可靠性的成组更换优化策略研究

魏永合，林梦菊，陈 宇

(1.沈阳理工大学 机械工程学院，辽宁 沈阳 110159；2.解放军463医院 药剂科，辽宁 沈阳 110042)

可靠性的成组更换优化策略研究

魏永合1，林梦菊1，陈 宇2

(1.沈阳理工大学 机械工程学院，辽宁 沈阳 110159；2.解放军463医院 药剂科，辽宁 沈阳 110042)

用Matlab对成组更换策略的维修间隔期进行研究，把备件保障概率考虑到可用度的静态模型中，在此基础上考虑备件库存费用的动态模型，达到维修策略的可用度最大和全维修过程费用最小。

可靠性；故障率；备件保障概率；备件库存费用；成组更换

在维修成本日益增加的今天，对于一些数量较大且寿命分布偏差较小的部件来说，成组更换策略管理和作业较简单，且能有效减少维修费用。目前的研究往往只考虑了在备件即时可用的情况下进行维修和更换的预防性维修间隔期的静态模型，王灵芝[1]提出了多部件设备非周期预防维修计划的优化方法，该模型节约了系统的维修成本并提高了系统有效度。白永生[2]把功能检测这一技术手段运用到成组更换的策略中，从而减少了系统准备活动和停机次数，因此使系统总体费用更低。以上研究没有考虑备件因素，仅仅假设备件完备率100%的情形，而实际情况，备件库存随时满足维修条件的情形是不存在的。国内外已有不少学者研究了成组更换策略与备件供应保障联合优化问题。Alenka B等[3]和Yoo Yk等[4]假设预防维修间隔期内故障单元对备件的需求服从正态分布，建立了预防维修与备件订购的解析模型，前者分析了 1个预防维修间隔期和多个维修间隔期内的备件订购问题，后者考虑了备件订购提前期并给出了算例。还有根据维修需求来确定备件需求从而进行备件库存管理，例如甘志茂等[5]和许长安等[6]研究了定时更换预防性维修，根据该策略相应的总费用作为约束条件(修复性维修和预防性维修费用)确定出最佳更换间隔，然后根据选用策略的相应模型计算备件需求量。文献[3-6]虽然都建立了成组更换策略和备件供应保障的联合优化模型，但仅是利用已经建立的维修间隔期去确定备件需求量，而并没有用最优的库存管理来优化更换策略中的维修间隔期，不利于库存最大效率的利用。

本文将分为两个部分来建立维修策略和备件管理的联合模型。先把备件保障概率考虑到可用度的静态模型中，确定最佳维修间隔期后，利用已经确立的维修间隔期把备件采购分为n个阶段，把全维修过程的备件采购费用最小作为约束条件反过来优化已经求得的维修间隔期，完成了由备件优化维修间隔期的动态模型。

1 可靠性及备件库存理论

成组更换策略是指机件在给定时刻kT(k=1,2,…)做成批更换，即使有的部件中途故障更换过，到达更换间隔期T也要一起更换。成组更换策略时序图，如图1所示。这种策略适用于价格比较低廉而且使用数量较多的电子元器件、橡胶件等。

图1 成批更换策略时序图

可靠度：产品在规定的时间t内和规定的条件下，完成规定功能的概率称为产品的可靠度函数，简称可靠度，记为R(t)。若假设产品的寿命为T，R(t)=P{T>t}。

故障率：工作到时刻t的产品在其后单位时间内发生故障的条件概率称为产品在t时刻的故障率，简称故障率，记为λ(t)。

备件保障概率：指在规定条件下，装备在任一随机时刻需要备件时能得到所需备件的概率。

本文中，对于象螺杆等的成组更换备件进行可用度建模时考虑备件保障的因素，即在装备进行成组更换时，这类备件所能满足更换部件需求的能力。

假设部件寿命服从指数分布，那么备件保障概率P按下列公式计算

(2)

2 可用度模型

由于垫圈、螺杆、螺母之类的寿命与使用时间相关，且费用较低，在决策维修间隔期时先不考虑备件的费用问题，只把备件保障概率作为非常重要的一个参数考虑进可用度模型中。

模型参数设定如下：

(1) 按照时间间隔T进行更换，或故障后进行更换，T是常数；

(2)Tp：预防性更换所用平均时间；

(3)Tf：故障更换所用平均时间；

(4) ETf(T)：在一个更换间隔期内期望的故障停机时间；

(5)F(t)、R(t)、f(t)：故障时间累积分布函数、可靠度函数、故障密度分布函数；

(6)λ：故障率；

(7)N：同型部件数；

(8)Pq：部件进行预防性维修时，备件保障概率；

(9)Pf：部件进行故障后更换时，备件保障概率；

(10)A(T)：在间隔期为T的成组更换策略下，长期使用时被鉴定平均可用度；

期望可用时间=T-ETf(T)

ETf(T)的计算，由图1分析可知，当T≤Tf时

(3)

而当T>Tf时，由概率加法原理，ETf(T)由两部分构成，在T-Tf处分成两部分，同时又由于备件供应并不完全，故障更换平均时间要用Tf×Pf,所以

(4)

计算更换周期长度时，同样由于预防性更换时备件的供应并不是100%,所以预防性更换的平均时间为Tp×Pq,即更换周期长度=T+Tp×Pq，

综上所述，有

(5)

(6)

(7)

(8)

利用数值分析方法可以解得使最大A(T)的T的最优解的值。

3 考虑备件库存的费用模型

在成组更换策略下，在式(5)中以可用度模型确定最佳维修间隔期的基础上，若考虑备件库存及备件采购费用，把维修过程按已求得的T分成n个过程，每个阶段变量为k。令库存量为xk、最大库存量为S、初始库存量为S1、采购时间为tk=Tk-d。Tk为第k个阶段维修间隔期，d为订货提前期，每次在tk时采购都使库存达到最大库存量S。而在T1时刻，x1=S1，则在t1时刻采购量为S-x1。在T1时刻因为更换被消耗掉NF(T1)，因此x2=S-NF(T1)。在t2时刻采购量为S-x2，T2时刻因为更换被消耗掉NF(T2)，x3=S-NF(T2)。以此类推在第k个周期内，库存量xk=S-NF(Tk-1)，采购量为S-xk=NF(Tk-1)。

设单位时间库存持有费用为Ch，单位采购费用为Cα。

此时，把在第k个阶段的库存占有费用+采购费用+维修费用+缺货损失为阶段指标函数，即：

Vk=xk×Ch×tk+S×d+Cα×(S-xk)+N×Pq×Cp+N×Pf×Pg×Cf+CL×N×[1-Pq+Pg(1-Pf)]=(S-NF(Tk-1))×Ch×(Tk-d)+S×d+Ca×NF(Tk-1)+N×Pq×Cp+N×Pf×Pg×Cf+CL×N×[1-Pq+Pg(1-Pf)]

(9)

最优值函数：

图2 备件库存及订购情况

基本方程：

fk= min{Vk+fk+1(xk+1)}=min{(S-NF(Tk-1)) ×Ch×(Tk-d)+S×d+Ca×NF(Tk-1)+N×Pq×Cp+N×Pf×Pg×Cf+CL×N×[1-Pq+Pg(1-Pf)]+fk+1(xk+1)}

k=2,3,4…n，A(Tk)≥A0

fn+1=0 0≤NF(Tk-1)≤S

(10)

当k=1时，

f1=min{x1×Ch×t1+S×d+Ca×(S-x1)+N×Pq×Cp+N×Pf×Pg×Cf+CL×N×[1-Pq+Pg( 1-Pf)]+f2}

=min{x1×Ch×(T1-d)+S×d+Ca×(S-S1)+N×Pq×Cp+N×Pf×Pg×Cf+CL×N× [1-Pq+Pg( 1-Pf)]+f2}

(11)

通过以上递推方程可得到动态模型的最优维修间隔T1、T2、T3、T4、………Tn。

4 算例分析

某产品寿命服从λ=0.01的指数分布，该产品采用成组更换策略，Tp=1天，Tf=2天，N=30，A0=0.95，S=80，S1=60，n=5，d=1天，Ch=1元/天·个，Ca=5元/个，Cp=3元/天·个，Cf=4元/天·个，CL=2元/天·个，确定最佳预防性维修间隔期

Matlab对可用度和最优值函数进行计算，带入式(5)可用度公式中：

求得T=28天，然后，优化维修间隔期，当考虑库存因素时，n=5,所以k=1、2、3、4、5.

此时带入到式(10)中：

dt+60+ fk+1(xk+1) }

A (Tk)≥0.95 f6=0

可求得T1=26 ,T2=32 ,T3=29 ,T4=27 ,T5=30 .

以上算例中，首先利用可用度的模型确定了固定的维修间隔期T=28天，然后在保证可用度基础上，确定五个阶段中每个阶段全维修过程费用最小的五个维修间隔期，达到优化间隔期的目的。

5 结束语

对成组更换策略的维修间隔期进行了研究，把备件保障概率考虑到可用度的静态模型中，在此基础上考虑备件库存费用的动态模型，实现了维修策略的可用度最大和全维修过程费用最小。

[1]王灵芝,徐宇工,张家栋.基于设备有效度和可靠度的预防维修经济优化模型[J].机械工程学报,2010,46(4)：163-168.

[2]白永生,贾希胜,程中华.复杂系统复合维修间隔期优化模型[J].火力与指挥控制，2011,36(9):19-22.

[3]Alenka B,Alenka H.Jolint optimization of block-replacement and periodic-review Spare-provisioning policy [J].IEEE Tranctions on Reliability,2003,52(1):112-117.

[4] Yoo Yk,Kim KJ,Seo J.Optimal joint Spare stocking and block replacement policy[J].Int J Adv Manuf Technol,2001,18:906-909.

[5]甘茂治,康建设,高崎.军用装备维修工程学[M].北京:国防工业出版社，2009:375-387.

[6]许长安,赵建民,马伦,等.成组更换策略下的备件库存决策仿真研究[J].系统仿真技术，2011,7(4):311-317.

(责任编辑：赵丽琴)

A Research for the Optimization Strategy of Group Replacement Based on Reliability

WEI Yonghe1，LIN Mengju1，CHEN Yu2

(1.Shenyang Ligong University,Shenyang 110159,China;2.The People′s Liberation Army 463 Hospital,Shenyang110042,China)

Using Matlab,the maintenance interval of group replacement strategy has been studied,and the probability was studied,considering the availability of spare parts to ensure the static model,and considering the dynamic model of the spare parts inventory costs,availability of maintenance strategy and whole process cost minimum maintenance have been achieved.

reliability；failure rate；the probability of the spare parts to ensure；spare parts inventory costs；block replacement

2014-10-03

魏永合( 1971—), 男, 教授,研究方向：机械设备故障诊断、预测和健康管理.

1003-1251(2015)04-0039-04

TH165.3

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