基于寿命分布和贝叶斯的加速因子确定方法

陈志军, 王前程, 陈云霞

(1. 北京航空航天大学可靠性与系统工程学院, 北京 100191;

2. 西安卫星测控中心, 陕西 西安 710043)



基于寿命分布和贝叶斯的加速因子确定方法

陈志军1, 王前程2, 陈云霞1

(1. 北京航空航天大学可靠性与系统工程学院, 北京 100191;

2. 西安卫星测控中心, 陕西 西安 710043)

摘要：针对小子样产品加速因子难以确定问题,提出了一种基于寿命分布和贝叶斯的加速因子确定方法。首先根据相似产品内场贮存数据信息,对正常应力下寿命分布参数进行极大似然估计(maximum likelihood estimation,MLE),再利用Fisher信息矩阵求逆得到其方差-协方差矩阵,最终得到正常应力下寿命分布参数的分布,然后根据新研产品加速应力下小子样试验信息结合相似产品加速应力试验信息和专家经验等先验信息,利用ML-Ⅱ方法确定混合先验分布的权重,再利用Bayes方法得到产品寿命分布参数的后验分布,最后根据正常应力下和加速应力下的产品寿命分布参数的分布信息综合确定加速因子。以某加速度计为例,验证本文方法的正确性和有效性。

关键词：寿命分布; 小子样; Fisher信息矩阵; 混合先验分布; 后验分布; 加速因子

0引言

加速因子是一个反映加速试验中某一个加速应力水平效果的量,能够对不同加速条件下的退化数据进行有效折算,在产品的试验设计、可靠性筛选与验收以及产品的质量改进等方面有着重要的作用[1]。加速退化试验可以在较短时间内获取产品性能退化数据,由于其不需要等到失效时间才估计产品寿命或可靠性,因此其尤其适用于高可靠长寿命产品,基于加速退化试验信息的加速因子研究具有一定的可行性,但对于一些缺乏产品退化试验信息尤其是产品级加速试验信息的产品而言,其加速因子的鉴定往往很难开展[2-3]。

国内外对加速因子确定方法的研究较多,但大部分文献对加速因子的研究是建立在产品级加速试验尤其是加速寿命试验信息基础上,很少有文献对缺乏加速试验信息时的加速因子进行研究。刘琦等利用Bayes方法对对数正态分布加速寿命试验条件下的加速因子进行分析[4],首先基于全寿命试验数据和随机变量函数分布的理论推导出加速因子的先验分布,然后由 Bayes公式结合少量的现场截尾试验数据,得出加速因子的Bayes估计模型。张永强等结合高可靠长寿命产品加速寿命试验特点,给出了加速寿命试验条件下幂律退化模型的加速因子确定方法[5],利用Bayes方法,结合额定应力环境下的小子样数据和加速因子的先验分布(经验分布),推导出加速因子后验分布。周源泉对加速因子点估计及区间估计等进行了大量研究,在理论上得到了许多有意义的关于加速因子确定方法的研究结论[6-8]。张春华等对常见寿命分布下加速因子进行了总结研究[9]。文献[10]等利用部件试验数据对部件加速因子进行估计,其对部件寿命分布类型或应力试验类型无要求,解决的是针对具有大量试验数据的部件加速因子的计算。

为解决上述问题,本文基于贝叶斯信息融合思想,提出一种基于寿命分布和贝叶斯的加速因子确定方法,并以某加速度计为例,验证本文方法的正确性和有效性。

1基于寿命分布和贝叶斯的加速因子确定方法

本文提出的基于寿命分布和贝叶斯的加速因子确定方法应包括以下3步,其方法流程图如图1所示,其中寿命分布类型本文以常见的寿命分布类型对数正态分布为例进行介绍。

(1) 正常应力下产品寿命分布参数的分布求解。首先基于相似产品内场贮存数据信息对正常应力下寿命分布参数进行极大似然估计,再得到其方差-协方差矩阵,最终得到正常应力下寿命分布参数的分布。

(2) 加速应力下寿命分布参数的分布求解。对于小子样产品而言,能用于做加速试验的产品数量很少,需要结合相似产品加速应力试验信息和专家经验信息进行混合先验分布的确定,Bayes小子样理论[11]可以有效地利用多源验前信息,结合少量的内场试验信息并利用ML-Ⅱ方法[12-13]确定混合先验分布的权重,利用Bayes公式进行小子样产品加速应力下寿命分布参数分布的求解。

(3) 加速因子后验期望求解。利用加速因子与寿命分布参数之间的关系,可得基于小子样加速试验的加速因子后验分布及期望。

2基于寿命对数正态分布的加速因子确定方法

2.1正常应力下寿命分布参数分布

图1　小子样产品加速因子确定方法

由于正常应力S1下的相似产品寿命数据Ti服从对数正态分布,可得其似然函数如

(1)

因此,可得其对数似然函数为

(2)

对该对数似然函数进行极大化处理后得到下列方程组

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

由于矩阵F为对角矩阵,其求逆后仍为对角矩阵,因此可得对数均值μ1的期望与方差分别为

(9)

(10)

为求解加速因子分布方便,可设正常应力S1下寿命分布对数均值μ1服从正态分布,即

(11)

2.2加速应力下寿命分布参数分布

ML-Ⅱ的基本原理来源于Robbins的经验Bayes理论,其基本思想是将加速验证试验信息看作是由其边缘分布产生的样本,根据在不同先验分布下,加速验证试验数据出现的似然性大小来确定不同的先验分布在混合的先验分布中的权重,从而确定混合先验分布,根据ML-Ⅱ的基本原理,将加速验证试验数据lnTi(i=1,2,…,n2)分别看作是由边缘分布m(lnT|π1),m(lnT|π2)产生,于是可得似然函数如下所示：

(12)

根据第2类极大似然估计原理,L(lnT|πi)的值越大,则其所对应的先验分布πi(μ2)(i=1,2)在融合的先验分布中所占权重也越大,因此可得权重如下所示。

(13)

(14)

(15)

(16)

利用Bayes公式可得μ2的后验分布为式(17)所示

(17)

(18)

(19)

2.3加速因子确定

(20)

式中,μp为对数正态分布p分位点寿命,且σ1=σ2=σ。

由于KS2=eμ1-μ2,即lnKS2=μ1-μ2,而(μ1-μ2)～N(ν,τ),因此,KS2～LN(ν,τ)。

其中

(21)

(22)

因此可知,小子样产品在加速应力水平为S2下的加速因子后验期望为

(23)

3案例分析

本节以某加速度计为例,对上述加速因子确定方法进行案例应用。首先利用相似产品内场贮存数据信息对正常应力下的加速度计寿命分布参数进行分布求解,接着利用待研产品加速验证试验信息对加速应力下的加速度计寿命分布参数进行分布求解,并结合相似产品加速应力试验信息及专家经验等先验信息,以弥补加速验证试验样本量不足的缺点,最后给出该加速度计的加速因子分布及期望。

新研加速度计加速退化试验在80 ℃下进行1 560h试验,试验样本量为2个,每隔120h进行一次测试,共测得试验点14个,根据加速退化试验可以得到2块加速度计在80 ℃下的变化规律,且2试验样本的加速试验数据轨迹曲线如图2所示。

图2　80 ℃下2块待研加速度计标度因数变化趋势

另外通过调研10块该加速度计相似产品的正常应力下试验数据,且其轨迹曲线如图3所示。

图3　正常应力下10块加速度计相似产品标度因数变化趋势

根据规定的退化失效阈值250 ppm,利用幂函数模型：

x=atb

式中,x表示退化量；t表示时间；a,b通过拟合得到,观察计算的结果可知通过幂函数来拟合的相关系数均接近于1,说明拟合效果较好;然后通过计算得到该加速度计正常应力下的伪寿命如表1所示,并对伪寿命的对数值进行正态性检验,检验结果见图4所示。通过检验结果可知,AD值较小且P值大于0.05,因此伪寿命的对数值符合正态分布,即伪寿命服从对数正态分布。

通过图4可知,10块该加速度计在正常应力下伪寿命服从对数正态分布,因此利用式(11)可得

μ1～N(11.583 0, 0.021 68)

(24)

同理,根据4块相似产品加速度计的历史加速退化试验数据,其轨迹曲线如图5所示。

表1　加速度计正常应力下的伪寿命

图4　正常应力下该加速度计对数伪寿命正态性检验值

图5　加速应力下4块加速度计相似产品标度因数变化趋势

根据规定的退化失效阈值300 ppm,利用幂函数模型x=atb计算得到加速应力下寿命如表2所示。

表2　加速度计加速应力下的伪寿命

通过表2计算结果利用式(11)可得π1(μ2)～N(7,0.027),又由于根据专家经验可得π2(μ2)～N(8,0.05),因此μ2的先验分布为π(μ2)=ω1π1(μ2)+ω2π2(μ2)。根据加速退化试验得到的寿命数据结合式(12)可得

L(lnT|π2)=1.072 2

因此,根据加速验证试验数据处理得到的伪寿命结论,再通过Bayes公式计算利用式(18)和式(19)可得

(25)

(26)

将式(25)、式(26)结果代入式(21)、式(22)可得

ν=3.52,τ=0.030 589

因此可知,该加速度计在加速应力水平为S2下的加速因子后验期望为

4结论

根据工程实际中常见的寿命分布类型,给出了基于寿命服从对数正态分布的加速因子确定方法。

基于相似产品内场贮存数据信息对正常应力下寿命分布参数进行极大似然估计,再根据Fisher信息矩阵给出产品寿命分布参数分布的求解方法。

在加速应力下寿命分布参数分布推导过程中,由于是针对小子样产品,能用于做加速试验的产品数量很少,需要结合相似产品加速应力试验信息和专家经验信息进行混合先验分布的确定,在混合先验分布确定过程中基于第二似然估计方法(ML-Ⅱ)方法,对多源信息进行赋权,以确保混合先验分布的准确性。

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陈志军(1990-),男,硕士研究生,主要研究方向为产品耐久性分析与试验技术。

E-mail：czj19900807@163.com

王前程(1988-),男,博士研究生,主要研究方向为产品退化建模与仿真技术。

E-mail：wangqc123@163.com

陈云霞(1977-),女,教授,博士,主要研究方向为系统寿命设计分析与试验评估技术、寿命学。

E-mail：chenyunxia@buaa.edu.cn

网络优先出版地址：http:∥www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141119.2230.012.html

Determination method of acceleration factor based on

life distribution and Bayes

CHEN Zhi-jun1, WANG Qian-cheng2, CHEN Yun-xia1

(1.SchoolofReliabilityandSystemsEngineering,BeihangUniversity,Beijing100191,China;

2.Xi’anSatelliteControlCenter,Xi’an710043,China)

Abstract:The acceleration factor is difficult to determine for small sample products, a determination method of acceleration factors, based on life distribution and Bayes, is proposed. First, according to the stored data information of similar products within the field under normal stress, obtain the value of the distribution parameters of the product life by maximum likelihood estimation (MLE), then use the Fisher information matrix inversion to obtain its variance-covariance matrix, and eventually get the distribution of life distribution parameters. Then, based on the testing information of small sample researching products under accelerated stress, combine some priori information, such as the accelerated stress test information of similar products and expert experience, and use the ML-Ⅱ method for determining the weight of a mixed prior distribution. The posterior distribution of the distribution parameters of product life can be achieved by the Bayes method. Finally, by combining with distribution information distribution parameters of the product life under the normal stress and accelerated stress, acquire the acceleration factor. Taking an accelerometer as an example, the correctness and the validity of the proposed method are proved.

Keywords:life distribution; small sample; Fisher information matrix; mixed prior distribution; posterior distribution; acceleration factor

作者简介：

中图分类号：TB 114.3

文献标志码：ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.05.39

收稿日期：2014-07-22；修回日期：2014-10-30；网络优先出版日期：2014-11-19。