RMI原理在中国古代传统数学中的体现

赵世瑜

摘 要：关系映射反演方法即RMI方法，它是数学中一个极普遍的方法原则，此方法是徐治利先生在60年代研究组合数学的时候提出的一种数学方法论，在代数、三角函数、几何、微积分等方面有着广泛的应用。《九章算术》是中国古代的数学专著，内容十分丰富，分成了方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要九个部分。该文主要通过该原理在中国古代数学中的应用，介绍其思想与含义，说明其有化难为易、化生为熟、化繁为简的功能，从而提高我们抽象分析和应用数学工具的能力。

关键词：RMI原理 映射 反演

中图分类号：O1-0 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）10（b）-0131-01

关系映射反演方法是一种数学方法，那么什么是数学方法呢？其实不同的人对它有不同的理解，工程师会把它理解为数学模型方法与计算方法；科学工作者会把它理解为描述客观规律、进行定量分析的工具；数学研究人员则常常把它与“单纯形法”“差分法”等专业方法相联系；实际上数学方法体系同数学科学本身一样是极为多样的，与此对应的是大量不同的关于数学方法的分类，其可分为四个层次：一是数学发展和创新的方法；二是运用数学理论研究和表述事物的内在联系和运动规律的方法；三是具有一般意义的数学解题的方法；四是特殊的数学解题方法。关系映射反演方法自20世纪60年代提出以来，在数学中已有着十分广泛和重要的应用。在一个数学问题里，一些未知元素与已知元素原像之间有一定的关系，若希望由此求得未知元素，但直接求解比较困难，这时可寻找一个映射一一对应，把原像关系映射成“映像关系”，通过映像关系求得未知元素的映像。最后从未知元素的映像通过逆对应称为“反演”，求得未知元素，这种研究问题的思路称为关系映射反演方法。关系映射反演方法是一种把较困难的问题转化为较容易处理的，使原问题最终获得解决的方法，在数学发现和数学解题中有着多方面的作用。下面我们就看看用关系映射反演方法如何在中国古代传统数学中应用的体现。

战国时期，各诸侯国相继完成了向封建制度的过渡。思想界、学术界诸子林立，百家争鸣，异常活跃，为数学和科学技术的发展创造了良好的条件。尽管没有一部先秦的数学著作留传到后世，但是，人们通过田地及国土面积的测量、粟米的交换、收获及战利品的分配、城池的修建、水利工程的设计、赋税的合理负担、产量的计算，以及测高望远等生产生活实践，积累了大量的数学知识。据东汉初郑众记载，当时的数学知识分成了方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要九个部分，称为“九数”。九数确立了《九章算术》的基本框架，其中就有盈不足术。从中国古代理论的渊源来说，盈不足术无疑是我国古代独立的创造，实质也是RMI的表现。在数学发展的早期，要解决复杂的问题很不容易，中国古算家通过两次假设与检验（如刘徽所谓的“课”），即把实际的应用问题构造成特定的盈不足模式。盈不足术的大概思想过程表示如下：设每人出钱，盈钱；每人出钱，不足钱，求物价x和人数y。有公式：，

当然，我们还可以算出每人应该分摊的钱数：

例如《九章算术》盈不足章开宗明义的第十五题：今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆。问：出漆、得油、和漆各几何？答曰：出漆一斗一升、四分升之一，得油一斗五升，和漆一斗八升，四分升之三。术曰：假令出漆九升，不足六升。令之出漆一斗二升，有余二升。注：“得”，获得，交换，“漆三得油四”即漆三分可换得油四分。“和”，混合，参合。

解：按照术文的陈述，先把问题首次转化为盈不足问题，由题意得a1为9，b1为6，a2为12，b1为2；

再用盈不足术求解，则“出漆”：

L，“出漆”L。

上述过程中表现出的RMI方法的思想过程可表示为如图1所示。

这实际上是数学问题的一种“模式化”构造过程，即RMI中的映射。通过这种模式化构造，一般应用问题（这相当于RMI中的原像）就转化为特定的盈不足问题（这相当于RMI中的像）求解。这说明通过映射可将原像定映成像。盈不足的构造为人们提供了处理问题的RMI方法，因为问题本身是来自原理型的，是实现中的问题。其中许多都是较复杂的实际问题，当以两次假设提出盈不足构成问题时，实现了从现实型到盈不足模型的对应关系这是映射，此时的问题已是模型化了的问题，这是定映像；盈不足术即是针对这种数学模型的算法，由于具有一般性和机械性的特点，按程序一步步运算即得盈不足公式，把问题中的数据代入公式，得盈不足问题的解，再回到实际问题的解，就是反演。以上就是RMI方法在中国古代传统数学方面的体现。

参考文献

[1] 钱宝琮.中国数学史[M].北京：科学出版社，1981：41.

[2] 金杭平.数学中的关系映射反演方法[J].嘉兴学院学报，2001，13（6）：74-75.

[3] 陈大波.关系映射反演方法（RMI原理）[J].宁德师专学报，2004，16（1）：4-5.endprint