球面三角形法在数字天顶仪中的应用

刘先一 周召发 张志利 张新帅

1 第二炮兵工程大学，西安市同心路2号，710025

数字天顶仪是一种高精度的天文定位仪器。通过对获取的星图进行处理，再结合GPS测得的大地坐标，可以快速精确地实现对测站点的定位。Halicioglu等［1－2］对切平面法在天文定位中的运用进行研究，孙荣煜等［3］对切平面法进行改进。但以上方法都会因恒星质心的测量误差、定位星匹配错误等导致定位精度降低，并且在数据处理过程中存在迭代次数较多、数据收敛速度较慢等问题。本文采用球面三角形法，充分运用恒星的坐标信息，使用最小二乘平差法和迭代法，减小了恒星质心测量误差对解算结果的影响，提高了解算结果的精度和数据的收敛速度。

1 数字天顶仪定位原理

通过对CCD 获取的恒星影像进行处理，可以得到相应的CCD 坐标。运用星表对所得恒星进行匹配，得出恒星的切平面坐标。通过像坐标、切平面坐标和天文坐标的高精度转换，可以对测站点进行精确定位。

将恒星赤道坐标系投影到与天球相切的切平面上，建立切平面坐标系o－ξη（图1）。其中η指向天球正北方向，ξ指向天球正东方向。以GPS测得的（α0，δ0）作为测站点初始概略天文坐标值，并以此点为原点作切平面，天球上任意恒星（α，δ）在切平面上的投影坐标可表示为（ξ，η）。则有：

图1 切平面示意图Fig.1 Sketch map of tangent plane

建立天球切平面坐标（ξ，η）与影像坐标（x，y）之间的映射关系，则有：

通过最小二乘法求解相应的系数，在影像坐标系中求得光轴中心的影像坐标（x0，y0），通过映射关系可以求出光轴中心的切平面坐标（ξz，ηz），从而得出光轴的天球赤道坐标（αz，δz）：

2 球面三角形法定位原理

在测站点上使数字天顶仪的光轴垂直指向天顶，获取恒星的影像。恒星的天球赤道坐标是已知的，计算出恒星影像坐标的理论值，并测量恒星影像坐标的实际值，通过最小二乘平差法，获得测站天顶的天球赤道坐标。

以CCD 面阵的一角为原点，两边为坐标轴，建立成像面量测坐标系O－XY。CCD 的理想坐标系O′－NE的坐标平面与数字天顶仪的主光轴垂直，并与以数字天顶仪焦距f为半径的球面相切，切点即为O′，N轴指向正北，E轴指向正东。两坐标系之间的夹角为θ（图2）。

图2 恒星投影原理Fig.2 The principle of a star projection

由天球的北极P、测站点和任意一颗恒星构成球面三角形。由投影关系，可以得出恒星在量测坐标系中的理论坐标为：

式中，xc、yc为O′在O－XY中的坐标，焦距f的单位为mm，两者均为已知量；pix 为CCD 像元尺寸，单位为mm；α0、δ0为测站点的天球赤道经纬度，α、δ为恒星的赤经赤纬。

以GPS测得的经纬度（αa，δa）作为测站点初始概略天文坐标值，对于任意一颗恒星的影像，测量坐标的误差方程为：

在VTWV＝min的条件下可得：

式中，W为权系数矩阵，此处权系数相同。

首先根据初始值用式（8）、（9）计算出一颗恒星的理论坐标，结合实际测量坐标值，代入式（12）、（13）计算出B、f。把B、f代入式（11），计算3个未知量的偏差ΔX。把此偏差叠加到初始值中求逼近的解，再把求得的结果当作初始值，重复上面的过程。经过数次重复计算后，就可以得出非常精确的解，从而求出测站点的天文经纬度。

3 数据仿真及分析

数字天顶仪中的CCD 像素为4 096×4 096，视场角大小为3°×3°。运用Matlab对数据进行仿真。设测站点精确天文赤道坐标为（109.12，34.30），取初始概略天文赤道坐标为（108.00，34.50），在视场中取15颗星对目标定位。表1给出了部分仿真恒星的位置坐标。

表1 部分识别恒星的数据Tab.1 Part of the recognized star data

由球面三角形法可以解算出测站点的天球坐标，如图3所示。当给定的概略位置坐标与精确位置坐标分别相差5°、3°和1°时，由切平面法和球面三角形法分别解算测站点位置坐标时需要迭代的次数，如图4所示。

从图4可知，由球面三角形法解算出来的天文经纬度精度较高。在数据迭代过程中，当概略位置与精确位置相差较多时，球面三角形法迭代次数较少；当概略位置坐标与精确位置坐标相差较少时，两种算法的迭代次数接近。就总体的迭代次数而言，球面三角形法解算数据的收敛速度要快于切平面法。

4 结 语

传统的切平面法在解算天文经纬度时对数据的处理存在一定的误差，精度较低。本文在传统的切平面定位方法的基础上引进球面三角形法，运用迭代和最小二乘平差法对数据进行较好的处理，提高了定位精度。实验表明，球面三角形法的求解精度要高于切平面法，并且在迭代过程中数据收敛速度较快。

图3 精度的比较Fig.3 Comparision of precision

图4 不同差值时的迭代次数比较Fig.4 Comparision of iteration number in different D－vaule

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［3］孙荣煜，赵长印，侯永刚.加权最小二乘在精密天文定位中的应用［C］.第四届中国卫星导航学术年会，武汉，2013（Sun Rongyu，Zhao Changyin，Hou Yonggang.Using Weighted Least Square Method for High Precision Astronomical Calibration［C］.The 4th China Statellite Navigation Conference，Wuhan，2013）

［4］房建成，宁晓琳.天文导航原理及应用［M］.北京：北京航空航天大学出版社，2006（Fang Jiancheng，Ning Xiaolin.The Theory and Application of Astronomy Orientation［M］.Beijing：Beihang University Press，2006）

［5］曾志雄，胡晓东，高立民.天顶摄影仪轴系误差对垂线偏差测量精度的影响及其修正方法［J］.光学精密工程，2001，12（1）：6－10（Zeng Zhixiong，Hu Xiaodong，Gao Limin.Effect of Digital Zenith Camera Axis Error on Measurement Precision of Vertical Deflection and Its Correction［J］.Optics and Precision Engineering，2001，12（1）：6－10）

［6］Hirt C，Seeber G.Accuracy Analysis of Vertical Deflection Data Observed with the Hannover Digital Zenith Camera System TZK2－D［J］.Journal of Geodesy，2008，82（6）：347－356

［7］Schoebel R，Hein G W，Eissfeller B.Renaissance of Astrogeodetic Levelling Using GPS／CCD Zenith Camera［C］.The IAIN World Congress and the 56th Annual Meeting of the Institute of Navigation，Institute of Navigation（ION），San Diego，2000