无限循环小数中的一个悖论

刘江朝

摘 要：悖论，一直是长期困扰我们的难题，即使在科技高度发展、文明高度繁荣的今天，依旧或者绝大部分的难题没有得到很好的解答，如：忒修斯之船悖论、鸡蛋悖论……

关键词：无限循环小数

无限循环小数于我们而言肯定是再熟悉不过了，那么你是否想过无限循环小数上是否也存在悖论呢？即0.9= 1？我想大多数人都会回答0.9≈ 1，但是我却认为0.9= 1 。

何为悖论，就我的理解而言，我觉得应该就是按照正常的逻辑却能推导出与之互相矛盾的结果;如：一艘船的所有零件都换成新的后，那么船还是原来的船吗？如果你认为是，那么你考虑一下：船的组成部分已经全部被替换了，为什么还是原来的船呢？如果你认为不是，那么我也想多问一句，你既然认为不是，那么按照你的逻辑，我们都知道人体的细胞每七年就会更新一次，那么这样说的话，七年前的我跟七年后的我岂不是不是同一个我，这样真的对吗？这就是有名的“忒修斯之船悖论”，不管你认为对或不对，你都应该给出证明过程，说服对方。我记得Thomas Hobbes和John Locke就尝试对它进行解答，然而却无疾而终;此外，我还举一个比较有意思的悖论，那就是我们日常生活中常常讨论的鸡与蛋悖论，“到底是先有鸡还是先有蛋？”，貌似这好像是一个无解的问题，你若说是先有鸡后有蛋，那么我就该反问你，鸡不就是从蛋里孵化出来的吗？没有鸡何蛋之有？那么你若说是先有蛋后有鸡，那么问题也来了，没有鸡，蛋又从何而来呢？

当然对于这样的悖论，想去论证，我想我还没有这个能力，上边那就权当一个引入吧，我接下来要讨论的悖论是一个有关于无限循环小数的，说起无限循环小数，大家肯定都不以为然，一个小数五年级的知识点，有悖论存在吗？然而确实有的，且听我娓娓道来。

在论证之前，我先回顾一下小学的几个知识点：

一、小数：由整数部分、小数点、小数部分组成的数

二、无限小数：就是指写成小数形式后，小数部分无穷尽的、不能被整除的数;如：π

三、循环小数：就是在小数的基础上，从小数点后的某一位起，一个或多个数字依次重复出现的无限小数叫做循环小数，也就是题目中的无限循环小数。

四、循环节：在循环小数中不断重复的数字，我们称为循环节。如：0.123123，该小数的循环节便就是123

有了上边的基础之后，我就可以引入下边的论题了，我要阐述的悖论如下：

请问：   0.9  =  1  ，成立吗？

我想我这样问，大家都会感觉我问的很傻瓜，觉得我肯定是小学没毕业，很显“不等于”嘛！从小学起老师就这样教，0.9≈ 1成立，但0.9= 1不成立。

然而真的是这样的吗？难道你们就没有过一点怀疑吗？其实我问过很多人，上初中开始就问同学，都说不等于，一直到现在我上了大学，我问同学，他们还是都说不等于，当然我也问过大学里的一些教授，但是答案还是一样的，“0.9是不等于1的”，所以我就写了这篇文章，希望有识之士们，能够给我解答下疑问。

既然我称它为悖论，那么它自然是与我们的正常的逻辑是相违背的，即0.9 ≈ 1，而不是0.9= 1一样。那么你们都认为不等于，那么我就冒天下之大不韪，我认为他们俩是等于的，因为我证明它们是相等的（解答如下）。

解： 设0.9为 x

那么显然  0.09应该为 0.1 x

于是便应该有下式成立：

X – 0.1x = 0.9–0.09

即：0 .9x = 0.9

解得： x = 1

我设x=0.9，结果却得出x=1;这不正是我们的由因及果的推导方式吗？那不就是我们要证的论题吗？

至此，说论题得证，我想还有点为时过早，因为大多数人都会觉得我的证明过程有问题，因为我以前用同样的方法证明然后跟他们讨论的时候，就遇到过，他们都说我的过程有问题，我记得有一个跟我讨论的提出了这样一个观点说0.9–0.09=0.9，是不成立的，他的解释是0.09的9的位数与0.9循环中9的位数是不样多的，他认为0.09中的9的个数应该比  0.9的9的个数要多一个，其实我想说，既然他们俩都是无限的又哪来9的个数上存在差别呢？还有一种说法就是他们认为在无限域上，我们常规的方法是不能用，与前一个相比，我倒觉得这个尚有可能之处。

对于这种说法，我又想到一个驳倒它的方法，还是从数学证明的角度出发，因为数学的论证是最具有说服力的，其实上述的两种能不外乎就是一点，那就是我的证明过程中某一步是存在逻辑错误的，那么要想看我证明正确与否其实也很简单，那就按照我的方法在解其它的类似的论题，看看是否能得出错误的答案即可。

例：我们设0.8为x，如果我们最后解决x仍等于0.8，那么是否就说明我的论证过程是没问题的。

设：  0.8为 x

那么显然 0.08应该为 0.1 x （注意点在后边的8上）

于是便应该有下式成立：

x – 0.1x =0.8 – 0.08

即：   0 .9x = 0.8

解得：   x = 8/9

经过计算易知： 8/9 = 0.8

显然得出 x = 0.8;这岂不正说明了我的计算方法是没有问题的，而且是可以推广的，同理我还用同样的方法用0.7、0.6一直到0.1 均测试了，结果都表明我的算法是没有错的，至此我就大胆的猜测我的证明方法是没错的，至此便得证：0.9   =  1。

从逻辑学的角度来说，一件事如果有且只有两种可能，那么它在这两种可能中必居其一且只居其一，对于悖论而言，它涵盖一件事的两种结果，那么它的答案就只能是两者中的一种，且只能是其中的一种，就如鸡蛋悖论：他只能是“鸡生蛋”或者“蛋生鸡”中的一种，绝不会两者都是，只不过具体结果是什么，这可能就需要我们不断的去努力探索，答案总是有的，只是我们还未解答它了罢，尚等待时间的考究，其实对于这件事我觉得突破点应该还是在生物学的研究上，等我们的生物科学发达到一定的程度，那么这件事就应该有个明确的结果了。

那么为什么会出现这样的悖论了？而且只有0.9 =  1成立，而其他的类似的0.8、0.7、0.6等等循环小数却还是等于自身呢？ 谁实话，其实这也是我百思不得其解的事。

参考文献：

[1]：托马斯·霍布斯（Thomas Hobbes，1588-1679）英国政治家、哲学家.

[2]：约翰·洛克（John Locke，1632年8月29日-1704年10月28日）是英国的哲学家.

[3]：表示以9为循环节的无限小数.

[4]：这里的“x”只是一个未知量.

[5]：0.1 乘以 x 的简写.