混合型多属性决策的HB-SIR方法

王　方， 李　华， 张　晓

(西安电子科技大学经济与管理学院， 陕西 西安 710071)



混合型多属性决策的HB-SIR方法

王方， 李华， 张晓

(西安电子科技大学经济与管理学院， 陕西 西安 710071)

摘要：针对权重已知且属性值为精确数、区间数、三角模糊数和梯形模糊数的混合型多属性决策问题，提出了一种新的混合型级别高于方法(hybrid superiority and inferiority ranking，HB-SIR)。该方法依据混合型多属性决策矩阵构建正负理想方案，将混合型多属性决策矩阵转化成标准优势和劣势差异信息矩阵，进而通过高斯准则计算各个方案的优势指数和劣势指数，构建优势矩阵和劣势矩阵，并使用简单加权(simple additive weighting，SAW)方法计算出方案的优势流和劣势流，据此获得方案的部分或完全排序。最后，通过一个算例验证了该方法的有效性。

关键词：混合型多属性决策; 级别高于关系; 高斯准则; 排序

0引言

级别高于方法是近年来研究最为活跃、应用十分广泛的解决多属性决策问题的一类方法。相对于其他力图建立可行方案集上完全序的方法，它所要求的条件较弱，且结果更为可靠[1]。PROMETHEE方法和ELECTRE方法是2类常被用来解决多属性决策问题的级别高于方法。与ELECTRE方法相比，PROMETHEE方法在级别高于关系的判定上更为精确，且较为简单、易于实施[1-2]。文献[3]于2001年对PROMETHEE方法进行扩展，提出了优势劣势排序方法(superiority and inferiority ranking, SIR)，适于处理属性值及其权重均是精确数形式的多属性决策问题。SIR方法基于一般性准则构建优势矩阵和劣势矩阵，并通过适当的多属性信息综合处理方法求出各个方案的优势流和劣势流，据此确定所有方案的部分或全部排序。自SIR方法提出以来，赢得了广大研究者和实践者的普遍关注[4]。文献[4]针对属性值及其权重均是犹豫模糊数的多属性群决策问题，提出了犹豫模糊SIR方法(hesitant fuzzy-SIR，HF-SIR)和区间型犹豫模糊SIR方法(interval-valued HF-SIR，IVHF-SIR)。文献[5-6]针对属性值及其权重均是以直觉模糊数形式给出的多属性决策问题，提出了一种直觉模糊SIR方法(IF-SIR)，并将其应用到供应商的选择上。文献[7]针对属性值是精确数，而属性权重信息不完全的多属性决策问题，提出了2种SIR方法。文献[8]针对属性值是精确数，而属性权重信息未知的多属性决策问题，提出了基于层次分析法(analytical hierarchy process,AHP)求取属性权重的SIR方法。文献[9]则从多属性信息综合处理方法的视角，提出了不同于已有方法(SIR·TOPSIS[3,7])的灰色SIR方法(SIR·Grey)，用于解决大规模避难所选址问题。

需要指出的是，上述SIR方法为解决现实中存在级别高于关系的多属性决策问题提供了较好的思路和支撑。然而，由于现实决策问题的复杂性和不确定性，属性值不一定仅是一种形式的数值，如精确数[3,7,9]或模糊数[4,6]等，而往往可能是精确数、区间数、模糊数等多种类型同时存在的情形。例如某航空公司在评价拟购买的客机时，通常考虑购机费用、直接运营成本、可靠性、维修性、适应性和技术先进性等属性，其中购机费用、直接运营成本和可靠性是定量属性，常以精确数或区间数的形式表示，而维修性、适应性和技术先进性是定性属性，往往难以量化，则常用语言变量或三角模糊数或梯形模糊数的形式来表示[10]。这种既包括定量属性又包括定性属性的多属性决策问题称为混合型多属性决策问题[11]，对其研究具有重要的理论意义和应用价值。目前，关于混合型多属性决策问题的研究虽已取得了大量成果[12-17]，但其主要是建立可行方案集上完全序的方法，而对于实际中存在级别高于关系的混合型多属性决策问题关注较少。因此，本文针对属性值是精确数、区间数和模糊数(包括三角模糊数和梯形模糊数)的混合型多属性决策问题，提出一种新的混合型级别高于方法(hybrid superiority and inferiority ranking，HB-SIR)。该方法依据由不同类型属性值组成的混合型多属性决策矩阵构建正负理想方案，将混合型多属性决策矩阵转化成标准优势和劣势差异信息矩阵，进而基于高斯准则计算各个方案的优势指数和劣势指数，构建优势矩阵和劣势矩阵，并使用简单加权(simple additive weighting，SAW)方法计算方案的优势流和劣势流，据此获得方案的部分或完全排序。

1预备知识

1.1距离的测度

(1)

(2)

(3)

(4)

1.2SIR方法步骤

为方便表述令M={1,2,…,m}，N={1,2,…,n}。记A={A1, A2, A3,…,Am}表示由m个备选方案组成的方案集，C={C1, C2, C3, …, Cn}表示由n个属性组成的属性集。设决策矩阵为D=[tij]m×n，其中tij表示方案Ai针对属性Cj的后果值，tij为精确数。w=(w1,w2,w3,…,wn)T表示属性的权向量，其中wj是属性Cj的权重。不失一般性，此处假设所有属性均是越大越好，决策矩阵D可表示为

(5)

步骤 1构建优势和劣势矩阵

为反映方案Ai针对属性Cj较方案Ak的优势度，或反映方案Ak针对属性Cj较方案Ai的劣势度，定义Ψj(Ai,Ak)=φj(tij-tkj)表示偏好强度。φj(t)是偏好函数，代表决策者的偏好结构，通常有6种形式可供选择，决策者亦可根据其偏好进行重新定义[3]。记Sj(Ai)和Ij(Ai)分别表示方案Ai针对属性Cj的优势和劣势指数，则所有方案的属性的优势和劣势指数分别构成优势和劣势矩阵：

(6)

式中，Sj(Ai)和Ij(Ai)可由式(7)计算：

(7)

步骤 2确定优势流和劣势流

(8)

决策者可根据自己的需求选择合适的综合函数：当选用简单加权SAW方法时，便可构成SIR·SAW方法；当选用TOPSIS方法时，便可构成SIR·TOPSIS方法。

步骤 3根据优势流和劣势流确定方案排序

2混合型多属性决策HB-SIR方法

步骤 1构建正理想方案(positive ideal alternative, PIA)APIA=(tJcPIA，tJIPIA，tJFPIA，tJGPIA)和负理想方案(negative ideal alternative, NIA)ANIA=(tJcNIA，tJINIA，tJFNIA，tJGNIA)。

(9)

式中

(10)

式中

(11)

式中

(12)

式中

(13)

式中

(14)

式中

(15)

式中

(16)

式中

因此，基于式(9)～式(16)便可构建正负理想方案

(17)

步骤 2构建标准优势和劣势差异信息矩阵X=[xij]m×n和Y=[yij]m×n。

(18)

(19)

(20)

式中

步骤 3计算方案的优势指数和劣势指数并构造优势矩阵S=[Sj(Ai)]m×n和劣势矩阵I=[Ij(Ai)]m×n。

根据式(21)计算各个方案Ai相对于正负理想方案(ANIA和APIA)关于每一个属性Cj的优势指数和劣势指数：

(21)

式中，Sj(Ai)是关于属性Cj方案Ai相对于负理想方案ANIA的优势指数；Ij(Ai)是方案Ai相对于正理想方案APIA的劣势指数；函数φ(t)是偏好函数，反映决策者的偏好结构和偏好强度，在6种常见的形式中高斯准则(Gaussian criterion)在实际中得到了广泛应用[2]。基于此，本文选择高斯准则来反映决策者的偏好结构和偏好强度，具体形式如下：

(22)

式中，σ反映了决策者偏好随t(优势差异xij和劣势差异yij)变化的强度，实际中σ的值由决策者给出。关于不同σ取值的偏好函数φ(t)的图像如图1所示。

图1　不同σ值下决策者偏好函数φ(t)

基于式(21)和(22)，构建的优势矩阵S=[Sj(Ai)]m×n和劣势矩阵I=[Ij(Ai)]m×n分别如下：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

若要得到整个备选方案的完全排序，可利用净流(n-flow)对方案进行完全排序[3]有

(28)

3算例

为了便于对比，下面通过文献[12]和文献[14]中的实例进行分析。某国国防部拟研发一种战术导弹，研发部门提供了4种导弹型号的有关信息，结果如表1所示。为了选择出合适的导弹型号，国防部派出的专家组对4种导弹的6种属性进行了详细考察，并给出了各属性的权重w=(0.2,0.2, 0.1,0.1,0.2,0.2)及偏好函数参数σ=2。其中，可靠性和可维修性属于定性属性。为验证方法的有效性，此处将可维修性的属性值按照表2[19]转化成梯形模糊数，将可靠性的属性值按照表3[20]转化成三角模糊数。

表1　4种不同型号导弹武器性能指标

表2　语言变量和梯形模糊数之间的对应关系

表3　语言变量和三角模糊数之间的对应关系

其次，由式(21)～式(24)，构建优势矩阵S=[Sj(Ai)]m×n和劣势矩阵I=[Ij(Ai)]m×n，此处参数σ=2。

表4　4种不同型号导弹武器的优势流、劣势流、净流及其排序

最后，基于式(26)～式(27)，并结合表4中的数据可知方案的部分和完全排序结果一致，即有

A1→A3→A4→A2

上述结果与文献[14]一致，而与文献[12]采用TOPSIS法获得的结果(A3fA1fA4fA2)存在差异。从表1可知，方案A1除可靠性外，其他属性均优于方案A3，且方案A1中区间数的区间长度较小，即不确定性较低，因而判断方案A1优于方案A3更为合理[14]，这说明了本文所提方法的可行性和有效性。

为增强与文献[12]的可比性，此处采用文献[12]中的混合型多属性决策矩阵，即将决策矩阵中的定性指标(C5可靠性、C6可维护性)均用三角模糊数表示。使用文中所提出的HB-SIR方法，可得到表5所示结果。

表5　4种不同型号导弹武器的优势流、劣势流、净流及其排序

进一步，基于式(26)～式(27)，并结合表5中的数据可知方案的部分排序为

方案的完全排序为

A1→A4→A3→A2

结果与文献[12]和文献[14]存在差异。由完全排序结果可知，不同的方法主要是在对方案A1、A3和A4的排序上有区别。关于方案A1排在第1位的合理性，文献[14]已经给出了充分的说明。关于方案A3和A4的排序，由本文得出的部分排序结果可知，A3和A4间是一种不可比较的关系，而这种不可比较关系恰恰可能导致不同的方法对A3和A4的排序结果不一致，如本文方法是A4fA3，而文献[12]和文献[14]却是A3fA4。从表1可知，方案A4的命中精度、弹头载荷和价格均优于方案A3，但机动性能、可靠性、可维修性却均劣于方案A3。从属性权重上看，方案A4优于(劣于)方案A3的属性权重和为0.5(0.5)。因此，判断方案A3和A4间存在一种不可比较的关系更贴合实际。

4结论

本文将SIR方法推广到混合型多属性决策领域，丰富了级别高于方法的内容体系，为解决现实中存在级别高于关系的混合型多属性决策问题提供了新的求解思路和途径。从实际算例的计算过程可以看出，该方法不仅能够有效识别出可行方案集中的级别高于关系(如算例中方案A1级别高于其他方案)，而且可以识别出可行方案集中的不可比较关系(如算例中方案A3和A4间的不可比较关系)或无差别关系，有助于决策者做出正确的选择。此外，本文方法具有计算过程简单、性能优良等优点，可用于金融项目投资选择、工程项目选址、军事方案的确立等诸多方面。需要指出的是，本文方法适用于处理属性值是精确数、区间数、三角模糊数和梯形模糊数的混合型多属性决策问题，而对于将语言信息转换成何种具体形式的模糊数(如三角模糊数、梯形模糊数、正态模糊数、犹豫模糊数、直觉犹豫模糊数等)，这是另一个值得深入研究的问题，因为不同形式的模糊数对决策结果会有一定的影响(如算例)。

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王方(1987-)，男，博士研究生，主要研究方向为决策分析、科技管理。

E-mail：wf.369.abc@163.com

李华(1963-)，男，教授，博士，主要研究方向为决策分析、科技管理、服务系统管理。

E-mail：lihua@xidian.edu.cn

张晓(1985-)，女，讲师，博士，主要研究方向为决策理论与方法。

E-mail：zhangxiao.neu@163.com

网络优先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141119.2224.009.html

Novel HB-SIR method for hybrid multiple attribute decision making

WANG Fang, LI Hua, ZHANG Xiao

(SchoolofEconomics&Management,XidianUniversity,Xi’an710071,China)

Abstract:For the problem of hybrid multiple attribute decision making with known information on attribute weights to which the attribute values are given in terms of crisp numbers, interval numbers, triangular fuzzy numbers and trapezoidal fuzzy numbers, a hybrid superiority and inferiority ranking (HB-SIR)method is proposed based on the outranking relation. Firstly, according to the hybrid decision matrix, the positive-ideal alternative and negative-ideal alternative are determined, then the hybrid decision matrix is transformed into both standardized advantage difference information matrix and standardized disadvantage difference information matrix based on different distance calculation formulas. Moreover, the superiority matrix (S-matrix) and the inferiority matrix (I-matrix) are constructed by calculating the superiority indexes and the inferiority indexes according to the Gaussian criterion. Furthermore, the simple additive weighting (SAW) method is employed to calculate the superiority flow and inferiority flow, and the complete ranking or partial ranking of the alternatives can be obtained. Finally, a numerical example is used to illustrate the feasibility and validity of the proposed method.

Keywords:hybrid multiple attribute decision making; outranking relation; Gaussian criterion; ranking

作者简介：

中图分类号：C 934

文献标志码：ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.05.19

基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金(20130203120024)；中央高校基本科研业务费专项资金(BDY251412)；陕西省软科学项目(2013KRZ25)资助课题

收稿日期：2014-06-24；修回日期：2014-09-26；网络优先出版日期：2014-11-19。