循环荷载作用下基于隶属度函数的边界面模型

王喜刚, 扶名福，胡小荣

(南昌大学 工程力学研究所，江西 南昌 330031)

循环荷载作用下基于隶属度函数的边界面模型

王喜刚, 扶名福，胡小荣

(南昌大学 工程力学研究所，江西 南昌 330031)

摘要：为了反映土体在循环荷载作用下塑性应变的累积特性和连续性，将隶属度函数引入到边界面模型中，在二维临界土力学模型图基础上,构造了一个新三维空间锥体，利用该锥体建立了加载面与隶属度函数的一一对应关系。根据隶属度函数修正了塑性流动法则，使得模型对最大预应力具有部分记忆功能，并引入损伤参数，推导得到了模糊边界面模型，通过动三轴实验确定了该模型的参数。利用有限元的二次开发功能，将该模型引入到有限元中，得到了模型的数值结果，通过与动三轴实验结果对比，发现两者吻合较好,证明了模型的合理性。

关键词：循环荷载；模糊边界面模型；隶属度函数；部分记忆；动三轴实验；有限单元法

网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20151106.1047.006.html

扶名福(1953-)，男，教授.

土体在循环荷载作用下，其应力应变关系比较复杂，国内外研究该问题的方法可以归纳为两大类：一类是从经典弹塑性理论出发，研究土体的应力-应变滞回曲线；另一类是从实验研究角度出发，不再研究每个循环中的应力应变关系，而是考察每一循环的最大塑性应变，寻找塑性累积应变与循环次数的发展规律，确定应变累积的经验模型。

1967年Mroz[1]首次提出了塑性硬化模量场理论，该模型由边界固结面、初始屈服面和一系列套叠屈服面组成，每个套叠屈服面代表当前应力状态下的塑性模量大小，塑性模量随应力状态不断变化，但是该模型要求每个应力点必须落在当前的套叠屈服面上，不容易数值实现；Krieg[2]和Dafalias等[3]把套叠屈服面进行了简化，得到了边界面模型，该模型包括一个边界面和一个加载面，加载面上应力点与边界面应力点以及加载面上塑性模型与边界面上塑性模量的映射关系是该模型的关键。黄茂松等[4]在各向同性边界面理论框架中，通过引入各向异性张量，提出了适用于描述循环荷载作用下软黏土各向异性的边界面本构模型，在映射准则中，将映射中心由固定改为可移动，以反映循环荷载作用下土体的滞回特性；贾鹏飞等[5]在经典弹塑性理论的框架下，提出一个土体在低幅值、高循环荷载作用下的应变累积模型，该模型通过用对数规律来描述塑性体应变的累积规律。

本文在前人研究基础上，将隶属度引入到经典塑性模型中，隶属度函数是表示当前应力状态的函数，通过隶属度函数的引入得到了当前加载面上应力状态与边界面上应力状态的一一对应关系。

1隶属度函数

1.1　定义

根据临界土力学理论，边界面方程可采用椭圆形式，其表达式为

(1)

式中：q为广义剪应力，p为平均应力，pc为椭圆与p轴的交点，M为p-q平面上临界状态线的斜率。

土体在一开始加载的时候就产生塑性应变，所以最初的加载面应该是一个点，如图1所示，图1中O点表示最初的加载面FO；破坏时的边界面FC为过点O和PC点的椭圆，OC为椭圆的中心，TCM为边界面对应的临界状态线；其他加载面可表示为过O点且在边界面椭圆内部变化的椭圆，如加载面FB过O点和PB点的椭圆表示其中一个加载面，OB为椭圆的中心，TBN为该加载面对应的加载状态线，称为模糊临界状态线。为了表示加载面在循环荷载下的连续变化采用如下方法：以OC为基点，将OCTC轴半平面向外旋转90°，旋转到边界面椭圆上方，临界状态线和模糊临界状态线也相应地跟着向外旋转90°，则可形成一个以TC为顶点，以边界面为底面的空间锥体，OCTC为新椎体的第3个坐标轴，构建的空间锥体如图1所示。

图1　隶属度函数锥面Fig.1　The cone of membership function

图1中OC、OB点为图1中边界面和加载面椭圆中心。下面把加载面椭圆中心向锥面投影，OC投影交锥面于TC点、OB投影交锥面于TB点、O点投影交锥面还是O点本身；当TB点在O点与TC点之间移动，则表示了加载面在q-p平面上的演化规律，一个加载面对应一个TB点。当TB点沿着OTC向TC点移动时，则代表加载面由FB向边界面FC演化，当TB点移动到TC点时，加载面演化为边界面FC；当TB点沿着TCO向O点移动时，表示加载面由FB向初始加载面FO演化，当TB点移动到O点时，加载面演化为初始加载面FO。通过对图1观察分析可知TB点位置与加载面一一对应，所以加载面的演化可以通过研究TB点坐标来实现。

由于土体是由无数个土颗粒组成的，一般认为土体在一开始加载的时候就发生屈服，即土体没有绝对的弹性，而在受载时表现为弹塑性。

为了既能反映加载面的演化，又能表现出土体受载后弹塑性程度的不同，定义OCTC轴表示土体的塑性隶属度。当位于TC点时，加载面为边界面FC，这时土体的塑性隶属度为1，弹性隶属度为0；当位于O点时，加载面为初始加载面，此时土体的弹性隶属度为1，塑性隶属度为0。

用μ表示TB点在OCTC轴上投影的坐标值，则μ∈[0,1]，当μ由0到1变化时，加载面从FO连续演化到边界面FC。μ表示土体应力状态的程度，TB点在OCTC轴上的坐标可以通过加载面与p交点来反映，鉴于此，定义μ为

(2)

式(2)的定义是巧妙而合理的，当pB=0时，对应的μ=0，此时的应力状态对应于O点，对应于初始加载面；当pB=pc时，对应的μ=1，此时的应力状态对应于边界面；当pB在(0,1)范围内连续变化时，对应于加载面在初始加载面和边界面之间连续演化。

1.2　对最大预应力的部分记忆功能

在锥面上隶属度函数有三类演化规律，分别为：无记忆模型、对最大应力历史具有全部记忆模型和对最大应力历史具有部分记忆模型，部分记忆模型隶属度演化如图2所示。

图2　部分记忆模型隶属度演化规律Fig.2　The evolution of membership of partial memory models

无记忆模型假设材料响应与以往加载历史无关，在重复加载时产生的塑性应变增量与初始加载的相同，锥面不变。对最大应力历史具有全部记忆模型假定模型记住了往复加载过程中的最大应力历史。

对最大预应力具有部分记忆功能模型既受以往应力历史的影响但又不全部记忆下来，在卸载时锥面得到重构，锥面顶点变为图2中的TP点。重新加载时，隶属度沿着OTP移动变化，加载面变化，且都在Fp之内，此时不产生塑性应变；直到加载面的中心在OTp上的投影点达到TP时才产生塑性应变，之后沿着TmaxTC变化。

根据实验结果[6-7]土体在循环荷载作用下应力应变关系符合部分记忆模型的规律。部分记忆模型中产生塑性应变的加载面由点TP确定，同时也可以确定该加载面对应的隶属度值，其关系如图3所示。由点TP向p-q平面做垂线交原锥面于TSM，交p-q平面于OSM，过点TSM做OCTC的垂线，垂足位置即为TP点对应的隶属度值μSM。在重复加载过程中，只有当隶属度值大于μSM时才产生塑性应变。

图3　部分记忆模型的隶属度Fig.3　The membership of partial memory model

根据图3可知，假设应力历史上最大荷载所对应的隶属度值为μmax，则

(3)

式中：α表示记忆功能的材料参数，在[0,1]上取值，α的值由土体的动三轴实验确定，根据三轴实验结果，确定第1个循环和第2个循环产生的塑性应变增量分别为ε1p和ε2p，则α值可确定:

(4)

1.3　损伤参数

为了反映土体在循环荷载作用下循环次数对塑性应变的影响，对式(3)进行修正，引入损伤参数，设损伤参数为β，则根据损伤参数修正后的隶属度μSM变为

(5)

图关系Fig.4　The curves and N

根据拟合结果，可取β的具体形式为

(6)

式中：N为循环次数；b和c为材料参数，由三轴实验确定。

2模糊弹塑性模型

2.1　边界面模糊化

由上所述加载面与应力状态隶属度值一一对应，随着隶属度在1到0的变化，加载面由最初的加载面不断演化为边界面。为了更好的表达加载面与隶属度的一一对应关系，故加载面利用隶属度函数模糊化。式(1)给出了边界面方程，pc表示椭圆与p轴的交点，将其作为模糊参数，加载面方程模糊化为

(7)

通过式(7)可知，当μ=1时，表示初始加载面为一点；当μ=1时，表示为边界面；当μ在(0,1)区间变化时表示初始屈服面与边界面之间的加载面，且表示出了应力状态所对应的不同程度的弹塑性。

2.2　塑性流动法则

加载面上应力点与边界面上的应力点一一对应，且在应力共轭点上加载方向一致，并假定屈服时服从正交流动法则。塑性流动法则如下：

(8)

式中：μSM为被记忆的应力状态对应的隶属度值。当初始加载时μSM=1；当重复加载时μSM值由式(5)确定。

根据式(8)，可把塑性应变dεp分解为塑性体积应变增量dεVp和广义塑性剪应变分量dγp，则塑性体应变和广义剪应变的塑性流动法则如下：

(9)

(10)

式中：h为硬化模量或硬化函数，是边界面上硬化模量H和应力隶属度μ的函数，可表示为h=h[H,μ]，其中边界面上硬化模量H可取为

H=pc

(11)

2.3　塑性硬化模量

根据一致性条件，边界面上的塑性硬化参量满足：

(12)

假设H是塑性应变增量εP的函数，故

(13)

对H取全微分：

(14)

根据相关联流动法则塑性应变增量为

(15)

将式(15)代入式(14)中，并将dpc代入到式(12)中可得

(16)

模糊加载面上的硬化模量由边界面上的硬化模量H和隶属度μ确定，且满足条件：

(17)

根据式(11)，为了满足式(17)，可取模糊加载面上的硬化模量h为

(18)

2.4　增量型模糊弹塑性本构模型

将式(16)代入到式(8)中，根据流动法则的分解，可以得到

(19)

式(19)是边界面上的增量型本构关系，将式(19)中的pc用模糊加载面上的塑性模量h代替，则可以得到模糊加载面上的本构模型为

(20)

根据临界状态土力学理论，取塑性体应变增量作为研究对象，采用改进的剑桥模型，则可以得到塑性体应变εvp与模糊加载面的塑性模量h的关系如下：

(21)

式中：e表示孔隙比，η表示剑桥模型中εv-p曲线的加载斜率，κ表示剑桥模型中εv-p曲线的卸载斜率。

将式(21)代入到式(20)中第1式并参照式(9)可得

(22)

式(22)即为具有部分记忆和损伤功能的模糊边界面本构方程，μSM值由式(5)确定。

3动三轴实验

3.1　实验模型

实验试样尺寸为直径39.1 mm高、80 mm的重塑圆柱土样，试样采用分层湿捣法分5层击实得到，在三轴压力室内通过使用不含气的水、施加反压等方法使土样达到饱和状态，然后土样发生固结，直到5 min内土样的体变不发生变化时认为土样固结完成。土样在不排水状况、一定的固结应力状态下，在竖直轴向上施加不同幅值的动荷载进行三轴实验。实验土体的孔隙比e=0.772，重度ρ=1.943，内聚力C=35kPa，摩擦角φ=34°。轴向动荷载采用正弦波形式，频率为1 Hz，考虑在交通荷载作用下，路基土体大多处于压缩状态，故加卸载规律取如下式形式：

q(t)=qd/2+qd/2·sin(2πt)

(23)

式中：q(t)表示t时刻动荷载大小，qd表示静荷载大小。

表1　模型隶属度Table 1　The membership of model

3.2　模型参数及对比结果

由于实验刚开始阶段非线性静载的影响，导致实验有误差，所以舍弃第1次循环得到的数据，每一次的塑性变形从第2次加载开始进行累加。

根据模型参数，利用有限元二次开发功能将具有部分记忆和损伤功能的模糊边界面本构方程移植到有限元程序中，借助有限元程序得到了2组实验的数值结果[8-10]，围压50 kPa数值结果与动三轴实验结果对比如图5所示。

图应变-循环次数关系Fig.5　The curves between strain and N when =47 kPa

通过图5发现，随着循环次数的增加，塑性应变累积不断增加，且随着循环次数的增大塑性应变增量不断减小；其他围压、其他幅值振动荷载作用下模型曲线与实验曲线与其类似。

4结束语

将隶属度函数引入到边界面模型中，得到的模糊边界面模型利用隶属度函数的连续变化能很好地体现循环荷载的作用；在模型中引入记忆参数和损伤参数，通过隶属度函数修正了塑性流动法则，模型能够反映土体塑性应变累积特性；通过动三轴实验结果与数值结果对比发现模型与动三轴实验结果吻合较好，说明该模型对反映循环荷载作用下土体的塑性应变累积有一定的应用价值。

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Bounding surface model based on

membership function under cyclic loading

WANG Xigang, FU Mingfu, HU Xiaorong

(Center of Engineering Mechanical Experiment, Nanchang University, Nanchang 330031, China)

Abstract：A membership function was imported into the bounding surface model to solve accumulated and continuous plastic strain under cyclic loading. A new three-dimensional cone was constructed based on the two-dimensional critical soil model figure. The relationship between the membership function and the loading surface was established based on the new three-dimensional cone. The membership function was used to modify the plastic flow criteria, so that the maximum stress of model was partially memorized; the damage parameters were adopted to deduce a fuzzy bounding surface model. A dynamic triaxial experiment was adopted to determine the parameters of the model. The numerical prediction matches the experiment results, proving the model is reasonable.

Keywords：cyclic loading; bounding surface model; membership function; partial memory; dynamic triaxial experiment; finite element method

通信作者：王喜刚,E-mail:fxwxg@163.com.

作者简介：王喜刚(1981-)，男，讲师，博士；

基金项目：国家863计划资助项目(2007AA091101)；国家自然科学基金资助项目(61072092,61101205,61401496).

收稿日期：2014-09-05.网络出版日期：2015-11-06.

中图分类号：TU345

文献标志码：A

文章编号：1006-7043(2015)12-1560-05

doi:10.11990/jheu.201409017