高斯信道中功率分配问题的一种优化方法

郭菊喜

(岭南师范学院数学与计算科学学院, 广东湛江524000)

高斯信道中功率分配问题的一种优化方法

郭菊喜

(岭南师范学院数学与计算科学学院, 广东湛江524000)

信号检测中，检测概率一直是作为衡量检测性能的一个重要标准. 众所周知, Neyman-Pearson 准则下的最优检测是似然比检测. 然而多传感器系统下随着信号维数增加，似然比检测门限的计算涉及高维积分，计算困难相当大，因此文中考虑的高斯信号检测模型, 没有直接计算检测概率而是将两个密度函数的相对熵作为衡量检测性能的一个度量来研究高斯信号检测中功率的分配，并且建立了目标优化模型. 针对文中建立的优化问题, 首先由加强的Fritz John (F-J)必要条件证明了优化问题的局部最优解满足KKT(Karush-Kuhn-Tucker) 条件,并且进一步证明存在惟一的拉格朗日乘子. 然后利用凸函数的性质我们说明了D(P1‖P0)是tr(∑s)的非减函数, 最后在此基础上得到了优化问题的最优解, 即得到了功率分配矩阵. 同时也给出了特殊信道下的功率分配矩阵.

高斯模型; 相对熵; 拉格朗日乘子; KKT 条件

0 引言

在无线传感器网络中, 大量传感器被部署在一个区域监测环境中.每个传感器将其在二元假设下基于观测环境状态的不同观测值发送到融合中心,最后在融合中心作出总的决策.通常情况下由于传输信号功率限制, 在传输之前每一个传感器需要将其要传输的数据进行压缩.一种比较典型的方法就是首先在每一个节点处作出局部判决, 然后将判决数据传给融合中心, 这就是分布式检测方法. 分布式信号检测中,首先每个传感器对数据进行预处理, 得到的通常是有损压缩处理, 最终将这些预处理结果传递到融合中心 (FC).FC 根据接收到的信息依据判决准则做出最终的判决. 分布式多传感器的优点: 可以减少对通信带宽的要求、增加可靠性、减少单个传感器的性能要求和降低成本, 并有能力对快速变化的检测环境做出较好的适应. 然而与多传感器中心式方法不同，在分布式的检测中, FC 得到的是经过压缩后的信息, 这就使得相对于中心式的方法来说分布式的检测性能会有部分的损失. 这部分性能的损失可以经过对传感器信息的最优局部处理和融合来进行一定的弥补. 信号检测中通过优化找到检测错误概率最小的决策, 从而获得尽可能好的检测性能.

关于检测性能的研究已经有不少的研究成果. Reibman和 Nolte(1987) 研究的是分布式传感器融合系统的全局优化问题, 通过解决融合律和局部检测器的优化来获取整体的检测性能.同时可得到在局部阀值也没有融合律的先验信息的情况下, 如果这两者根据最优准则选取的话也可以得到分布式检测系统的全局优化性能[1]. Niu 和 Varshney(2008) 研究了无线传感器网络 (WSN) 中传感器随机部署的情形, 局部传感器的决策阀值是通过最大化检测系统的挠度系数 (Deflection Coefficient)来获得更好的检测性能[2]. 二元假设检验中, 无论是Bayes 准则还是Neyman-Pearson 准则下, 似然比检测都是局部最优的. 一般情况下, 在似然比检测中寻找最优的门限是非常困难的, 尤其是随着信号维数的增加, 关于 LRT(Likelihood Rratio Test)的计算也会因为涉及到高维积分而变得难以实现.为了解决实际问题, 一些近似计算方法应用而生. 就高斯随机变量而言, Liu, Tang 和Zhang(2009)提出了对非负定中心二次高斯变量的卡方近似方法, 利用非负定高斯二次型的前四阶矩计算非中心卡方分布的自由度和偏度以及峰度[3]. 另外,Kay提出对于均值不同的高斯假设检验问题, 检验性能是挠度系数的单调函数, 也就是错误检测概率是挠度系数减函数[4]. 因此为避免复杂的计算将挠度系数作为优化目标也是一种常见的近似方法. 在 Fang, Li, Chen 和Li(2012)的研究中, 确定性信号的分布式假设检验模型是通过最大化挠度系数，找到了特殊情况下和一般情况下的最优预编码矩阵和功率分配方式[5]. 2008年，Quan，Cui和 Sayed(2008)通过优化修正的挠度系数 (表征融合中心全局检测统计量的概率分布函数), 得到了一般情况下计算复杂度和最优解[6].

本文主要采用最大化相对熵方法对高斯信号模型中功率分配问题进行了研究. 文中利用信号模型建立了以相对熵为目标函数的功率优化模型.首先利用 F-J 必要条件得到局部最优解满足 KKT 条件,并进一步通过理论证明得到存在惟一的拉格朗日乘子, 然后利用凸函数的性质获得了相对熵D(P1‖P0)是tr(∑s)和的关系, 最后得到了功率分配矩阵.

1 预备知识及模型构建

在信号检测中,主要处理在带有噪声干扰的观测数据中通过检测判断有信号或者无信号的问题. 在噪声背景下检测信号的存在并估计信号的参量是通信与测量系统 (包括雷达系统) 的基本任务. 对于统计决策问题我们以引起最小的损失为目的作出判决. 根据传感器观测到的现象y做出假设H0或者是H1.二元假设检验的一般模型为

(1)

这里的H0和H1一般分别表示在信号 (s)不存在的情形和信号存在的情形,u是服从一定分布的噪声.检测是根据观测数据和一定的检测准则确定检验统计量,然后对各个假设进行统计检验后得到判决区域, 从而确定假设H0或者H1.由于随机噪声的影响, 判决结果不可避免地以一定的概率出现误差即检测错误概率.两种错误概率分别是虚警概率Pf=P(H1|H0)和漏解概率Pm=P(H0|H1),相应的检测概率为Pd=P(H1|H1).在检测中希望尽可能地减小两种错误概率,增大检测概率. Bayes判决中需要给出两种假设下的先验概率和考虑每种可能的判决的成本因素.在知道这些条件的情况下,Bayes准则可以容易地实施.然而在一些实际问题中要给出这些已知条件是非常困难的.这也使得Bayes判决不容易实现.为了解决实际问题并考虑到在检测问题中总是希望尽可能地减小虚警概率Pf，同时增大检测概率Pd.但事实上这两者不可能同时获得, 因此Neyman和Pearson提出了N-P检测准则：在给定虚警概率允许的上界情况下, 极大化检测概率, 这就是Neyman-Pearson准则 (N-P准则).

基于以上假设,当信号不存在时输出观测数据只与噪声相关，设其为y=u，这是对应于假设H0的.相应的信号存在时输出观测数据为y=HTs+u,这对应于假设H1.观测y在假设H0和H1下的分布如公式(2), 即假设检验模型为

(2)

∑1=HT∑sH+∑u,μ1=HTμs+μ0.

(3)

这里H,μs均为已知量,∑u是已知的非奇异矩阵. 至此由相对熵的定义[13]及公式(2)可得

.(4)

(5)

其中P是传输功率并且P是有限值, 同时

符号解释: 在本文中,使用到以下的一些符号:I表示单位矩阵,(·)T表示相应矩阵的转置,A≥B意味着A-B是半正定矩阵.

2 最大化相对熵方法求解检测问题

假设P0(y)和P1(y)是高斯密度函数, 基于式(3) 和式(4),问题 (5)可以重新表达为

(6)

(7)

其中λ是线性约束对应的拉格朗日乘子. 接下来我们给出引理1,证明式(6)的局部最优解满足KKT的条件, 其证明中利用Fritz John 必要条件[13].

(8)

(9)

证明λ*<0即可.

(10)

(11)

接下来利用等式(I+AB)-1A=A(I+BA)-1[14],对于(13) 可以得到如下结果

于是式(11) 可以重新表示为

(12)

(13)

我们知道对于两个半正定矩阵有如下性质: 如果两个半正定矩阵A,B满足AB0，那么有tr(A) ≥ tr(B).另外基于前面的讨论我们知道(P1‖P0)是关于∑s的凸函数.利用凸函数的性质可以得到:对任意两个方差矩阵∑s1≥0，∑s2≥0并且，tr(∑s1) ≥tr(∑s2),tr(∑s1)≤P,有

(14)

对于一些特殊的信道矩阵, 应用上述求解方法不难得到其功率分配矩阵：

1)令H=I并且假设tr(∑u)

2) 如果H=I,∑u=I，同样假设tr(∑u)

3 结论

[1] A. R. Reibman, L. W. Nolte, Optimal Detection and Performance of Distributed Sensor Systems, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Vol. Aes-23, No. 1, Jan. 1987.

[2] R. X. Niu and P. K. Varshney, Performance Analysis of Distributed Detection in a Random Sensor Field, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 56, No. 1, Jan. 2008.

[3] H. Liu, Y. Q. Tang and H. H. Zhang, A New Chi-square Approximation to the Distribution of Non-negative Definite Quadratic forms in Non-central Normal Variables, Computational Statistics and Data Analysis, Vol. 53, pp.853-856, 2009.

[4] S. M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing: Detection Theory. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1988.

[5] J. Fang, H. B. Li, Z. Chen and S. Q. Li, Optimal precoding design and power allocation for decentrilized detection of deterministic signals, IEEE Transactions on signal processing, Vol. 6, No. 6, Jun. 2012.

[6] Z. Quan, S. G. Cui and A. H. Sayed, Optimal Linear Cooperation for Spectrum Sensing in Cognitive Radio Networks, IEEE jouranl of selected topics in signal processing, Vol. 2, No. 1, Feb. 2008.

[7] T. M. Cover and J. A. Thomas, Elements of information theory, New York: Wiley, 1991.

[8] J. Tang, N. Li ,Y. Wu and Y. N. Peng , On Detection Performance of MIMO Radar: A Relative Entropy-based Study, IEEE Signal Processing Letters, Vol. 16, No. 3, Mar. 2009.

[9] H. Jeffreys, An Invariant Form for The Prior Probability in Estimation Problems, Proc. Roy. Soc. A., Vol. 186, pp.453-461, 1946.

[10] T. Kailath, The Divergence and Bhattacharyya Distance Measures in Signal Selection, IEEE Trans. Commun. Technol., Vol. 15, No. 2, pp. 52-60, Feb. 1967.

[11] H. Kobayashi, Distance Measures and Asymptotic Relative Efficiency, IEEE Trans. Inf. Theory, Vol. 16, No. 3, pp. 288-291, May 1970.

[12] H. Kobayashi and J. B. Thomas, “Distance Measures and Related Cri- teria,” Proc. 5th Annu. Allerton Conf. Circuit System Theory, pp. 491-500, Oct. 1967.

[13] D. P. Bertsekas, Nonlinear progamming, Belmont MA:Athena Scientific, second edition, 1999.

[14] K. B. Petersern and M. S. Pedersern,The Matrix cookbook, http://matrixcookbook.com, Nov. 2008.

2015-11-10

郭菊喜(1987—), 女,甘肃平凉人，助教，硕士, 主要从事统计分析方面的研究.

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1009-2102(2015)04-0014-05