区及高能区采用统一的修正因子F。对多种核素的大量对比计算表明，本文给出的修正方法适用于不同核素在低能非共振区不同温度条件下的截面计算。

3 NJOY程序中子截面展宽的能量上限

图3给出了106K时，本文计算的56Fe在0.85 MeV附近展宽截面和NJOY程序计算结果的对比。

从图3可以看到，在E＜0.85MeV时，本文计算结果与NJOY程序给出的结果一致，而在E＞ 0.85MeV时，NJOY程序的计算结果与0K时的截面一致。显然，在E＞0.85MeV时，NJOY程序并没有对截面进行展宽，而是沿用了0K时的截面数据。对此，文献［9］中给出了简短说明，即“NJOY展宽的截面数据包括经过展宽的弹性散射截面、俘获截面、裂变截面以及一些低阈值（＜1eV）的吸收反应，而非弹性散射截面不会被NJOY程序展宽”。

事实上，NJOY程序在执行过程中，将非弹性散射截面对应的能量阈值Eth设定为展宽处理的能量上限。也就是，在非弹性散射能量阈值Eth以上的能量区间，NJOY程序将直接使用0K截面数据。观察相关截面数据发现，不同核素的非弹性散射截面阈值Eth不同：对较轻核素，Eth一般在MeV量级；对较重核素，Eth在1～100keV水平；Eth并非随原子序数的增加单调下降。

NJOY程序采用上述阈值，可能基于以下理由：在通常研究的不超过104K温度范围内，高温引起的多普勒展宽效应对较高能量入射中子的截面数据影响较小。事实上，多普勒展宽的能量范围约为其中，Em＝16 kT／A。如果在范围内中子截面有明显变化，则多普勒展宽会显著影响中子宏观截面。例如，图3中106K时，56Fe在0.86MeV附近的中子截面与展宽后的中子截面最大偏差约为50%。可见，由于NJOY程序的中子截面展宽存在能量上限，在较高温度下用NJOY程序计算截面时，计算结果可能会产生偏差，需引起注意。

4 在线展宽及计算效率对比

在线展宽是指在模拟计算中根据材料的实际温度和中子能量直接计算中子的宏观截面。本文将ADB方法应用于自主开发的蒙特卡罗输运程序TOPAN［10］中，实现了任意温度下宏观截面的在线展宽。

在处理粒子输运问题时，展宽的宏观截面主要用来抽取自由程和选择碰撞核。在处理具体反应类型时，一般先抽取靶核速度，计算出相对速度和相对能量Er，再根据Er对应的中子微观截面，处理中子与靶核的相互作用。因此，可采用如下流程实现变温系统中的粒子输运模拟：

1）读取材料温度并在线展宽材料各核素的总截面，根据各核素的原子数密度计算得到各核素的宏观截面和材料的总宏观截面；

2）根据总宏观截面抽取自由程，再根据各核素宏观截面选择碰撞核；

3）抽取靶核速度，计算相对能量Er和各类型反应的微观截面；

4）抽样反应类型，计算质心坐标系下次级粒子参数；

5）根据靶核速度，计算给出实验室坐标下的次级粒子参数；

6）继续跟踪次级粒子。

为定量说明粒子输运模拟计算中上述在线ADB方法的计算效率是否满足需求，建立了一个包含铀、铁、碳、氢等核素的计算模型。表1给出了该模型在不同温度下进行计算时，粒子输运计算的总时间及在线展宽截面所用的时间对比。

由表1可见，在温度较低时，截面在线展宽计算时间占计算总时间的比例很小；随着温度增加，在线展宽计算时间逐渐增加；温度为107K时，在线展宽计算时间已超过计算总时间的一半。总体而言，本文实现的在线ADB方法的计算效率能够满足在线展宽需求。

5 小结

基于FDB快速多普勒展宽方法，发展了一种快速在线的修正多普勒展宽方法。计算结果表明，在低能区修正后的截面数据与NJOY程序给出的结果一致；在高能区克服了NJOY程序的展宽能量限制。在自主开发的蒙特卡罗粒子输运程序中实现了在线截面展宽，在常见温度范围内增加的截面展宽计算时间较少，能够满足在线展宽计算需求，说明本文给出方法能够应用于物理热工耦合计算等复杂系统的模拟计算中。

［1］MACFARLANE R E，MUIR D W.The NJOY nuclear data processing system：version 91［R］.LA－12740－M.Los Alamos National Laboratory，1994.

［2］李松阳.在线多普勒展宽与核截面处理方法研究［D］.北京：清华大学，2012.（LI Song－yang.Research on the methods of online Doppler broadening and nuclear cross section processing［D］.Beijing：Tsinghua University，2012.）

［3］TRUMBULL T H.Treatment of nuclear data for transport problems containing detailed temperature distributions［J］.Nuclear Technology：A Journal of the American Nuclear Society，2006，156（1）：75 86.

［4］李松阳，王侃，余纲林.中子核截面在线多普勒展宽方法研究［J］.原子能科学技术，2013，47（3）：337 342.（LI Songyang，WANG Kan，YU Gang－lin.Research on on－the－fly Doppler broadening method for neutron cross section［J］.Atomic Energy Science and Technology，2013，47（3）：337 342.）

［5］李松阳，王侃，余纲林.中子截面Doppler展宽算法及并行计算方法［J］.清华大学学报：自然科学版，2012，52（4）：523 526.（LI Song－yang，WANG Kan，YU Gang－lin.Parallel computing for Doppler broadening of neutron cross sections［J］.J Tsinghua Univ（Sci ＆Tech），2012，52（4）：523 526.）

［6］李松阳，王侃，余纲林.MCNP温度相关中子截面库的研制及基准验证［J］.原子能科学技术，2009，43（5）：385 388.（LI Song－yang，WANG Kan，YU Gang－lin.Development and benchmark validation of temperature－dependent neutron crosssection library for MCNP［J］.Atomic Energy Science and Technology，2009，43（5）：385 388.）

［7］余健开，李松阳，王侃，等.反应堆用核截面处理程序RXSP的研发与验证［J］.核动力工程，2013，34（增刊1）：10 13.（YU Jian－kai，LI Song－yang，WANG Kan，et al.Development and validation of nuclear cross section processing code for reactor analysis RXSP［J］.Nuclear Power Engineering，2013，34（S1）：10 13.）

［8］FORREST B B.The makxsf code with Doppler broadening［R］.LA－UR－06－7002.Los Alamos National Laboratory，2006.

［9］X－5Monte Carlo Team.MCNP A general Monte Carlo N－particle transport code：version 5［R］.LA－CP－03－0284.Los Alamos National Laboratory，2003.

［10］朱金辉，卓俊，牛胜利，等.中子光子输运程序TOPAN的开发与验证［J］.原子能科学技术，2012，46（11）：1 287 1 291.（ZHU Jin－hui，ZHUO Jun，NIU Sheng－li，et al.Development and validation of neutron and photon transport code TOPAN［J］.Atomic Energy Science and Technology，2012，46（11）：1 287 1 291.）

Fast Online Processing of Neutron Cross－Section by an Amendatory Doppler Broadening Method

ZHU Jin－hui，XIE Hong－gang，NIU Sheng－li，ZUO Ying－hong
（Northwest Institute of Nuclear Technology，Xi'an 710024，China；State Key Laboratory of Intense Pulsed Radiation Simulation and Effect，Xi'an 710024，China）

For the purpose of fast broadening neutron cross－section online in neutron transport calculations in high－temperature system，an amendatory Doppler broadening（ADB）principle was developed based on Doppler broadening method.An amendatory factor was proposed to correct the low－energy neutron cross－section，and the algorithm was optimized by adjusting the calculation techniques and selecting the appropriate numerical parameters.Fast online processing of neutron cross section by ADB method was realized in the Monte Carlo program developed by ourselves previously.The comparison between results of the calculation and that of NJOY program indicates that an energy－limitation exists in NJOY program in the high－energy region，and the ADB method is relatively accurate and efficient，and can satisfy the needs for fast broadening neutron cross－section online.

neutron cross－section；Doppler broadening；amendatory

TL32

A

2095 6223（2015）03 163 05

2015 04 21；

2015 06 01

朱金辉（1978－），男（土家族），湖南慈利人，副研究员，博士，主要从事粒子输运的蒙特卡罗模拟研究。

E－mail：zhujinhui＠nint.ac.cn