一类分数阶微分方程组边值问题的正解

李耀红，汪洪燕，刘 添，楚云云

宿州学院数学与统计学院，安徽宿州，234000



一类分数阶微分方程组边值问题的正解

李耀红，汪洪燕，刘 添，楚云云

宿州学院数学与统计学院，安徽宿州，234000

利用Krasnosel’skii锥不动点定理,研究了一类非线性分数阶微分方程组边值问题。将该问题转化为等价的积分边值问题,结合其格林函数形式和性质,构造一个新的锥，获得了其正解的存在性，并给出了应用实例。

正解;边值问题;分数阶微分方程组;不动点定理

考虑一类非线性分数阶微分方程组边值问题：

(1)

1 预备知识

为方便读者,首先列出本文中有关分数阶导数和积分的定义及定理。

定义1[11]函数y:(0,∞)→的α>0阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为：

定义2[11]函数y:(0,∞)→的α>0阶Riemann-Liouville分数阶微分定义为：

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cntα-n,ci∈，i=1,2,…,n,其中n如定义2所述。

引理2[11]若u(t)∈C(0,1)∩L(0,1)且α>0,其分数阶导数属于u(t)∈C(0,1)∩L(0,1),则

其中n如定义2所述。

下面给出分数阶微分方程的格林函数及性质。

引理3[6]令3<α≤4且y(t)∈C(0,1),则方程

(2)

的唯一解是

(3)

其中

(4)

这里G(t,s)称作边值问题(2)的格林函数。

注1 记Gi(t,s)为(4)中α换成αi所得到的格林函数。

引理4[6]由(4)定义的函数Gi(t,s)满足下面的条件：

(1)Gi(t,s)=Gi(1-s,1-t),t,s∈(0,1);

(2)(αi-2)tαi-2(1-t)2s2(1-s)αi-2≤Γ(αi)Gi(t,s)≤Mis2(1-s)αi-2;

(3)Gi(t,s)>0,t,s∈(0,1);

注2 令qi(t)=tαi-2(1-t)2,ki(s)=s2(1-s)αi-2,则

(αi-2)qi(t)ki(s)≤Γ(αi)Gi(t,s)≤Miki(s)。

(1)‖Au‖≤‖u‖,∀u∈P∩∂Ω1;‖Au‖≥‖u‖,∀u∈P∩∂Ω2。

(2)‖Au‖≥‖u‖,∀u∈P∩∂Ω1;‖Au‖≤‖u‖,∀u∈P∩∂Ω2。

2 主要结果

T(u,v)=(T1(u,v),T2(u,v))

(5)

其中

(6)

(7)

引理6 若f1,f2∈C([0,1]×××)，则(u,v)为分数阶边值问题(1)的解，当且仅当(u,v)为T(u,v)=(u,v)的不动点。

证明 利用引理3，类似与文[9]引理4易证。

注3 若(u,v)满足(1)式且u(t)>0,v(t)>0,∀t∈[0,1],则称(u,v)为(1)的正解。

引理7 算子T:K→K是全连续的。

证明 先证算子T:K→K。由于引理4知Gi(t,s)≥0,∀t,s∈(0,1)且注意到fi≥0,易知Ti(u,v)(t)≥0,∀t∈[0,1]。对∀(u,v)∈K，由(6)(7)式，利用引理4可知：

(8)

(9)

故有

因此,算子T:K→K，直接利用Ascoli-Arzela定理，易证算子T:K→K是全连续的。

为方便，引入如下记号：

下文中令r=min{r1,r2},R=max{R1,R2},其中

定理1 若f10,f20∈[0,r)且f1∞,f2∞∈(R,+∞],则边值问题(1)在K中至少有一个正解。

证明 从引理6知,只需证明算子T在K中至少有一个不动点。由假设f10,f20,∈[0,r),则存在u1>0和一个充分小的ε1>0使得

fi(t,u,v)≤(fi0+ε1)(u+v),i=1,2,∀t∈[0,1],‖(u,v)‖≤μ1

(10)

其中fi0+ε1≤r。

即

‖T(u,v)‖=‖T1(u,v)‖+‖T2(u,v)‖≤‖(u,v)‖,∀(u,v)∈∂Ω1∩K

(11)

又由f1∞,f2∞∈(R,+∞],则存在l>μ1>0和一个充分小的ε2>0,使得

fi(t,u,v)≥(fi∞-ε2)(u+v),i=1,2,∀t∈[0,1],u+v≥l

(12)

因此

‖Τ(u,v)‖=‖Τ1(u,v)‖+‖Τ2(u,v)‖≥‖(u,v)‖,(u,v)∈∂Ω2∩Κ

(13)

例1 考虑下列非线性分数阶微分方程组边值问题(14)。

(14)

这里α1=3.5,α2=3.25,f1(t,u,v)=0.25(1+t)[(u(t)+v(t)2)+10sin(u(t))+v(t))],f2(t,u,v)=0.5(u+v)[200-195(u2(t)+v2(t)+1)-1]。直接计算可知f10=5,f20=8，f1∞=+∞,f2∞=320,利用Matlab计算软件可得r=8.8055,R=301.8182,则定理1的条件均满足，因此边值问题(14)至少有一对正解。

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(责任编辑：汪材印)

10.3969/j.issn.1673-2006.2015.03.023

2014-11-13

安徽省高校自然科学研究重点项目“非线性分析在具有耦合积分边值条件的分数阶微分方程组中的应用”(KJ2014A252)；安徽省大学生创新创业训练计划项目“分数阶微分方程组模型及应用”(201310379049)。

李耀红(1978-),湖北武汉人,硕士,副教授,主要研究方向:非线性泛函分析。

O177.91

A

1673-2006(2015)03-0087-03