基于C-V模型无关曲率方向的快速分割算法

吴鹏，李雯霖,宋文龙

(东北林业大学 机电工程学院， 黑龙江 哈尔滨 150040)

基于C-V模型无关曲率方向的快速分割算法

吴鹏，李雯霖,宋文龙

(东北林业大学 机电工程学院， 黑龙江 哈尔滨 150040)

摘要：为提高图像分割的精度获取边缘更佳的分割图，提出结合无关曲率方向的边缘函数与无需重新初始化符号距离函数的基于C-V(Chan-Vese)模型的快速分割算法。针对在图像的同质区域中基于水平集的C-V模型不能正确分割出目标轮廓的缺陷提出优化方法。改进算法不依赖于水平集梯度信息进行活动轮廓曲线的演变，引入无关曲率的边缘函数并结合平均曲率运动方程以最小化长度能量项；并且在能量函数中增加了内能泛函项，以简化模型在局部需要重新初始化符号函数的步骤，提高运算速度。实验表明新算法能够演化出目标边缘曲线，准确分割图像，且运行耗时显著减少,收敛速度近似为几何活动轮廓C-V模型的1.2倍。

关键词：图像分割；Chan-Vese模型；水平集方法；边缘函数；能量泛函；几何活动轮廓模型

网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20151106.1047.008.html

宋文龙(1973-)，男，教授，博士生导师.

图像进行有意义地划分，提取感兴趣的目标，是目标表达的基础；进一步将原图像转化成冗余小且紧凑性高的形式，在联系底层和高层计算机视觉有重要意义。经典的图像分割算法主要包括基于阈值、区域、特征、边缘的分割[1-2]，新为图像分割开发的算法有基于区域分裂与归并、活动轮廓、水平集等分割算法[3-4]，相比之下，基于水平集方法[5]的区域分割几何活动轮廓模型[6]——C-V模型[7]由能量函数定义，具有较易改变拓扑结构且具有基于区域的统计特性，在搜寻目标几何拓扑变化、提取图像细节方面有杰出表现，受到不少学者研究的青睐。李俊等提出了利用源点映射扫描的快速步进法得到符号距离函数(SDF)的C-V模型[8]。吴永飞等结合了全局拟合的C-V模型和局部拟合的LBF模型的优势，但耗时较长[9]。Lee等在一定程度上解决了C-V模型在弱目标边界易漏分割的缺点[10-11]。为获取更好地捕捉目标边缘，且分割速度更快的算法，仍然需要进一步研究更适于提取图像细节的方法。本文基于C-V模型在目标轮廓内外处于同质区域时存在分割效果不佳以及重新初始化SDF上耗时较大的缺点考虑，将边缘函数和内能泛函引进以改善能量函数，从而准确提取目标边缘图像并且加快模型运算速度。

1C-V水平集模型

基于Osher 和Sethian的水平集方法[12]和Mumford-Shah分割方法[13]，利用贝叶斯推论对输入图像矩阵进行建模，再用Gibbs形式能量将概率模型转化成能量泛函[14]求解，Chan和Vese提出了C-V模型，在水平集中运用平均曲率流来演化轮廓曲线。C-V水平集模型是一种几何活动轮廓模型，受到M-S模型寻找图像区域Ω中的分片光滑区域Ωi的最小化分区分割方法以及Osher和Sethian的允许峰值、角点、自动拓扑变化的水平集方法的启发得到C-V模型：

μ×Length(C)+υ×Area(inside(C))+

(1)

用水平集函数φ取代演变曲线C，并且引入Heaviside 0-1函数H和Dirac-Delta函数δ0：

为保证Dirac函数在活动轮廓演变过程中水平集函数所有的点均为趋近于零的正值，令ε→0时，函数H和δ0是正则化的，记做Hε与δε：

则正则化能量泛函公式可以表示为

(2)

(3)

由演化方程可以得知C-V模型不是基于边缘函数来停止演化轮廓的，因此对于边界光滑且边缘形状变化剧烈的目标物体的检测，能够较准确地获得蛇模型(SNAKE)[15]所不能捕获的轮廓曲线。且该模型在具有噪声干扰的情况下依旧能够较好地检测目标物体边界。然而大量的实验表明，C-V模型在对于一些含有目标边缘的同质区域中不能正确的分割目标的弊端逐渐显露；且在生产应用中，对于大量图像的提取、分割，提高运算速率有很大必要。

2优化算法分割图像

通过上述分析考虑，从以下两方面优化算法。

2.1　边缘函数

C-V模型是结合了将图像表示成式(4)形式的M-S模型的图像分片光滑思想。

(4)

式中：u+和u-分别表示曲线区域内、外的图。而算法也是通过求取分片光滑区域内部、外部系数得到u+和u-，再通过计算分片光滑区域水平集函数的区域项、调节项得到对应轮廓线。由式(4)可知，模型是基于图像像素灰度值的相似性来划分分片区域的。C-V模型借鉴了Mumford-Shah模型的分片思想，若物体目标轮廓内外灰度值差异不大且存在轮廓曲线内、外区域灰度值分布不均匀的现象时，活动曲线就会出现收敛不到目标边界的错误。

引入边缘控制函数帮助判断活动轮廓收敛目标，进行边缘控制以捕捉到轮廓线，确保曲线在运动到目标轮廓边缘时候停止演化，且使得主动轮廓模型对噪声干扰具有一定的鲁棒性。指数型和分式型边缘函数是目前较流行的2种边缘函数：

本文引用“非边缘控制函数”[17]：

(5)

根据MCM(mean curvature motion)方法，对水平集长度能量项Length(C)最小化，用偏微分方程表示为

(6)

其中，φηη表示水平集函数沿梯度方向η的二阶偏导数，则活动轮廓模型在收敛的时候水平集梯度方向的影响会减小，平坦水平集的同时也能较少受到噪声干扰。

水平集演变计算时，由于式(6)无法求代价函数最小化，故将式(6)等价表示为

(7)

2.2　内能泛函

在活动轮廓曲线的演化中都需要使水平集函数满足符号距离函数(SDF)，但往往经过几次演化后，会出现水平集函数不再满足SDF，此时需要重构φ函数，使φτ函数满足SDF并且与φ0具有相同的零等值面。重构φ函数不仅计算量大、耗时大而且在重新初始化水平集函数φ到符号距离函数(SDF)上时会由于尺度调节导致φ函数变得过于平坦。

因此考虑在演化函数中增添内能泛函，以改进水平集在重新初始化符号函数的方式。引入内能泛函[19]Fin(φ)：

(8)

2.3　优化算法及其数值逼近

将边缘函数引入并求取水平集长度项最小化，得到

(9)

对式(9)求解Euler-Lagrange方程，以获得极小值，且根据梯度下降法求解偏微分方程，引入虚拟时间参数t>0，得水平集演变方程:

(10)

则(10)可写作迭代式(11)：

(11)

采用有限差分进行数值求解，差分形式为

(12)

3实验结果

基于上节的分析，在图像的边缘提取实验中，选用叶缘不同的叶图像作为输入图像，本文提出的算法较之于经典C-V模型应该达到如下标准：

1)能够准确分割出叶边缘图像，包括叶缘较复杂的树叶；

2)较之于C-V模型，算法速度得到提高。

本文参考了文献[20]的改进算法。文献[20]结合图像全局和局部统计信息改进的C-V模型在医学肾脏图像分割上面取得了较好的效果。实验使用C-V经典模型、参考算法和本文改进算法做比较。

针对给定叶图像，一般选取位于叶图像的中间区域的尽可能大的圆圈作为零水平集获得的分割结果较佳。

图1是重锯齿缘掌状1号叶图像的分割结果图，图像尺寸为376×1 254。由此选取零水平集为

由图1中(a)、(c)、(e)对比，可以看到图1(e)的活动轮廓曲线收敛到掌状复叶的小叶的边缘的效果要好于图1(a)、(c)，在树叶的小叶间的缝隙处可以较明显地辨识出：图1(e)的活动轮廓真实地捕捉到了图1(a)活动轮廓未能捕捉到的图像细节，较细致地反映出重锯齿缘掌状叶的叶缘特征，图1(c)的演变效果略差于图1(e)，主要反映在叶柄处。分析对比效果强的分割图像(b)、 (d)和(f)，能够更直观地看到图1(f)提取的边缘更准确。

图1　1号叶分割结果Fig.1　Segmentation results of No.1 leaf

图2是锯齿缘-掌状浅裂2号叶图像的分割结果，图像尺寸为541× 2 184。由尺寸设零水平集为

图2　2号叶分割结果Fig.2　Segmentation results of No.2 leaf

对比图2(a)、(c)、(e)可以明显看到图2(a)的轮廓收敛效果差于图2(c)、(e)：图(a)活动轮廓线并未收敛到叶缘深裂处、叶柄处，。因为2号叶的灰色背景和灰度叶片颜色相似，叶缘附近的像素灰度值相近，即处于边缘同质区域，使用C-V模型的运算结果表明算法未能正确捕捉到叶缘。而改进算法有效地利用边缘信息，正确地收敛到了叶缘、叶柄处，且与对比算法相比，叶柄处收敛效果更佳。这在分割图像(d)、(f)中的对比显得尤为明显。

通过直观地观察1号叶、2号叶分割结果得到的结论是改进C-V模型能够更精准地分割出叶缘图像。

然而，对于本节开篇提出的判断依据2)，用MATLAB自有时间函数tic、toc得到算法的程序运行时间，见表1。

表1　改进算法和C-V模型结果比较Table 1　Comparison results between the improved algorithm and the C-V model

由表1中的数据得：改进算法的迭代次数及耗时都明显小于C-V模型、文献[20]算法，因为改进算法避免了非必要的高斯平滑影响提取速度且优化了迭代时重构SDF的需要，使得算法性能得到了提升。文献[20]提出的算法虽结合了局部信息和全局信息，但未能优化重构SDF的步骤，耗时仍有改进空间。数据分析可得本文提出的改进算法的收敛速度近似为经典模型的1.2倍，证明了算法运算速度有了显著提高，更适合节约时间成本进行生产实践。为了证明改进算法对叶缘图像的分割具有普适性，本文选取了一些不同叶缘类型的叶图像做实验。

由图3可以看出，改进算法在叶图像分割上取得了较好的效果。针对不同类型的叶缘，都能较准确地分割出目标图像。表2是使用改进算法对3~6号叶分割得到的结果参数。

(a)3号叶分割结果

(b)4号叶分割结果

(c)5号叶分割结果

(d)6号叶分割结果图3　不同叶缘类型的叶图像分割结果Fig.3　Segmentation results of different types of leaf margins

表2　使用改进算法的不同叶缘类型的叶图像分割结果果Table 2　Segmentation results of different types of leaf margins using the improved algorithm

分析数据可得，算法的迭代次数、算法耗时和实验图像的尺寸相关。图像尺寸越大，迭代次数越多，算法耗时也越长。

4结束语

针对C-V模型在提取图像边缘图像时存在的2个明显缺点，本文将不依赖于梯度方向的非规则边缘函数引入经典模型中，并且结合图像内能泛函优化局部需重构符号函数的缺陷，构造改进能量函数式。实验表明，改进算法在叶缘图像提取过程中，较好地克服了在目标边缘内外为同质区域时活动曲线收敛效果不好的缺点，更准确地提取出叶缘图像，尤其是保留了特殊形状的叶片的轮廓细节特征；同时，也提高了迭代速率，降低耗时。且对叶缘类型各异的图像进行实验，分析所得结果与本文结论一致。

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A fast segmentation algorithm with curvature-independent

direction based on the Chan-Vese model

WU Peng, LI Wenlin, SONG Wenlong

(Department of Mechanical and Electronic Engineering, Northeast Forestry University, Harbin 150040, China)

Abstract：To improve image segmentation accuracy with better edge details, a new fast method is proposed based on the Chan-Vese(C-V) model. It combines an edge function and a signed distance function. The edge function is directionally curvature-independent, and the energy function evolves without re-initializing the signed distance function. The improved method extends the C-V model, so as to properly extract contours from given images in homogeneous areas. It does not use the local gradient information of level sets while evolving contours, instead it adds a curvature-independent directional edge function and uses mean curvature motion to minimize length energy. The internal energy function term of the energy function is increased to simplify and speed up the model when it needs to re-initialize the signed distance function. Experiments show that the new algorithm nicely evolves wanted target edge contours for accurate image segmentation, and also reduces time significantly, approximately 1.2 times faster than the geometric active contour C-V model.

Keywords：image segmentation; Chan-Vese model; level set method; edge function; energy function; geometric active contour model

通信作者：宋文龙， E-mail:wlsong139@163.com.

作者简介：吴鹏(1980-)，男，副教授；

基金项目：黑龙江省自然科学基金面上资助项目(C201337)；哈尔滨市科技创新人才研究专项资金资助项目(2014RFQXJ127)；黑龙江省博士后科研启动金资助项目(LBH-Q14006)；国家自然科学基金资助项目(31470714)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2572014CB14).

收稿日期：2015-04-29.网络出版日期：2015-11-06.

中图分类号：TN911.73

文献标志码：A

文章编号：1006-7043(2015)12-1632-06

doi:10.11990/jheu.201501044