非自治时滞三种群食物链系统正周期解的存在性

赵 巍，谢丛波

(1.大连民族学院 理学院，辽宁 大连116605;2.大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室工程力学系，辽宁 大连116024;3.东北师范大学 数学与统计学院，吉林长春130024)

种群生态学家对捕食者-食饵模型已经做了大量的研究。本文考虑具有改进DeAngelis -Bazykin 功能反应的非自治三种群食物链系统满足初值条件:

xi(t)=φi(t)≥0，t∈［-τ，0］，φi(0)＞0(i=1，2，3)，

式中，xi(t)(i=1，2，3)为时刻t 时i 种群的密度，b1(t)为植物再生的自限制项，ai(t)(i=1，2，3)为无食饵时捕食种群的每头增长率(或死亡率)，cj(t)(j=1，2)分别为食草和食肉动物的最大捕食率，αj(t)(j=1，2)分别为食草和食肉动物的半饱和常数，βj(t)(j=1，2)为捕食者种间竞争影响参数，fj(t)(j=1，2)为能量转化参数，c3(t)为食肉动物的内禀增长率和最大环境容纳量的比值;并且b1(t)，ai(t)，ci(t)，fj(t)，αj(t)，βj(t)(i=1，2，3;j=1，2)均为连续、正有界的ω 周期函数，τj(t)(j=1，2)为连续非负的ω 周期函数。

其改进体现在以下两个方面:

(1)大多数经典模型，例如Oksanen 模型，植物V 的自身限制项是逻辑斯蒂增长的，结果导致模型的稳定性很容易破坏。因此，当只有植物量的一部分提供给食草动物时，假设生产者植物的增长服从再生增长模型，则更适合且简单。

(2)在现实中，当不同的捕食者相遇时，它们可能会因为争夺食饵而引起竞争。而且，功能性反应函数传递的能量也应随着环境的改变而改变，即，捕食者之间存在竞争关系。

作者之前已经讨论了具体的建模以及该三种群食物链自治系统的渐近行为［1］。然而，在许多生物和生态动力系统中环境的变化起着重要的作用。例如好的环境条件促进繁殖导致种群增长，反之，导致种群出生率降低，死亡率提高。而大多数自然种群的环境随着时间的改变而改变，故系统必引入时间依赖参数，这样模型必为非自治。目前许多人已经研究了非自治微分方程的种群模型，特别是具有周期系数的模型［2-9］。

本文主要讨论上述非自治时滞系统的正周期解存在性的充分条件。运用的方法是基于重合度理论及其延拓定理，这个方法是由Gaines 和Mawhin［10］引入。

1 正周期解的存在性

定理2 若系统(1)满足条件:

证明 作变换xi(t)=eui(t)，则系统(1)化为

其中fi(t，u):=(t)。显然，系统(1)有周期解((t)，(t)，(t))T等价于系统(2)有周期解(eu*1(t)，eu*2(t)，(t))T。下面只证系统(2)的周期解的存在性。

首先定义

利用Lebesgue 控制收敛定理，得QN 和KP(I-Q)N 是连续的，再利用Arzela -Ascoli 定理，得QN(¯)，KP(I-Q)N()对X 的任意一个开有界子集Ω 都是紧的。因此，N 在¯上是L-紧的。

对应于算子方程Lx=λNx，λ∈(0，1)，有

设u(t)=(u1(t)，u2(t)，u3(t))T∈X 是系统(2)对应于某个λ∈(0，1)的解，因(u1(t)，u2(t)，u3(t))T∈C(R，R3)，所以存在ξi，ηi∈［0，ω］，使得

由方程(5)可得

由方程(8)得

于是u1(ξ1)≥lnB1，u1(η1)≤lnL1，从而有

因为当τ1=0 时，不等式也应成立，故得

由方程(9)得

因为当τ1=0 时，不等式也应成立，故得

于是u2(ξ2)≥lnB2，u2(η2)≤lnL2，从而有

由方程(7)得

由方程(10)得

于是有u3(ξ3)≥lnB3，u3(η3)≤lnL3，从而有。

显然Hi(i=1，2，3)的选取与λ 的选取无关。

对于R3中的常值向量u，利用积分中值定理，存在ti∈［0，ω］(i=1，2，3，4)使得

式中，

令H=H1+H2+H3+H4，其中H4＞0 充分大，使得系统QNu=0 的每一个正解(，，)T∈(假如存在的话)，满足(，，)T=+＜H4。令

则Ω 满足延拓定理［10］中的第一个条件。当u∈∂Ω∩KerL=∂Ω∩R3时，u 是R3中的常值向量且u=H，于是QNu≠0。令构造同伦映射

常值向量u∈∂Ω∩R3且u=H，当u∈∂Ω∩R3时，必有G(u，μ)=0。由拓扑度的性质，并取

则有

即Ω 满足延拓定理中的第二个条件。由延拓定理，方程Lx=Nx 在DomL∩中至少有一个解，即系统(2)在Ω 中至少存在一个ω 周期解((t)，(t)，(t))T。令(t)=(t)，则((t)，(t)，(t))T为系统(1)一个正的ω 周期解。

定理证毕。

2 结 论

本文研究一类非自治三种群食物链捕食者-食饵模型。基于重合度理论及其延拓定理，最终得到该非自治时滞系统正周期解存在的充分条件。结果表明:当食草动物种群对植物的转化率足够大且死亡率和种间及外界的消耗率足够小到满足定理2 的条件(a)，食肉动物种群的死亡率足够小且食肉动物种群对食物的转化率足够大到满足定理2 的条件(b)，食肉动物种群对食物的转化率足够大且食草动物种群死亡率和种间及外界的消耗率足够小到满足定理2 的条件(c)时，系统存在周期正解，即食物链呈周期变化。

［1］赵巍，谢丛波，许军妮.一类三种群食物链系统的动力学行为［J］. 大连民族学院学报，2009(5):438 -441.

［2］范猛，王克.一类具有Holling II 型捕食者-食饵系统全局周期解的存在性［J］. 数学物理学报，2001，21(A):492 -497.

［3］SHEN C X. Positive periodic solution of a kind of nonlinear food-chain system［J］. Appl. Math. and Computation，2007，194:234 -242.

［4］TURCHIN P. Complex Population Dynamics:A Theoretical/Empirial Synthesis ［M］. Princeton，New Jersey :Princeton university press，2003.

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［7］CHEN W，LIU B. Positive almost periodic solution for a class of Nicholson’s blowflies model with multiple time-varying delays［J］. J. Comput. Appl. Math，2011，235:2090 -2097.

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［10］GAINES R E，MAWHIN J L. Coincidence degree and nonlinear differential equations［M］. Berlin:Springer -Verlag，1977.