双向地震激励的标准化弹塑性位移反应谱

王 丰，王楠楠，张振楠，许海军

(大连民族学院 土木建筑工程学院，辽宁 大连116605)

近年来，随着基于性能抗震设计理念的提出，Pushover 分析方法得到了迅速的发展。由于Pushover 理论是建立在等效单自由度系统假设的基础上，所以可以将其与弹塑性位移谱结合以估算结构位移反应。目前，弹塑性位移谱的研究主要围绕着强度折减系数展开，很多学者给出了强度折减系数与周期、延性系数的关系［1-3］。有些学者直接通过统计分析建立非线性与线弹性单自由度系统的最大位移关系［4］。一些学者还考虑了P-Δ 效应对弹塑性位移谱的影响［5］。经过一定的研究积累，很多学者对弹塑性位移谱的研究进行了总结与评价［6-7］。然而，弹塑性位移谱的研究几乎都是以单向地震激励下的单自由度系统模型为前提，没有考虑平面外的影响。以往的震害分析及研究表明，结构在多维地震作用下会形成非线性反应的空间耦合作用。所以仅考虑地震的单向水平激励或按等效单自由度系统来计算分析结构的非线性反应不能准确反映实际情况。为此，文章提出考虑双向地震激励的标准化弹塑性位移反应谱理论，根据选取的地震动记录分析了不同场地、延性系数和两主轴方向周期比对谱值的影响。

1 基本原理

1.1 单质点双自由度系统的运动方程

设一个单质点系统，它在相互垂直的两水平主轴(x 和y)方向上具有双向自由度，沿两主轴方向同时承受双向地震动激励，运动方程为:

式中，m 为系统的质量;cx和cy为系统沿x 和y 方向阻尼系数;x(t)和y(t)为两方向的位移反应;f(x，t)和f(y，t)为两方向的恢复力。假定此单质点双自由度系统的恢复力模型为二维屈服面模型［8］，可以表示为:

式中，fx，yie和fy，yie为两主轴方向对应的单自由度系统的屈服力。定义加载、卸载准则为:当F(f(x，t)，f(y，t))＜1.0 时表示处于弹性状态;当F(f(x，t)，f(y，t))=1.0 时发生了侧向力增量(△f(x，t)，△f(y，t))后，有两种不同反应，一是力(f(x，t)，f(y，t))保持在屈服面上，这时有新的塑性变形增量(△Dx，△Dy)产生，这种情况称为加载;若力(f(x，t)，f(y，t))由屈服退回屈服面内，则称为卸载。

1.2 运动方程的标准化

定义单质点双自由度系统两正交方向的强度折减系数为Rx=fx，e，max/fx，yie和Ry=fy，e，max/fy，yie，其中fx，e，max和fy，e，max为两主轴方向对应单自由度系统的最大弹性力，可以分别表示为:

式中，βx和βy为x 和y 方向的地震放大系数反应谱。定义ux(t)=x(t)/xyie和uy(t)=y(t)/yyie，其中xyie和yyie为两主轴方向对应单自由度系统的屈服位移。将以上定义的关系式带入式(1)中，整理有:

式中，ωx和ωy为x 和y 方向的圆频率。在式(4)的求解中，定义μ=max|ux(t)|为系统x 方向的延性系数。由于结构的水平抗力强度是由规范设计谱确定，两主轴方向的单自由度屈服力比值可以近似表示为fx，yie/fy，yie=a(Tx)/a(Ty)，其中a 为地震影响系数，Tx和Ty分别为系统x 和y 方向的周期，分别等于2π/ωx和2π/ωy。于是可以建立以下关系:

若已知结构x 和y 方向的周期Tx和Ty，通过规范设计谱和式(5)可将式(4)中的Ry用Rx的函数形式替代。

1.3 标准化位移谱模型

在双向地震动i 的激励下，系统x 方向的最大的弹性位移和塑性位移分别表示为De，i和Dp，i。结合式(4)和(5)进行计算，若确定某一μ 值，通过迭代可以得到一强度折减系数值Rx，i。根据μ和Rx，i的定义有如下关系:

取多组双向地震激励进行计算，然后对式(6)两侧同时取数学期望，进一步推导可以得到以下关系［9］:

式中，由于Sde与Sdp是比值关系，可以约去统计平均中不同地震峰值加速度的影响，所以Sdp和Sde可以分别表示为不同双向地震激励得到的Dp，i和De，i的平均值。于是可以表示为x 方向的强度折减系数设计谱。根据弹性位移谱和弹性加速度谱的关系，并用βx·max||替代弹性加速度谱，可以得到系统x 方向的统计平均的标准化弹塑性位移谱公式:

式中，Sdp，n为x 方向统计平均的标准化弹塑性位移谱。Sdp，n是按每条地震波激励下的弹塑性位移谱Sdp除以相应的地震峰值加速度max||(即标准化)后，再取平均值得到。这种标准化的目的是在建立统计平均谱的过程中可以不用考虑峰值加速度的影响。本文即通过公式(8)、(4)和(5)建立等延性的标准化弹塑性位移谱。

2 标准化弹塑性位移谱分析

2.1 双向地震记录

按硬土(Vs=360 -750 m/s)、中等土(Vs=180 -360 m/s)和软土(Vs＜180 m/s)三类场地分别选择34 组、35 组、20 组，共89 组(178 条)双向地震记录，分别对应USGS 中的B、C 和D 类，详见文献［10］。选取的地震记录满足如下原则:(1)震级在6 级以上;(2)断层距在15km ～45km 之间;(3)每组双向地震记录中，至少有一条加速度峰值在0.1g 以上。

2.2 标准化弹塑性位移谱

三类场地下周期比η=1 时(定义η=Ty/Tx)的等延性系数标准化位移谱如图1。分析图1 可知:(1)三类场地下的标准化位移谱均为逐渐上升的趋势。其中，硬土和中等土场地的上升较为平缓，为抛物线型，标准化的位移谱值也较小;而软土场地的上升比较急剧，近似为线性上升，谱值明显比前两者大。(2)在硬土场地和软土场地，随着延性系数μ 的增大标准化位移谱值逐渐增大，相比较，在软土场地下此特点更为明显;在中等土场地，不同延性系数的标准化位移谱的谱值差别不大，规律性不明显。

为了分析系统两主轴方向周期比η 对谱值的影响，设θ=Sdp，n(η=某周期比)/Sdp，n(η=1)。于是，可以通过比值θ 以η=1 为基准分析周期比对标准化位移谱的影响。由于篇幅原因，仅以延性系数μ=4 为例，给出了三类场地下η=0.4、0.67、1.5、2.5 所对应的Sdp，n与η=1 所对应Sdp，n的比值谱，即θ 谱如图2。通过分析可知:(1)三类场地下总的特点是θ(η=0.67 和1.5)比θ(η=0.4 和2.5)更接近1，在短周期时θ(η=0.4 和2.5)偏离1 比较明显。说明单质点双自由度系统的两主轴方向周期的相对差值越大，对标准化位移谱的影响越明显。(2)随着延性系数的增大，此影响有增大的趋势。

图1 标准化的弹塑性位移谱(η=1)

图2 周期比对标准化弹塑性位移谱的影响图

3 结 论

提出了考虑双向地震激励的标准化弹塑性位移谱理论。假设单质点双自由度系统的弹塑性特性满足二维屈服面函数，选取89 组双向地震记录作为系统的双向激励，建立了统计平均的等延性系数标准化位移谱，分析了不同场地、延性系数和周期比对谱值的影响。通过分析得出:

(1)场地谱型特征:硬土和中等土场地谱型呈抛物线上升趋势，软土场地谱型呈近似线性上升趋势。硬土场地的谱值最小，中等土场与硬土场地的谱值比较接近，软土场地的谱值明显大于前两者。

(2)延性系数的影响:在硬土和软土场地下，随延性系数增大谱值有逐渐增大的趋势，而在中等土场地下，此特点不明显。

(3)周期比的影响:两主轴方向周期比对标准化位移谱具有一定的影响，并且随着延性系数的增大，影响有增大趋势。

［1］VIDIC T，FAJFAR P，FISHINGER M. Consistent inelastic design spectra:strength and displacement［J］.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1994，23:507 -521.

［2］徐福江，钱稼茹.常延性系数弹塑性位移谱及其应用［J］. 工程力学，2007，24(6):15 -20.

［3］BOZORGNIA Y，HAEHEM M M，CAMPBELL K W.Ground motion prediction equation for inelastic response spectra［J］. Earthquake Spectra，2010，26(1):1 -23.

［4］翟长海，李爽，谢礼立，等. 钢筋混凝土规则框架结构非弹性位移比谱研究［J］. 工程力学，2009，26(9):80 -86.

［5］ZHAI Changhai，LI Ning，MA Yuhong. P-Δ effect on inelastic displacement ratio spectra for inelastic structures［J］. Journal of Harbin Institute of Technology，2011，18(1):107 -112.

［6］TONG G S，ZHAO Y F. Inelastic yielding strength demand coefficient spectra［J］. Soil Dynamic and Earthquakes Engineering，2008，28:1004 -1013.

［7］BOZORGNIA Y，HAEHEM M M，CAMPBELL K W.Deterministic and probabilistic predictions of yield strength and inelastic displacement spectra［J］. Earthquake Spectra，2010，26(1):25 -40.

［8］王东升，李宏男，王国新.双向地震动作用弹塑性反应谱研究［J］. 大连理工大学学报，2005，45(2):248 -254.

［9］王丰，李宏男，伊廷华.双向地震作用下等延性强度折减系数反应谱研究［J］.振动工程学报，2009，22(2):193 -199.

［10］王丰，李宏男.双向地震作用下等延性系数的标准化滞回能量反应谱［J］. 地震工程与工程振动，2013，33(6):178 -186.