基于模糊数学理论的工程成本-工期研究

高 贺，柴士超

(东北林业大学 土木工程学院，黑龙江 哈尔滨 150040)



基于模糊数学理论的工程成本-工期研究

高 贺，柴士超

(东北林业大学 土木工程学院，黑龙江 哈尔滨 150040)

为了提高工程在不确定环境下对工程成本的控制，通过对工程成本分析，并依据工程成本与工程规模、工期的关系，建立以工程成本为目标，人工费、材料费、机械费为不确定因素影响条件的优化模型，该模型通过模糊数学理论和方法，结合四边形模糊数的解析方法，将广义Lagrange乘子法与反证法相结合，得出模型最优解的求解过程，以期为工程成本控制提供一定的借鉴。

工程造价；不确定性；梯形模糊数；广义拉格朗日乘子法

随着经济的快速发展和客观环境的日益复杂，我国施工企业必须在项目管理中正确处理成本、工期、质量三者的关系，运用技术、经济、管理等措施对“三大方向”实行有效管制，从而获得较好的经济效益和社会效益。其中成本管理无疑成为施工企业最主要的任务之一。暴克琦[1]通过工程规模、工期和成本的关系建立相应的数学模型，最终得出工期的最优解。黄松显等[2]在不确定因素和人为因素对成本控制的影响与对策中，通过理论阐述了不确定因素下的成本管理措施。雄鹰等[3]采用蚁群算法对成本进行优化。KENZO等[4]针对工程项目中的不确定性问题，建立了GERT网络计划模型。LUIS等[5]运用蒙特卡洛仿真方法估计工程成本与工期的可能风险。上述学者对工程成本的优化主要集中在工程项目成本管理的概念、内容、特点和项目成本结构描述，或是对工程项目成本管理中成本管理一些方法的应用介绍。

笔者首先明确工程成本构成，总结工程成本内在规律；其次分析成本形成影响因素的定性研究；最后通过模糊数学理论建立以项目成本为目标的数学模型，并应用广义Lagrange乘子法求最优解，得出工期为最优解时的成本最优解。该模型能够对工程成本进行预测，有利于及时发现成本管理中的问题和薄弱环节，合理控制工程进度，继而控制工程成本。

1 工程成本分析

工程成本是指建造一个工程项目所需花费的全部费用，即从工程项目确定建设意向直至建成、竣工验收的整个建设期间所支出的总费用。这是保证工程正常施工的资金，是建设项目投资的重要组成部分。工程成本主要包括两部分：直接费和间接费。直接费包括人工费、材料费、机械使用费。间接费包括其他直接费和间接费。其中：人工费=用工日×日平均工资；材料费=材料耗用量×材料单价；机械使用费=机械台班数×台班单价；其他直接费=工程直接费×其他直接费费率；间接费=规费+企业管理费，规费=计算基数×规费费率(以直接费为计算基数),企业管理费=计算基数×企业管理费费率(以直接费为计算基数)。根据工程成本的主要成分，建立以成本为目标的基本函数关系式：

C=GWX+MQX+TZX+(GW+MQ+TZ)HX+

(GW+MQ+TZ)NX+(GW+MQ+TZ)FX

(1)

式中：X为工程的建筑面积；M为每平方米耗用的工程原料；Q为材料的现实单元价；G为工程每平方米的工作日；W为日平均工资；T为机械的每平方米需用台数；Z为机械的台班成本；H为该工程的其他直接费的取费率；N为该工程规费费率的取费率；F为该工程的企业管理费费率。

罗桂平[6]通过对工程项目成本构成与影响因素进行研究，依据工程项目成本组成中各部分成本占总成本比例为：①材料费是工程项目成本的主要组成部分，占总成本的50%以上，最高达到65%。②人工费所占比例都在12%以上。③机械成本所占比例在7%～17%之间。劳动力成本、材料成本和机械成本占总成本的85%～90%，而其他直接费和间接费占总成本的5%左右，最高不超过7%。

2 成本-工期模型建立

2.1 工程成本、工期、规模分析

工程建设项目的目标主要包括进度目标、成本目标、质量目标，这三大目标既相互对立又相互统一。BADU等[7]在论述进度目标、成本目标和质量目标的关系时指出：工程项目施工速度加快，会影响到工程完成的质量，并创建了线性模型来研究进度、成本和质量之间的平衡关系。EI-RAYES等[8]论述了进度和成本的综合优化问题，并综合了进度和成本的关系，提出了可行的优化方法。HSIEH[9]在论述进度-成本-质量的优化模型中，提出了采用离散的工程项目模型进行求解。上述学者根据进度、成本、质量三者之间的关系，找出了其平衡点。

图1所示为工程成本与工期关系图。对于一个特定的工程项目，工程总成本会随着工期的延长先下降后上升，即工期-工程总成本函数为U形函数。由图1可知：直接成本的费用是一条曲线，在一般情况下，直接成本会随着工期的缩短而增加，随着工期的延长而减少。但是，如果工期无限制地延长，也可能会引起直接成本的增加。间接成本的费用近似一条与工期成正比的直线，会随着工期的缩短而减少，随着工期的延长而增加。

由于工程项目成本构成复杂，受到宏观经济环境、工程自身特征、施工组织管理、天气、施工环境和意外事故等众多不确定因素的影响，因此为了简化该理论模型，参考文献[6]工程项目成本构成与影响因素研究中引入的变量，将工程进度和工程规模作为控制变量。工程成本与施工工期的关系如式(2)所示。

图1 工程成本与工期关系图

C(X,D)=α+α1X/D+α2D

(2)

式中：C为工程总成本；X为工程规模；D为工程工期；α、α1、α2为常数且大于0。

2.2 道路工程成本主要影响因素不确定分析

建筑工程项目领域广，建设周期长，耗费大量人力、物力和财力，影响因素众多且情况复杂，致使工程造价高，即使工程成本变化幅度较小，也会导致工程造价出现比较大的偏差。

工程成本的不确定性主要表现在3个方面：①项目本身存在着不确定性；②项目规模及其消耗和占用的资源数量存在着不确定性；③项目所消耗和占用的资源价格存在不确定性。

影响工程成本不确定性的因素主要有：

(1)工期的不确定性。工期的不确定性直接导致人工费与机械使用费的不确定性。根据项目进度和成本的关系，当质量和安全在一定的条件下，存在最佳的项目进度，项目成本是最低的。

(2)材料价格的不确定性。价格水平只对个别的间接成本费用有一定的影响，对大多数施工项目成本，特别是原材料成本并没有显著的影响，这主要是由于项目部在整个施工期内，对材料价格的变动有准确的判断并且制定了相应的措施，使得整体材料费用受物价波动的影响不大。

(3) 材料消耗量的不确定性，即生产率的不确定性，工程量清单计价中材料的净用量一定，变化的是材料的损耗量。

(4)实际工程量的不确定性，例如不可预见工程量、冬雨季施工的施工附加量，以及作业空间增加的工程量，若采用工程量清单计价模式，投标报价时清单工程量己给出，此时，工程量的不确定性体现在综合单价变化上。

笔者在影响工程成本不确定因素的分析中，假设质量和安全为一定条件，通过模糊数学理论，对工程成本主要组成中的人工费、材料费、机械费进行模糊化处理，结合四边形模糊数解析法，得出工程进度的最优解，进而得出工程成本的最优方案。

2.3 模糊数学理论的应用

从20世纪90年代起，许多学者开展了模糊数学的应用研究，其中MORTEZA[10]在研究短缺生产-库存模型时，假定全部生产因素为模糊数，使用一套模糊数的运算法则创建无欠缺生产-库存模型，并用广义Lagrange乘子法求最优解，大大简化了建模与求解的进程。在建筑领域，ABALFAZL等开展挣值法在模糊理论的研究，将梯形模糊数转化为挣值法，与项目成本和进度相结合，在模糊数学理论基础上预测项目的竣工时段。

由于在工程施工中对不确定的因素进行定量处理非常复杂，因此在难以定量处理的方面可用语言变量表示,如目标权系数可表示为“很低”、“低”、“中”、“高”、“很高”等语言变量的形式。因此按照广义模糊数的线性取值图将这些语言变量值的从属函数转变为不规则四边形模糊数。通过对模糊值的大小估计重心法，则A=(α1,α2,α3,α4)的实际大小为：

(3)

图2 广义模糊数线性取值图

其中,0

2.4 工程成本模糊四边形

根据式(1)及四边形模糊数的运算法则，以工程模糊成本为目标的模糊四边形为：

C=(Wbg+Qag+Zcg)(1+H+N+F)X(5)

根据式(3)重心法估计模糊数大小：

(6)

其中,Lg=(Wbg+Qag+Zcg)×(1+H+N+F)X,g=1,2,3,4。

2.5 模型的建立

基于工程造价的定义，建立以成本为目标的优化模型，根据变量之间的线性关系、项目的规模，结合梯形模糊数的理论和方法，采用广义拉格朗日乘子法和反证法，得到了模型的最优解。但对工程造价与工程规模之间关系的分析，表明两者的线性关系，并且呈递增趋势。因此笔者采用工程成本与工程进度两者之间的关系建立相应的模型。联立式(2)和式(5)，建立工程成本模糊因素-工期-工程总成本模型：

(7)

Ig=(Wbg+Qag+Zcg)(1+H+N+F)

(8)

g=1,2,3,4

在工程工期为模糊状况下，建立最终工程模糊成本数学模型：

(9)

3 模型的求解

利用最优乘子法的广义拉格朗日解的约束极值问题，即：

由于有4个变量，直接求出解的具体形式非常困难，故在求解过程中，不妨假设所求问题总有解。求解过程如下：

(10)

根据广义拉格朗日乘子法的最优解求解方法，可得：D2-D1=0,D3-D2=0,D4-D3=0,D1>0，即当0

为了找到L(D1，D2，D3，D4，λ1，λ2，λ3)的最小值，采取求偏导的方法，对L(D1，D2，D3，D4，λ1，λ2，λ3)分别对D1，D2，D3，D4，λ1，λ2，λ3求偏导并令其导数等于零，即可得该模型的最优解。

由式(9)可知：

(11)

式中：α,α1,α2均为常数且大于0；B为工程工期；A为工程成本主要组成因素及工程规模。

总之，以数学建模作为基本指导思想和方法论，从多元素集成成本管理系统的角度，充分考虑工程项目成本的主要成分，通过对项目成本与进度的关系进行适当简化，结合广义拉格朗日乘子法和反证法，得出该模型的最优解。

4 算例验证

哈尔滨市某市政工程维修一条道路。该项目合同总价为105万元，工期约为50天，并根据该项目的施工特点编制施工组织设计，该工程的其他直接费的取费率为0.15，规费费率为0.041，企业管理费费率为0.059。

为了简化计算该项目的最佳工期，根据哈尔滨市2005年1月1日到2013年12月31日期间开工的工程项目成本核算数据，经过筛选后，剔除不完整数据，如尚在施工未结算的数据及拆迁类数据等。由于代表宏观经济因素的PPI同样会影响施工总成本及工程项目的材料费，因此用PPI将施工总成本与工程规模分别标准化，以剔除PPI的干扰，作为施工总成本的替代变量。利用SPSS软件对数据进行多元线性回归检验，得出α1=28.932；α2=2 104 277.216；通过Matlab对式(2)进行拟合，得出α=5.321×109。

将项目成本的主要组成费用换算为均值。①人工费。810个工作日，其日平均工资为120元/日。②材料费。材料的耗用量为110吨，其材料平均价格为5 000元/吨。③机械费。台班数为150个工作日，其日平均台班工资为1 300元/日。为了简化计算该项目的最佳工期，根据式(4)，使用一个通用的语言规则转移数据，梯形模糊数为：“比X更大或更小”=(0.9X，0.95X，1.05X，1.1X)。“大约X”=(0.95X，X，X，1.05X)。

根据工程项目的特性对该项目的人工费、材料费、机械费、间接费进行评判得出：人工费的不确定性为“大约X”=(9.234，9.72，9.72，10.206)；材料费的不确定性为“比X更大或者更小”=(49.50，52.25，57.75，60.50)；机械费的不确定性为“比X更大或者更小”=(17.550，18.525，20.475，21.450)。根据式(8)得出A=37.689；由式(11)可知该工程的最佳工期为44.832天。

5 结论

在实际工程施工环境中，施工工期、材料价格、材料消耗量及实际工程量的不确定性构成了工程成本的不确定性，从而导致工程成本的预算与工程实际成本会出现较大的偏差。通过基于模糊数学理论对工程成本分析，根据道路工程成本、工程规模和工程工期的关系，建立了以工程成本为目标的理论数学模型,并将该理论数学模型与工程成本基本函数关系相结合，将其因素模糊化，得出最终工程成本模型。在模糊化的工程成本模型基础上，依据广义模糊数的运算与广义Lagrange乘子法，得出在已知的工程规模下工程项目工期的最优解。

[1] 暴克琦．工程规模、工期与施工总成本：基于某大型国有施工企业工程项目成本数据的实证研究[D]．成都：西南财经大学，2012.

[2] 黄松显，黄军周．不确定因素和人为因素对成本控制的影响与对策[J]．中州煤炭，2010(10):141-142.

[3] 雄鹰，匡亚萍．基于蚁群算法的施工项目工期-成本优化[J]．系统工程理论与实践，2007(3):105-111.

[4]KENZOK，NOBUYUKIN.EfficientMonteCarlosimulationmethodofGERT-typenetworkforprojectmanagement[J].Computers&IndustrialEngineering，2002，42(2-4):521-531.

[5]LUISFA,DAVIDBA,ANGELIQUESH,etal.Riskplanningandmanagementforthepanamacanalexpansionprogram[J].JournalofConstructionEngineeringandManagement,2011,137(10):111-113.

[6] 罗桂平．工程项目成本构成与影响因素研究:基于工程项目成本的数据挖掘[D]．成都：西南财经大学，2011.

[7]BADUAJG,SURESHN.Projectmanagementwithtime,costandqualityconsiderations[J].EuropeanJournalofOperationalResearch,1996,88(2):320-327.

[8] EI-RAYES K, KANDIL A. Time-cost-quality trade-off analysis for highway construction[J]. Journal of Construction Engineering and Management,2005, 131 (4): 477-478.

[9] HSIEH C H. Optimzation of fuzzy production inventory models[J]．Information Sciences,2002,146(1):29-40.

[10] MORTEZA B．Designing a control mechanism using earned value analysis：an application to production environment[J]．The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2010 (49): 419-429.

GAO He:Assoc. Prof.; School of Civil Engineering, Northeast Forestry University, Harbin 150040, China.

[编辑：王志全]

Project Cost and Time Limit Based on Fuzzy Mathematics Theory

GAOHe,CHAIShichao

In order to improve the control on engineering cost of project in uncertain environment, the project cost was analyzed; and an optimization model was established based on the relationship of project cost and project scale and construction period while engineering cost was taken as the goal. The uncertainty conditions included labor fee, materials fee and machinery fee. The fuzzy mathematics theory and method, combining with trapezoid fuzzy number analysis method were used in the model. The generalized Lagrange multiplier method was combined with reduction to absurdity to obtain the solving process of optimal solution. It provides cost control reference for construction enterprise.

engineering cost; uncertainty; trapezoidal fuzzy number; generalized Lagrange multiplier method

2015-05-14.

高贺(1974-)，男，黑龙江龙江人，东北林业大学土木工程学院副教授.

黑龙江省交通厅科研基金资助项目(MJ20110034).

2095-3852(2015)06-0786-04

A

TU723

10.3963/j.issn.2095-3852.2015.06.027