抓问题特征,简单解答求数列通项公式问题
2015-02-16酒泉师范学校735000
(酒泉师范学校735000)
抓问题特征,简单解答求数列通项公式问题
朱 鸿(酒泉师范学校735000)
抓问题特征,简单解答求数列通项公式的问题。
数列特征求法
求数列的通项公式是学习数列知识的难点,通常表现出来的问题是教师讲解,学生能听懂,但遇到问题学生不会自己解答。这主要是学生对求数列通项公式问题的特征没有很好的把握,见了问题辨认不清造成的。要很好地解决这个问题,首先应掌握问题的特征,然后再掌握求解的思路和方法。下面笔者就一些常见的简单的求数列通项公式问题的解答略作总结。
一、观察数列中各项的特征,求数列的通项公式
这类问题的特征是给出一个数列的前几项,求数列的通项公式。一般在给出的前几项中,存在着丰富的信息,对此,我们只要抓住最具特征的信息,以此为突破口,就能很容易地找到第n项an与项数n之间的关系,求出通项公式。
二、利用等差或等比数列的通项公式,求数列的通项公式
这类问题的特征是数列是等差数列或等比数列,是求数列通项公式中最简单的一类问题,根据等差数列或等比数列的通项公式求解即可。
三、利用an与Sn之间的关系,求数列的通项公式
第一步:当n=1时,a1=S1;
第二步:当n≥2时,an=Sn-Sn-1;
解:(1)当n=1时,a1=S1=3
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1
把n=1代入n≥2时的通项,得a1=3=S1,所以,an=2n+1。
(2)当n=1时,a1=S1=6
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1
(2)当n=1时,10a1=10S1=a21+5a1+6,解之,得a1=2或a1=3。
当n≥2时,10an=10Sn-10Sn-1=a2n+5an+6-a2n-1-5an-6
即(an+an-1)(an-an-1-5)=0
又∵a1,a3,a15成等比数列∴an=5n-3
∴}的前n项和为Sn,满足4Sn=a2n+1-4n-1,n∈N*且a2,a5,a145构成等比数列,求数列an{}的通项公式。
解:当n=1时,4a1=4S1=a22-5,a22=4a1+5,
当n≥2时,即4an=4Sn-4Sn-1=a2n+1-a2n-4,a2n+1=(an+2)2
∵an>0∴an+1=an+2∴n≥2时,数列an{}是等差数列。
又∵a2,a5,a14是等比数列,∴a25=a2a14,即(a2+6)2=a2(a2+24),解得a2=3
又a22=4a1+5∴9=4a1+5,a1=1∴a2-a1=2∴an{}是等差数列
∴an=2n-1
四、已知数列的递推公式,求数列的通项公式
已知数列的递推公式,求数列的通项公式时,要求记住三点:记住递推公式的特征;记住求解思路;记住求解方法,最关键是记住递推公式的特征。
(一)已知数列{an}的首项a1及递推公式an+1= an+f(n),求通项公式
1.递推公式特征:an+1=an+f(n);
2.求解思路与求解方法:累加法或叠加法。
例5在数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an=an-1+2n+1,求数列{an}的通项公式。
解:当n≥2时,
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+ 5+…+(2n-1)=n2
把n=1代入上式,得a1=1,与已知相符,所以an=n2。
1.递推公式特征:an+1=f(n)an。
2.求解思路与求解方法:累乘法或叠乘法。
例6在数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时, nan-1=(n+1)an,求数列{an}的通项公式。
(三)已知数列的一元二次字母系数方程,通过解方程得出递推公式an+1=f(n)an,再利用累乘法求出数列}的通项公式。
例7在各项均为正数的数列an{}中,a1=2,,求an。
把n=1代入上式,得a1=2,与已知相符,所以an=2n。
(四)已知数列an{}的首项a1及递推公式an+1=pan+q(p≠0且,p≠L,q≠0),求通项公式
1.递推公式特征:an+1=pan+q(p≠0且,p≠L, q≠0)。
例8已知数列an{}的通项。(an=2n+1-3)
解:递推公式可化为an+1+3=2(an+3)∴数列{}中,a1=1,2an+3求数列an an+3{}的首项a1及递推公式an+1=ManN(an>0,M>0),求通项公式
1.递推公式特征:an+1=ManN(an>0,M>0)2.求解思路与求解方法:通过两边取对数{}是首项为4等比数列。
∴an+3=2n+1∴an=2n+1-3
例9已知数列an{}满足a1=c>0,an+1=an3+ 3an2+3an(n∈N*)求数列的通项公式。
解:递推公式可化为an+1+1=(an+1)3……(1)
∵a1>0∵a1=c>0,an+1=an3+3an2+3an(n∈N*),∴an>0
∴给(1)两边对数,得lg(an+1+1)=3lg(an+1)
∴lg(an+1+1{})是公比为3,首相为lg(c+1)的等比数列
∴lg(an+1)=lg(c+1)3n-1=lg(c+1)3n-1∴an+1=(c+1)3n-1-1
(六)已知数列an{}的首项a1及递推公式an+1=pan+qn(pq(p-1)(q-1)≠0),求通项公式
1.递推公式特征:an+1=pan+qn(pq(p-1)(q-1)≠0)。
1.递推公式特征:an+2=pan+1+qan(p,q均为常数)
2.求解思路与求解方法:利用待定系数法,即令原递推公式可化为an+2-San+1=t(an+1-San)的形式,构造一个以t为公比的等比数列an+1-San
(责编 赵建荣)