不同组合方法对GPS高程拟合的影响

任 超 梁月吉 蓝 岚 庞光锋

1 桂林理工大学测绘地理信息学院，桂林市建干路12号，541004

2 广西空间信息与测绘重点实验室，桂林市建干路12号，541004

GPS获得的高程是基于WGS－84 参考椭球的大地高［1］，而工程中所采用的高程是基于似大地水准面的正常高，因此，为满足实际应用，需要解决GPS的高程转换问题［2］。常用的GPS高程异常拟合方法主要有平面拟合模型、曲面拟合模型、神经网络模型及支持向量机等，但每一种模型都存在自身的局限性。比如平面拟合模型一般只适用于似大地水准面近似平面的区域，如较小范围的平坦或低丘地；曲面拟合模型［3］适合于似大地水准面变化较为复杂、规律性较明显的数据，对高程异常的中长波项有较好的拟合效果。这两种拟合模型对似大地水准面都作了某些人为假设，存在一定的模型误差［4］。BP神经网络对GPS高程拟合是一种自适应映射关系，能够有效避免未知非线性因素的影响，减少模型误差，但其存在收敛速度慢、过学习、容易陷入局部最优等缺点［5－6］。

本文从不同组合方法对GPS高程拟合精度的影响出发，提出基于平面拟合、二次曲面拟合和GA－BP神经网络3种单一拟合模型的非线性组合和线性组合两种方法，非线性组合法包括RBF神经网络组合和最小二乘加权向量机组合；线性组合法包括最优加权组合和最优非负变权组合。通过算例，探讨不同组合方法综合各单一拟合模型的效果，以及对GPS高程拟合精度的可靠性分析，并对比分析各组合方法的特点和适用性。

1 单一拟合模型

1.1 平面拟合模型

平面拟合模型的数学表达式为［7］：

式中，a0、a2和a3为待定系数，xi、yi为平面坐标。通过利用3 个或3 个以上的已知点求出待定系数，即可建立拟合模型。

1.2 二次曲面拟合模型

设测站点的高程异常ζ与平面坐标（x，y）的关系为［3］：

式中，f（x，y）代表ζ的趋势值，ξ为误差。设

式中，bi为待定系数。式（2）、（3）即为二次曲面逼近模型。

1.3 GA－BP神经网络模型

BP神经网络是由Rumelhart等于1986年创立的一种模仿人类大脑结构和功能的新型信息处理算法，其基于多层前向神经网络，采用误差反方向传播的学习算法进行权值调整，以得到拟合精度较高的神经网络。采用BP 神经网络［5－6］对高程异常拟合时，由一个输入层、一个隐含层和一个输出层构成，采用双曲正切函数作为输入层和隐含层之间的传递函数；输出层含一个神经元。将学习集数据分为训练集和测试集，分别以平面坐标（x，y）作为输入向量，对应的高程异常值ζ作为输出向量来进行建模和测试。同时，采用可在多个区域内寻求最优解的遗传算法［8］GA（genetic algorithms）优化BP 神经网络各层之间的连接权和阈值，使BP 神经网络拟合效果更加稳定。对平面坐标数据和高程异常值均进行归一化处理。

2 高程拟合组合方法

2.1 非线性组合法

1）RBF神经网络组合

RBF神经网络［9］是由输入层、隐含层和输出层构成的3层前馈网络，具有良好的学习和较强的泛化能力。本文选取径向基函数作为隐含层的激励函数，采用高斯函数作为径向基函数。采用标准化数据预处理方法对模型的输入向量进行预处理，输出向量为实际高程异常值。

采用RBF神经网络对以上3种单一模型进行组合，将学习集分为训练集和测试集，输入向量主要包括训练集的平面坐标（x，y）、3种单一模型的内符合拟合高程异常值，输出目标为对应的实际高程异常值；将测试集的平面坐标和3种单一模型的外符合拟合高程值代入训练好的模型，测试输出即为最终高程拟合异常值。

2）加权最小二乘支持向量机组合

考虑到最小二乘支持向量机在将支持向量机的二次规划问题转换为求解线性方程组的问题时，降低了计算的复杂性，在提高求解速度的同时自身失去了原有的鲁棒性，使得目标函数所赋予训练样本的权重都相同，即样本在训练中所起的作用是一样的。然而，在实际中不同的样本数据所表现出来的特征是不一样的，或被各种外界因素影响的程度不相同，在训练中所占权重也不相同。为重新获取鲁棒性，建立更为准确的拟合模型，本文采用加权最小二乘支持向量机（WLSSVM）［10］进行组合。采用能较好地反映模型的复杂程度、拟合效果较好的径向基函数作为模型的核函数，利用网格搜索［11］（grid search）法选取最优的核参数σ和正则化参数c。设置模型训练和测试的输入向量为（x，y，ζ1，ζ2，ζ3），x和y为平面坐标，ζ1、ζ2和ζ3分别为以上3种单一模型的内符合和外符合拟合高程异常值，训练和测试的输出向量为对应的实际高程异常值。

2.2 线性组合法

1）最优非负变权组合

设某高程异常值为Yt，用以上3种单项模型对其进行拟合，设Yit为第i种单项模型对第t个高程异常点的拟合值，其中i＝1，2，3，t＝1，2，…，n。令为第t个 组合拟合值，Wit为第i个单一模型在第t个高程异常点的加权系数，且Wit满足：

设eit、et分别为第i种单一模型和组合模型在第t个高程异常点的拟合误差，则：

设f为最优非负变权系数组合拟合的拟合误差平方和，则以拟合误差平方和最小为目标函数，通过规划方法求解各高程拟合值的权系数的最优非负变权系数组合拟合模型为：

n式中，Wjt为第j个单一模型在第t个高程异常点的加权系数，ejt为第j种单一模型和组合模型在第t个高程异常点的拟合误差。限于篇幅，在此只作简要介绍，详细原理可参考文献［12］。

2）最优加权组合

最优加权组合模型的建立与上述最优非负变权组合的原理一致，该模型赋予各单项模型的权值是一个恒定权值，详细原理可参考文献［13］。

3 算例分析

本文以某市地籍控制测量首级控制网数据［14］为实验数据。该数据涵盖面积约196km2，点位分布不均匀，如图1所示。通过二等水准测量获取各点的正常高，同时获得各点的GPS大地高，从而得到这些点的高程异常值，具体数据见表1。本文选取图1中用空心三角形表示的12个点作为学习样本，用实心圆表示的12个点作为测试样本。

为探讨不同组合方法对GPS高程拟合精度的影响，本文建立基于平面拟合、二次曲面拟合和GA－BP神经网络3种单一模型的4种组合方法进行对比分析：方案1，RBF神经网络组合；方案2，加权最小二乘支持向量机组合；方案3，最优加权组合；方案4，最优非负变权组合。对于方案2，采用网格搜索法选取的最优核参数和正则化参数分别为1 420.130 5和529 008.264 2。3种单一模型分别对第13～24号点进行拟合，结果见表2。各方案的拟合结果如表3所示。图2为3种单一模型和各方案的拟合残差序列。

图1 数据点的点位分布Fig.1 Distribution of data points

表1 点的坐标、高程异常Tab.1 Coordinates and height abnormal of points

由表2可见，平面拟合模型的最大拟合残差为－0.039 8m，最小为0.000 8m；二次曲面拟合的残差最大为0.058 3m，最小为0.005 0m；GABP 神经网络拟合的最大和最小残差分别为0.039 9m 和－0.002 8m。显然，直接采用单一模型进行拟合不易得到满意的结果。从表3 可知，利用组合模型拟合时，拟合结果比较好。对于非线性组合方法，方案2的拟合结果均优于方案1，最大残差为0.014 9m，最小残差为－0.002 0 m；对于线性组合方法，方案4的拟合结果均优于方案3，残差最大仅为0.008 9 m，最小仅为－0.000 3m。从两种组合方式对比分析，加权最小二乘支持向量机组合基本优于最优加权组合，而最优非负变权组合均优于非线性组合法。由图2进一步看出，组合方法拟合的残差曲线变化远优于各单一模型，而方案4和方案2的残差曲线变化优于方案1和方案3，方案4的残差波动幅度较小。可见，方案2和方案4均能保证较好的局部拟合值，方案4的拟合结果较稳定。

对表2和表3 数据进一步分析，3 种单一模型对同一高程异常值的拟合结果都不相同，而方案4正是根据3种单一模型对各测试样本数据的拟合精度高低赋予不同的权值，故优于只赋予均权的最优加权组合。3种单一模型的最优权值和最优非负变权值见表4。

表2 单一模型的拟合结果与实测值的对比Tab.2 Comparisons of single model predicted results and the actual values

表3 组合模型的拟合值与实测值的对比Tab.3 Comparisons of portfolio model predicted results and the actual values

图2 残差序列Fig.2 Residual sequences

表4 最优加权和非负变权模型权值Tab.4 Weights of combination models

由表4可知，最优加权组合的权值是恒定的，而最优非负变权组合的权值是变动的。在实际中，由于单一模型自身的局限性，使得对各高程异常的拟合结果都有所不同，而权值的比重直接影响线性组合的拟合精度。最优非负变权组合正是充分考虑到单一模型对各高程异常拟合的不稳定性，并根据单一模型对各高程异常拟合精度的高低赋予不同权值，故优于最优加权组合。同时，对方案2 进一步分析，WLSSVM 能以一种非线性方式组合3种单一组模型转换的结果，不同于方案3的线性等权组合那样机械化取均值，故其组合后的残差序列整体趋势趋于平缓，从而进一步体现该方法适合小样本、泛化性能好的特点，克服了神经网络存在的缺陷。而且加权最小二乘支持向量机组合法的权重是按单个样本误差和总体误差在满足给定精度下由模型在自适应动态学习中给出的，组合拟合结果与单一模型的拟合结果和权重有关，其权重包括各神经元之间的连接权，是一种非线性的映射关系。而最优非负变权组合拟合精度的高低与各单一模型拟合精度的高低有直接的关系，权值的确定取决于单项拟合方法拟合误差的大小，通过以拟合误差平方和最小为目标，采用规划方法求解最优非负变权系数。

为综合评定各组合方法的精度，本文使用标准差进行对比分析。考虑到WLSSVM 是建立在统计学习理论基础上的，与建模不相关的外符合精度是衡量其建模精度的重要指标，所以本文主要考虑模型的外符合精度。各种模型的残差统计特征分析见表5（单位：m）。

表5 残差序列的统计特征Tab.5 Statistics of residual sequences

由表5看出，组合方法均提高了转换的精度，最优非负变权组合和WLSSVM 组合明显优于RBF神经网络组合、最优加权组合，而最优非负变权组合拟合精度最高，其标准差仅为0.003 8 m，说明该组合法的残差序列更趋于平缓，逼近真值。从残差最大值和最小值改善方面对比，WLSSVM 组合法和最优加权组合法对残差的改善差不多，而最优非负变权组合对残差极值改善最明显，最大值减少了0.049 4m，最小值减少了0.000 5m。综上可见，最优非负变权组合充分考虑了GPS高程拟合中每一个高程异常的权重，综合了各个单一模型的优点，无论是拟合结果还是拟合精度都优于其他组合方法和各单一拟合模型。

4 结 语

本文从非线性组合和线性组合选取出发，探讨了RBF 神经网络组合、WLSSVM 组合、最优加权组合和最优非负变权组合4 种组合方法对GPS高程拟合精度的影响。经理论和算例分析，得出以下结论：组合方法均能提高转换精度，优于单一拟合模型；WLSSVM 组合法和最优非负变权组合法拟合结果较好，可靠性较强，而后者能较好地控制残差极值，有效减小误差区间，拟合精度较高；WLSSVM 组合属于数学逼近方法，如要大幅度提高转换精度还应从转换理论和似大地水准面的特性上作进一步研究；最优非负变权组合利用变权对各点拟合误差起到很好的调整作用，通过进一步提高单一模型拟合的准确性，适当增加模型个数和尽量选取能从不同角度反映信息的单一模型进行组合，模型拟合效果将会更好，可以在GPS高程拟合中加以推广应用。当对GPS高程拟合精度和可靠性要求较高，而单一拟合模型无法达到此要求时，可采用以上两种组合方法。由于本文所采用的算例来自于平坦地区，因此所述方法在起伏地区的应用效果需要进一步验证。而且，本文仅考虑了拟合的方法，未考虑似大地水准面等物理方法，也未考虑19、23等外围点的拟合精度，这些内容需要进一步研究。

［1］李征航，黄劲松.GPS 测量与数据处理［M］.武汉：武汉大学出版社，2010（Li Zhenghang，Huang Jinsong.GPS Surveying and Data Processing［M］.Wuhan：Wuhan University Press，2010）

［2］吴兆福，宫鹏，高飞，等.基于支持向量机的GPS 似大地水准面拟合［J］.测绘学报，2004，33（4）：303－306（Wu Zhaofu，Gong Peng，Gao Fei，et al.GPS Quasi Geoid Fitting Based on Support Vector Machines Technology［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2004，33（4）：303－306）

［3］吉渊明，赵水泉.曲面拟合法求GPS 网正常高的几点认识［J］.测绘通报，1998（7）：18－20（Ji Yuanming，Zhao Shuiquan.Curved Surface Fitting Method for GPS Network with Normal High［J］.Bulletin of Surveying and Mapping，1998（7）：18－20）

［4］赵辉，张书毕，张秋昭.基于加权总体最小二乘法的GPS高程拟合［J］.大地测量与地球动力学，2011，31（5）：88－91（Zhao Hui，Zhang Shubi，Zhang Qiuzhao.GPS Height Fitting of Weighted Total Least－Squares Adjustment［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2011，31（5）：88－91）

［5］胡伍生，华锡生，张志伟.平坦地区转换GPS高程的混合转换方法［J］.测绘学报，2002，31（2）：128－133（Hu Wusheng，Hua Xisheng，Zhang Zhiwei.Conversion of GPS Height in Plainness Area by the Hybrid Conversion Method［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2002，31（2）：128－133）

［6］朱卫东，李全海.基于标准化动量BP 神经网络的GPS高程转换［J］.大地测量与地球动力学，2010，30（1）：123－125（Zhu Weidong，Li Quanhai.Conversion of GPS Height Based on Standardization Momentum BP Neural Network［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2010，30（1）：123－125）

［7］邱卫宁.大地水准面差距计算方法的研究［J］.武汉测绘科技大学学报，1987，12（3）：8－16（Qiu Weining.Calculation Method Research for Geoid Gap［J］.Journal of Wuhan University of Science and Technology of Surveying and Mapping，1987，12（3）：8－16）

［8］刘勇健，李彰明，张建龙，等.基于遗传－神经网络的深基坑变形实时预报方法研究［J］.岩石力学与工程学报，2004，23（6）：1 010－1 014（Liu Yongjian，Li Zhangming，Zhang Jianlong，et al.The Real－Time Deformation Forecast Method Research Based on the Genetic Neural Network［J］.Journal of Rock Mechanics and Engineering，2004，23（6）：1 010－1 014）

［9］Salcedo－Sanz S，Ortiz－Garcl’a E G，Pérez－Bellido M，et al.Short Term Wind Speed Prediction Based on Evolutionary Support Vector Regression Algorithms［J］.Expert Systems with Applications，2011，38（4）：4 052－4 057

［10］Suykens J A K，Brabanter J D，Lukas L，et al.Weighted Least Squares Support Vector Machines：Robustness and Sparse Approximation［J］.Neurn Computing，2002，48（5）：85－105

［11］Liu X L，Jia D X，Li H.Research on Kemel Parameter Optimization Support Vector Machine in Speaker Recognition［J］.Science Technology and Engineering，2010，10（7）：1 669－1 673

［12］王福林，张晋国.变权组合拟合模型中最优权系数估计问题的研究［J］.系统工程理论与实践，1996，16（10）：50－53（Wang Fulin，Zhang Jinguo.The Optimal Weight Coefficient Estimation Problem Research of Variable Weight Combination Forecasting Model［J］.Journal of Systems Engineering Theory and Practice，1996，16（10）：50－53）

［13］李秀珍，孔纪名，王成华.最优加权组合模型在滑坡变形拟合中的应用［J］.自然灾害学报，2008，17（2）：53－57（Li Xiuzhen，Kong Jiming，Wang Chenghua.Application of Combined Model with Optimum Weight in Prediction of Landslide Deformation［J］.Journal of Natural Disasters，2008，17（2）：53－57）

［14］王新志，祝明坤，曹爽.基于广义回归神经网络的GPS高程转换［J］.大地测量与地球动力学，2011，31（6）：113－116（Wang Xinzhi，Zhu Mingkun，Cao Shuang.GPS Height Conversion Based on Generalized Regression Neural Network［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2011，31（6）：113－116）