附加线性不等式约束的条件平差模型未知参数的解算

张松林 张 昆

1 同济大学测量与地理信息学院，上海市四平路1239号，200092

2 华东师范大学地理信息科学教育部重点实验室，上海市东川路500号，200241

文献中所讨论的附加线性不等式约束的平差模型无一例外地都是基于间接平差模型的［1－10］，模型形式为：

虽然有文献在论及附加不等式约束的模型时使用了附加参数的条件平差模型：

但是在处理中，运用最小二乘准则时，将附加参数的条件平差模型与间接平差模型同样对待：

条件平差模型（Av＋w＝0）、间接平差模型和附有限制条件的间接平差模型是附有限制条件的条件平差模型的特例，分别对应于B＝0，C＝0；A＝－I，C＝0以及A＝－I。本文在回顾附有参数的条件平差理论的基础上，探求附加不等式约束的条件平差模型未知参数的求解。

1 条件平差模型回顾

附有参数的条件平差模型在最小二乘准则下可表示为［11］：

其计算思路是根据求条件极值的理论组成目标函数，分别对v和求一阶偏导数，并令它们为零，得到关系式，进而求得。令NA：＝AP－1AT，NB：，则未知参数的估值和改正数向量为：

2 附加不等式约束的条件平差

附加不等式约束的条件平差模型可表示为：

当G＝0时，式（7）退化为附有参数的条件平差模型（5）。引入最小二乘准则vTPv＝min，式（7）实质上等价于：

由K－T 条件可知，当不等式约束集中的某约束j以等式成立时，必有相应的拉格朗日乘子λj＞0；当不等式约束集中的某约束j以严格不等式成立时，必有相应的拉格朗日乘子λj＝0。所以，由K－T 条件对拉格朗日函数中的λ进行约束（对k无约束作用），来求取合适的λ。

目标函数（10）分别对v和求一阶偏导数并令其为零，整理可得法方程：

NA、NB和We的定义同前，用左乘式（11a）并减去式（11c）得：

即

由此得到：

将代入式（11b），可以得到＋h＝0。由式（5）可知，当式（7）没有不等式约束时，未知参数的解可由式（6）得到，记，有：

求解的关键是求出满足条件的λ。令D＝，将式（15）表达为矩阵形式Dλ＝d，即

Di，j为矩阵D的第i行第j列的元素，通过在传统高斯消去法的基础上设计迭代来实现。将式（16）的第i行展开，有：

所以有：

由式（18），可写出迭代的具体过程为：

4）如果λp＋1≠λp，则p＝p＋1，转2），继续迭代；否则得到；

5）把代入式（14），得到未知参数的估值

在以上迭代过程中，迭代的终止条件其实就是K－T 条件。

根据的结果，可以区分出有效约束和无效约束，值不为0的所对应的约束为有效约束，记为，其余的为无效约束。其中G1为s1×u的矩阵，s1为值不为0的的个数。去掉无效约束，将有效约束的不等号改为等号，则式（8）变换成：

3 算 例

本文所使用的条件方程的A、B矩阵和w向量的数据见表1，c＝5，n＝9，u＝2，A和B分别是5×9和5×2的矩阵，w是一个5×1的向量。

表1 矩阵A、B 和向量wTab.1 Matrix A，matrix Band vector w

无约束的条件平差模型的未知参数的最小二乘解见表2第2列。附加以下不等式约束：

采用迭代乘子法，ε取10－12，解得乘子＝0.041 2，＝0.0000。第一个不等式约束为有效约束，未知参数的估值见表2第3列。将未知参数的估值和约束条件表示在由2个参数定义的坐标系中，见图1。由图1也可看出，无约束的未知参数估值所对应的点位于第一个约束形成的可行域外（实线晕线表示的区域），第一个约束是有效约束；无约束的未知参数估值所对应的点位于第二个约束形成的可行域内（虚线晕线表示的区域），第二个约束是无效约束。

由于所添加的第二个不等式约束为无效约束，舍弃；第一个不等式约束为有效约束，将其转化为等式约束，按附加等式约束的条件平差模型，采用式（19）计算得未知参数的估值，见表2第4列，与迭代乘子法所得一致。

表2 未知参数的估值Tab.2 Estimated unknown parameters

图1 约束与未知参数的估值Fig.1 Constraints and estimated unknown parameters

4 结 语

本文对附加不等式约束的条件平差问题的解算思路进行了推导，即根据K－T 定理，对拉格朗日乘子λ进行约束，通过迭代算法求解满足K－T条件的拉格朗日乘子，进而求得未知参数的最佳估值。通过算例，验证了该方法的可行性，也验证了该方法所求得的参数与把有效约束当作等式约束、按附加等式约束的条件平差模型的解算结果是一致的。

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