薛定谔方程中分离变量常数的确定

杨春艳 吉 恒

(1.玉溪师范学院 理学院,云南 玉溪 653100；2.通海县第二中学,云南 通海 652701)

［物 理］

薛定谔方程中分离变量常数的确定

杨春艳1吉 恒2

(1.玉溪师范学院 理学院,云南 玉溪 653100；2.通海县第二中学,云南 通海 652701)

薛定谔方程；分离变量；常数

现行原子物理教材和量子力学教材中,在由含时薛定谔方程推导定态薛定谔方程时存在仅以“以E表示这个常量”作为分离变量常数取粒子能量的阐述,这是不够严谨的。为此,如果能对其进行简单但严密的数学推理,则可弥补其存在的这一不足之处。

德布罗意的物质波假设得到实验验证后,为解决物质波概率的空间分布及此分布随时间如何变化的问题,薛定谔在其导师拜德：“有了波,就应有一个波动方程”［1］的启示下,于1926年提出了薛定谔方程,其简要过程如下。

而对于自由粒子,其波函数为

类比于波动现象,应存在一个波动方程,它既要与式(1)一致,又要在V=0时其解为式(2)。于是联立(1)、(2)得

上式即为一般粒子的含时薛定谔方程。当粒子所处力场的势能为V=V)(定态)时,上式左、右两侧显然分别只是对空间和时间的运算,故可取分离变量式

代(4)入(3)得

显然,(5)中的分离变量常数C1应为一个既不依赖于时间,也不依赖于空间的常数。现行原子物理教材［1～2］和量子力学教材［3］中讲到此处时,均以“以E表示这个常量,其中E为粒子的能量”［3］进行描述,而未进行严密的逻辑验证,此种处理方式显然是缺乏说服力的,这体现了现行教材中的逻辑漏洞。

为弥补上述不足,授课时可作如下简单但严密的数学推理：

由式(5)第二个等式得

代(6)入(4),应用并合原则得粒子的定态波函数

对比式(7)和(2),根据物质波三个标准条件中的单值条件,有

显然

证毕。

［1］杨福家.原子物理学［M］.北京：高等教育出版社,2008.

［2］褚圣麟.原子物理学［M］.北京：高等教育出版社,1979.

［3］周世勋.量子力学［M］.北京：高等教育出版社,1979.

The Determination of Variable-Separating Constant of Schrodinger Equation

YANG CHun Yan1JI Heng2
(1.School of Science,Yuxi Normal University,Yuxi,Yunnan 653100；2.Tonghai No.2 Middle School,Tonghai,Yunnan 652701)

Schrodinger equation；separation variables；constant

The current atomic physics teaching materials and textbooks of quantum mechanics have not given a precise reason why the separation variable takes the constant of particle energy in the derivation of stationary Schrodinger equation from time-dependent schrodinger equation.The author believes a simple but strict mathematical reasoning can make up for the shortcomings of this place.

杨春艳,硕士,讲师,研究方向：电磁场、电磁波、原子物理学和理论力学。

O434.1

A

1009-9506(2015)12-0059-02

2015年7月12日