广义拓扑空间中几类开集之间的关系探究

李 阳，朱培勇

(电子科技大学数学科学学院，四川 成都 611731)

广义拓扑空间中几类开集之间的关系探究

李 阳，朱培勇

(电子科技大学数学科学学院，四川 成都 611731)

强广义性作为广义拓扑区别于一般拓扑的重要性质之一，是广义拓扑研究中一个有意义的课题.致力于在广义拓扑空间中研究五种广义开集之间关于强广义性的相互关系.进而，利用所获得主要结果证明极不连通性严格强于强广义性.最后，给出在广义拓扑空间中关于极不连通性与不连通性之间的几个简单的结果.

广义拓扑；强广义性；极不连通性；不连通性

1 引言及其预备

2002年，A.Csaszar在文献[1]中定义了广义拓扑(Generalized Topology).随后，该作者又类比着一般拓扑空间中的σ-开集，π-开集，α-开集以及β -开集的定义，在文献[2]中定义了广义拓扑空间中的σ-开集，π-开集，α-开集以及β-开集.

定义1.1[1]设X为一非空集合，λ是X的一些子集构成的集族.称λ是X上一个广义拓扑，(X，λ)为一个广义拓扑空间，如果满足(O1)∅∈λ；(O2)若Gi∈λ(i∈I)，则∪i∈IGi∈λ(其中I为任一非空指标集).其中λ中的每个集合称为开集；开集的补集称为闭集.特别地，若X∈λ，则称广义拓扑空间(X，λ)是强广义拓扑空间.

对于广义拓扑空间(X，λ)，显然X是闭集.类似于一般拓扑空间，可以在(X，λ)上定义内部，闭包的概念如下:

定义1.2[2]设(X，λ)为广义拓扑空间，X中的全体闭集组成的集族记为μ，A⊆X，则称iλA＝∪{U∈λ:U⊆A }与cλA＝∩{F∈μ:A⊆F }分别为A的内部和A的闭包.

以下讨论在不引起混淆的情况下，将iλA和cλA分别简记为iA和cA.

引理1.1[2]设(X，λ)为广义拓扑空间，A⊆X，则x∈cA当且仅当对于任意包含x的开集G，都有G∩A≠.

定义1.3[3]设(X，λ)为广义拓扑空间，A⊆X.

(1)若A⊆ciA，则A称为X的σ-开集.X的全体σ-开集记作σ(λ).

(2)若A⊆icA，则A称为X的π-开集.X的全体π-开集记作π(λ).

(3)若A⊆iciA，则A称为X的α-开集.X的全体α-开集记作α(λ).

(4)若A⊆cicA，则A称为X的β-开集.X的全体β-开集记作β(λ).

以下两个结果分别见于文献[4]和[3].

引理1.2[4]空间(X，σ(λ))，(X，π(λ))，(X，α(λ))，(X，β(λ))均为广义拓扑空间.

引理1.3[3]λ⊆α(λ)⊆σ(λ)⊆β(λ)；λ⊆α(λ)⊆π(λ)⊆β(λ).

本文主要讨论(X，λ)，(X，σ(λ))，(X，π(λ))，(X，α(λ))，(X，β(λ))五类空间强广义性之间的关系，说明极不连通空间与强广义拓扑空间的关系，并给出极不连通空间的一些简单性质及与不连通空间的关系.

2 主要定理

本节致力于广义拓扑空间(X，λ)，(X，σ(λ))，(X，π(λ))，(X，α(λ))，(X，β(λ))五类空间的强广义性的关系研究.

首先讨论(X，λ)，(X，α(λ))，(X，π(λ))三类广义拓扑空间强广义性的关系:

引理2.1 广义拓扑空间(X，λ)是强广义的当且仅当(X，π(λ))是强广义的.

证明(必要性)若(X，λ)是强广义的，自然X∈λ，应用引理1.3，则有X∈π(λ)，即(X，π(λ))为强广义的.

(充分性)只证:若空间(X，λ)不是强广义的，则(X，π(λ))不是强广义的.事实上，如果(X，π(λ))是强广义的，则X∈π(λ).由此可知:X⊆icX＝iX，即X＝iX∈λ，这与(X，λ)不是强广义的矛盾.□

引理2.2 (X，α(λ))是强广义的当且仅当(X，π(λ))是强广义的.

证明(必要性)由引理1.3知必要性是显然成立的.

(充分性)假设(X，α(λ))不是强广义的，应用引理1.3得(X，λ)不是强广义的.由此由引理2.1，自有(X，π(λ))不是强广义的.□

定理2.3 空间(X，λ)，(X，α(λ))，(X，π(λ))的强广义性是一致的.

证明由引理2.1和引理2.2，该结论是显然成立的.□

下面讨论空间(X，λ)，(X，σ(λ))，(X，β(λ))的强广义性.

定理2.4 空间(X，σ(λ))，(X，β(λ))均是强广义的.

证明对于空间(X，λ)，总有iX＝∪{A｜A∈λ}.假设(X，σ(λ))不是强广义的，则X⊄ciX.所以存在x∈X-ciX，由引理1.1知，存在x∈A0∈λ，满足A0∩iX＝，这与iX＝∪{A｜A∈λ}矛盾.

由上述证明得，X∈σ(λ)，则X＝ciX＝cicX.因此，X∈β(λ).□

定理2.5 存在非强广义拓扑空间(X，π(λ))，使得(X，σ(λ))是强广义的.

证明若(X，σ(λ))是强广义的，不能得到(X，λ)是强广义的，因而(X，π(λ))不一定是强广义的.例如，X＝{a，b，c}，λ＝{，{a}，{b}，{a，b}}，由ciX＝X，则(X，σ(λ))是强广义的.而icX＝{a，b}，所以(X，π(λ))不是强广义的.□

现在将σ，π，α，β看作是从2X到2X的映射，置

Η＝{σ，π，α，β}，Η1＝{σ，β}，Η2＝{π}，γ1γ2(λ)＝γ1(γ2(λ)).

定理2.6 若(X，λ)是广义拓扑空间，γ1，γ2∈Η则有如下结论成立:

(1)若γ1，γ2中至少有一个属于Η1，则(X，γ1γ2(λ))一定是强广义的；

(2)若γ1，γ2均不属于Η1，则(X，γ1γ2(λ))的强广义性与(X，π(λ))的强广义性一致.

证明 (1)γ1，γ2中至少一个属于Η1，若γ2∈Η1，则(X，γ2(λ))是强广义的，从而(X，γ1γ2(λ))一定是强广义的；若γ1∈Η1，显然(X，γ1γ2(λ))是强广义的.

(2)γ1，γ2均不属于Η1，分两种情况:

情况2-1:若γ1，γ2中至少有一个为π，由文[3]—定理2.5，定理2.6，推论2.7知:πα(λ)＝π(λ)，ππ(λ)＝π(λ)，απ(λ)＝π(λ)，得证.

情况2-2:若γ1，γ2均为α，由文[3]—定理2.5知:αα(λ)＝α(λ)，因此，(X，γ1γ2(λ))与(X，α(λ))的强广义性一致.结合引理2.2自有(X，γ1γ2(λ))与(X，π(λ))的强广义性一致.□

3 应用举例

本节给出主要定理的一个应用，并研究了广义拓扑空间中极不连通与不连通的关系.

定义3.1[5]设(X，λ)是广义拓扑空间，若对任意G∈λ，均满足cG∈λ，则称(X，λ)为极不连通空间.

定义3.2[6]设(X，λ)是广义拓扑空间，若不存在非空开集U，V，且U∩V＝，但U∪V＝X，则称(X，λ)为连通空间.否则，称(X，λ)为不连通空间.

引理3.1[5]若广义拓扑空间(X，λ)是极不连通空间，则β( λ)＝π( λ)；σ( λ)＝α( λ).

一个自然的问题是:极不连通空间一定是不连通空间吗?下一定理对此作出否定回答.

定理3.2 存在极不连通空间是不连通空间.

问题1满足什么样条件的极不连通空间一定是不连通空间?

下面我们对问题1给出一个部分回答:

定理3.3 设广义拓扑空间(X，λ)是极不连通空间，如果存在非空开集A，满足cA⊂X，则(X，λ)是不连通空间.

证明令U＝cA，V＝X-cA，由(X，λ)是极不连通空间，则U，V均为非空开集，且U∩V＝，但U∪V＝X，即(X，λ)是不连通的.□

定理3.4 若广义拓扑空间(X，λ)是极不连通空间，则(X，λ)是强广义的.

证明由引理3.1，有σ(λ)＝α(λ).同时由定理2.4知X∈α(λ).结合定理2.3，自然可得(X，λ)是强广义的.□

然而，对于定理3.4，其逆命题是不成立的(见定理3.5).

定理3.5 存在强广义空间不是极不连通空间.证明置X＝{a，b，c}，λ＝{，{a}，{b}，{a，b}，X}.(X，λ)是强广义的.由于c{a}＝{a，c}∉λ，知(X，λ)不是极不连通空间.□

在文献[7]中，提出问题:设(X，λ)是广义拓扑空间，若(X，π(λ))是不可约的，则(X，λ)是否是β -连通的.Sarma在文献[5]给出了结论:若(X，λ)是极不连通空间，(X，π(λ))是不可约的，则(X，λ)是β-连通的.我们在文献[8]中同样做出了结论:若(X，λ)是强广义的，(X，π(λ))是不可约的，则(X，λ)是β-连通的.

[1]CSASZAR A.Generalized topology，generalized continuity[J].Acta-Math Hungar，2002，96(4):351-357.

[2]SARMA R D.On convergence in generalized topology[J].Int J Pure and Appl Math，2010，60:51-56.

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[7]SHEN R.A note on generalized connectedness[J].Acta Math Hungar，2009，122:231-235.

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[9]CSASZAR A.On the γ-interior and γ-closure of a set[J].Acta Math Hungar，1988，80:89-93.

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[12]朱培勇，雷银彬.拓扑学导论[M].北京:科学出版社，2009:23-27.

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[14]ENDERTON H R.Element of Set Theory[M].New York:Acadamic Press，1997.

[15]汪林，杨富春.拓扑空间中的反例[M].北京:科学出版社，2000.

(责任编辑:付强，张阳，李建忠，罗敏；英文编辑:周序林)

The relationships of some generalized open sets in generalized topological space

LI Yang，ZHU Pei-yong
(School of Mathematical Science，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，P.R.C.)

Strong generalized topology，as one of properties of generalized topology different from general topology，is an important topic in the field of generalized topology.This paper is devoted to studying the relationship between five generalized open sets and strong generalized topology.As an application of the conclusions，the extremely disconnected generalized topological space is a strict generalization of the strong topological space.Furthermore，the paper investigates some properties between the extremely disconnected generalized topological space and the disconnected generalized topological space.

generalized topology；strong generalized topology；extremely disconnectedness；disconnectedness

O189

A

2095-4271(2015)04-0482-03

10.11920/xnmdzk.2015.04.016

2014-12-20

李阳(1992-)，女，汉族，山西大同人，硕士研究生，主要从事广义拓扑学研究.E-mail:myyliyang＠163.com；

朱培勇(1956-)，男，四川自贡人，教授，博士生导师，主要从事拓扑学和混沌理论研究.E-mail:zpy6940＠sina.com.cn.

国家自然科学基金资助(项目批准号:10671134).